2023-2024学年云南省玉溪重点中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年云南省玉溪重点中学高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，其中是虚数单位，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
3.定义在上的函数是偶函数的一个必要不充分条件为( )
A. B. C. D.
4.若数列是等差数列，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线，直线过其左焦点，交双曲线左支于、两点，且，为双曲线的右焦点，的周长为，则的值为( )
A. B. C. D.
6.若，，，，则( )
A. B. C. D.
7.若定义在上的函数满足：对任意的，，有为非零常数，则下列说法一定正确的是( )
A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 为偶函数 D. 为奇函数
8.图为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，若是该抛物线上一点，点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 用简单随机抽样从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，个体被抽到的概率是
B. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是
C. 数据，，，，，，，的分位数是
D. 若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为
10.设数列是各项均为正数的等比数列，是的前项之积，，，则当最大时，的值为( )
A. B. C. D.
11.已知圆：和圆：现给出如下结论，其中正确的是( )
A. 圆与圆有四条公切线
B. 过且与圆相切的直线方程为
C. 过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或
D. 、分别为圆和圆上的动点，则的最大值为
12.如图所示，三棱锥中，，，为线段上的动点不与，重合，且，则( )
A.
B.
C. 存在点，使得
D. 三棱锥的体积有最大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知平面向量，则 ______．
14.已知，，直线：，：，且，则的最小值为______．
15.圆锥母线长为，侧面展开图圆心角的正弦值为，则高等于______．
16.已知椭圆方程为，双曲线方程为，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某校为了增强学生的安全意识，为学生进行了安全知识讲座，讲座后从全校学生中随机抽取了名学生进行笔试试卷满分分，并记录下他们的成绩，将数据分成组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图．
求这部分学生成绩的众数与平均数同组数据用该组区间的中点值作代表；
为了更好的了解学生对安全知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第、组中用等比例分层抽样的方法抽取名学生，进行第二轮比赛，最终从这名学生中随机抽取人参加市安全知识竞赛，求分包括分以上的同学恰有人被抽到的概率．
18.本小题分
在；，；，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
问题：已知为等差数列的前项和，若_____．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19.本小题分
如图，在中，，，点在线段上．
Ⅰ若，求的长；
Ⅱ若，的面积为，求的值．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为等边三角形，，为的中点，为上的一点，且．
求四棱锥的体积；
求二面角的大小．
21.本小题分
设是等差数列，是等比数列，公比大于已知，，．
Ⅰ求和的通项公式；
Ⅱ设数列满足求
22.本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ分别过椭圆的左、右焦点、作两条互相垂直的直线和，与交于，与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点．
求证：；
求证：定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，则在复平面内对应的点为，位于第四象限．
故选：．
化简复数，得出的共轭复数，可判断出在复平面内对应的点的所在象限．
本题考查复数的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意可得：
，，
则．
故选：．
利用指数函数的性质即可比较得解．
本题主要考查了指数函数的性质的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由偶函数的定义知，为充要条件，因此为充要条件，故CD错误；
对于选项A：若函数为，则，故A错误；
对于选项B：由函数是偶函数可以得到，反之不成立，故B正确．
故选：．
利用偶函数的定义结合必要不充分条件可得结果．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
由等差数列的下标和性质可得：，解得：，
．
故选：．
设等差数列的公差为，由等差数列的下标和性质可求得，，代入即可得出答案．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解析：由已知，，又，则．
据双曲线定义，，
所以，
即，所以，
故选B．
应用双曲线的定义和的周长为，解出半长轴，可求的值．
本小题主要考查双曲线的定义、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，，
，，
．
故选：．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，由，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：令，则由得，则，
，，即不是奇函数，排除，
令，，
则由，
得，
即，则不成立，即不是偶函数，排除，
，
即是奇函数，
故排除，
故选：．
利用抽象函数的关系，结合函数奇偶性的定义进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性的判断，结合抽象函数关系以及利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设抛物线的方程为，
因为，，
所以点在抛物线上，
所以，故，
所以抛物线的方程为，
