课件27张PPT。2019-3-13郑平正 制作3.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）高二数学 选修2-32019-3-13郑平正 制作 比《数学3》中“回归”增加的内容数学３——统计
画散点图
了解最小二乘法的思想
求回归直线方程
y＝bx＋a
用回归直线方程解决应用问题选修１-２——统计案例
引入线性回归模型
y＝bx＋a＋e
了解模型中随机误差项e产生的原因
了解相关指数 R2 和模型拟合的效果之间的关系
了解残差图的作用
利用线性回归模型解决一类非线性回归问题
正确理解分析方法与结果2019-3-13郑平正 制作回归分析的内容与步骤：统计检验通过后，最后是利用回归模型，根据自变量去估计、预测因变量。 回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。 其主要内容和步骤是：
首先根据理论和对问题的分析判断，将变量分为自变量和因变量；其次，设法找出合适的数学方程式（即回归模型）描述变量间的关系；由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要对回归模型进行统计检验；2019-3-13郑平正 制作例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为
172cm的女大学生的体重。案例1：女大学生的身高与体重解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。2019-3-13郑平正 制作分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量．2.回归方程：1. 散点图；本例中, r=0.798>0.75．这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的。2019-3-13郑平正 制作探究：
身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于60.316kg。即，用这个回归方程不能给出每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均体重的值。2019-3-13郑平正 制作例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为
172cm的女大学生的体重。案例1：女大学生的身高与体重解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。2019-3-13郑平正 制作我们可以用下面的线性回归模型来表示：
y=bx+a+e， (3)
其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。2019-3-13郑平正 制作思考:
产生随机误差项e的原因是什么？随机误差e的来源(可以推广到一般）：
1、忽略了其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；
2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；
3、身高 y 的观测误差。
以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。2019-3-13郑平正 制作函数模型与回归模型之间的差别可以提供
选择模型的准则2019-3-13郑平正 制作函数模型与回归模型之间的差别 线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和
随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分y的变化。 在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预报变量。思考：
如何刻画预报变量（体重）的变化？这个变化在多大程度上
与解析变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？ 假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，那么所有人的体重将相
同。在体重不受任何变量影响的假设下，设8名女大学生的体重都是她们的平均值，
即8个人的体重都为54.5kg。在散点图中，所有的点应该落在同一条
水平直线上，但是观测到的数据并非如
此。这就意味着预报变量（体重）的值
受解析变量（身高）或随机误差的影响。对回归模型进行统计检验2019-3-13郑平正 制作 例如，编号为6的女大学生的体重并没有落在水平直线上，她的体重为61kg。解析
变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从54.5kg“推”到了61kg，相差6.5kg，
所以6.5kg是解析变量和随机误差的组合效应。 编号为3的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的体重为50kg。解析
变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从50kg“推”到了54.5kg，相差-4.5kg，
这时解析变量和随机误差的组合效应为-4.5kg。用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。在例1中，总偏差平方和为354。2019-3-13郑平正 制作 那么，在这个总的效应（总偏差平方和）中，有多少来自于解析变量（身高）？
有多少来自于随机误差？ 假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图
中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落在回归
直线上。这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上
“推”开了。在例1中，残差平方和约为128.361。例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：2019-3-13郑平正 制作 由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354，而随机误差的效应为
128.361，所以解析变量的效应为解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）
=解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）2019-3-13郑平正 制作离差平方和的分解 （三个平方和的意义）总偏差平方和(SST)
反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差
回归平方和(SSR)
反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和
残差平方和(SSE)
反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和2019-3-13郑平正 制作样本决定系数 （判定系数 R2 ）1.回归平方和占总离差平方和的比例
反映回归直线的拟合程度
取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间
R2 ?1，说明回归方程拟合的越好；R2?0，说明回归方程拟合的越差
判定系数等于相关系数的平方，即R2＝(r)22019-3-13郑平正 制作显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。 R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的
线性相关性越强）。 如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值
来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。总的来说：
相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。
在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。2019-3-13郑平正 制作2019-3-13郑平正 制作表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。 在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，
是否可以用回归模型来拟合数据。残差分析与残差图的定义： 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本
编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。2019-3-13郑平正 制作残差图的制作及作用。
坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；
若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；
对于远离横轴的点，要特别注意。 几点说明：
第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。
另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。2019-3-13郑平正 制作例2、在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。解：2019-3-13郑平正 制作例2、在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。列出残差表为0.994因而，拟合效果较好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.42019-3-13郑平正 制作——这些问题也使用于其他问题。涉及到统计的一些思想：
模型适用的总体；
模型的时间性；
样本的取值范围对模型的影响；
模型预报结果的正确理解。小结2019-3-13郑平正 制作一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系
（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。2019-3-13郑平正 制作什么是回归分析？ （内容）从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式
对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著
利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度2019-3-13郑平正 制作回归分析与相关分析的区别相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化
相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量
相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制 课件27张PPT。3.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）高二数学 选修2-3数学３——统计内容
画散点图
了解最小二乘法的思想
求回归直线方程
y＝bx＋a
用回归直线方程解决应用问题问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间
的函数关系是y = x2问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否
有一个确定性的关系？例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上
进行施肥量对水稻产量影响的试验，得
到如下所示的一组数据：复习 变量之间的两种关系10 20 30 40 50500
450
400
350
300·······施化肥量水稻产量 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。1、定义： 1）：相关关系是一种不确定性关系；注 现实生活中存在着大量的相关关系。
如：人的身高与年龄；
产品的成本与生产数量；
商品的销售额与广告费；
家庭的支出与收入。等等探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律？10 20 30 40 50500
450
400
350
300·······发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。探索2：在这些点附近可画直线不止一条，哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？散点图施化肥量水稻产量10 20 30 40 50500
450
400
350
300·······施化肥量水稻产量探究对于一组具有线性相关关系的数据我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：你能推导出这个公式吗？这正是我们所要推导的公式。1、所求直线方程叫做回归直线方程；
相应的直线叫做回归直线。2、对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。1、回归直线方程最小二乘法：称为样本点的中心。2、求回归直线方程的步骤：例1、观察两相关量得如下数据:求两变量间的回归方程.解：列表：所求回归直线方程为例2：已知10只狗的血球体积及血球的测量值如下：x(血球体积,mm), y(血球数，百万)
（1）画出上表的散点图；
（2）求出回归直线并且画出图形；
（3）回归直线必经过的一点是哪一点？3、利用回归直线方程对总体进行线性相关性的检验 例3、炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y（从炉料熔化完毕到出刚的时间）的一列数据，如下表所示：（1）y与x是否具有线性相关关系；
（2）如果具有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）预测当钢水含碳量为160个0.01%时，应冶炼多少分钟？(1)列出下表,并计算(2)设所求的回归方程为例题4 从某大学中随机选出8名女大学生，其身高和体重数据如下表：求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172ｃｍ的女大学生的体重。 分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量．2.回归方程：1. 散点图；相关系数ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常，r>0.75，认为两个变量有很强的相关性．本例中,由上面公式r=0.798>0.75．探究？身高为172ｃｍ的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是,其原因是什么?如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？ 在《数学3》中，我们学习了用相关系数r来衡量两个变量
之间线性相关关系的方法。相关系数r相关关系的测度 （相关系数取值及其意义）r