所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，
在方程中取可得，
所以点在抛物线内，过点作与准线垂直，为垂足，
点作与准线垂直，为垂足，则，
所以，
当且仅当直线与准线垂直时等号成立，所以的最小值为，
故选：．
由已知点在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求的最小值．
本题考查抛物线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，一个总体含有个个体，某个个体被抽到的概率为，
以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为的样本，
则指定的某个个体被抽到的概率为，故A正确；
对于，数据，，，，的平均数是，，
这组数据的方差是，故B错误；
对于，个数据百分位为，第百分位数为，故C错误；
对于，依题意，，则，
所以数据，，，的标准差为，D正确．
故选：．
利用概率的定义即可判断；根据平均数求得的值，然后利用方差公式求解即可判断；根据百分位数的求法即可判断；利用方差公式求解即可判断．
本题主要考查了平均数、百分位数和标准差的计算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，
则，可得，
又，则，解得负值舍去，
所以，
令，解得，当时，，
故当最大时，或．
故选：．
设等比数列的公比为，求出的值，进而可求得数列的通项公式，解不等式，求出的取值范围，即可得解．
本题主要考查了等比数列性质的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，圆：的圆心为，半径，
圆：的圆心为，半径，
依次分析选项：
对于，因为，所以两圆外离，
所以两圆有条公切线，所以A正确，
对于，分种情况讨论：
当过点的直线的斜率不存在时，直线为，此时直线与圆相切，
当过点的直线的斜率存在时，设直线为，即，
因为直线与圆相切，所以，解得，所以切线为，即，
综上，过且与圆相切的直线方程为或，所以B错误，
对于，当截距为零时，设直线为，则，解得，所以直线为，即，
当截距不为零时，设直线为，则，解得，所以直线为，即，
综上，过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或，所以C正确，
对于，由选项A可知圆与圆外离，因为、分别为圆和圆上的动点，
所以的最大值为，所以D正确．
故选：．
对于，由已知条件先判断两圆的位置关系，再判断公切线的个数，对于，分切线的斜率存在和不存在两种情况求解判断，对于，分截距为零和截距不为零两种情况求解即可，对于，由于两圆外离，由圆与圆的位置关系分析即可，综合可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆的位置关系的判断，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，因为，，所以，
由于，，，
所以与全等，故，故A错误；
对于，在三棱锥中，取中点，连接，，如图，
因为，，
所以，，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，故B正确；
对于，假设存在点，使得，
由选项可知，，又，，平面，
则平面，而平面，，
所以为直角三角形，为斜边，
必有，这与矛盾，所以假设不成立，故C不正确；
对于，设，则，与平面所成角为，
由前面选项知面面，所以点到平面的距离，
而，
则三棱锥的体积，当且仅当，且时取等号，
所以当是中点，且平面时，三棱锥的体积取最大值，最大值为，故D正确．
故选：．
证明与全等，即可得到的大小，从而判断；取中点，证明平面，即可判断B正确；反证法推理判断C错误；建立三棱锥体积的函数关系计算判断D正确．
本题考查了空间几何体中位置关系的判断和体积、空间角的计算，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
所以．
故答案为：．
先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得．
本题主要考查向量模公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，，直线：，：，且，
，即．
则，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为，
故答案为：．
由题意利用两直线垂直的性质，求得，再利用基本不等式，求得的最小值．
本题主要考查两直线垂直的性质，基本不等式的应用，属于基础题．
15.【答案】或
【解析】解：根据题意，侧面展开图圆心角的正弦值为，则圆心角为或，
设底面圆半径为，
当时，，则，高；
当时，，则，高；
综上所述：高为或．
故答案为：或．
根据题意，由侧面展开图圆心角的正弦值确定圆心角为或，根据弧长公式和圆柱高的计算公式计算得到答案．
本题考查圆锥的结构特征，涉及圆锥的侧面展开图，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：椭圆方程为，双曲线方程为，
若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，
可得椭圆的焦点坐标，，正六边形的一个顶点
，
，
椭圆离心率，
同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，
可得双曲线的离心率为．
故答案为：．
利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可．
本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．属于中档题．
17.【答案】解：众数为最高的小矩形的组中值：，
平均数为：；
根据等比例分层抽样的方法抽取的名学生，有人，有人，
设四人编号为，，，，两人编号为，．
则所有抽取结果：，，，，，，，，，，，，，，，共个结果．
其中“分包括分以上的同学恰有人”所包含结果有：
，，，，，，，，共种结果，
所以“分包括分以上的同学恰有人”的概率为．
【解析】根据题意，众数为最高的小矩形的组中值，平均数为每个小矩形面积乘以中点横坐标之积的和，计算即可；
根据分层抽样先确定每组抽取的人数，再计算概率即可．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
18.【答案】解：若选：在等差数列中，，
当时，，
也符合，；
若选：在等差数列中，
，
，
解得
；
若选：在等差数列中，
，
解得
；
由得，
．
【解析】根据即可求解，根据等差数列基本量的计算即可求解，
由裂项相消即可求解．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ在三角形中，，
，
在中，由正弦定理得，
又，，，
．
Ⅱ，
，可得，
又，
，
，即，
解得，
，，，
，
在中，由余弦定理得，
，
．
【解析】Ⅰ在三角形中，由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，在中，由正弦定理可求的值．
Ⅱ由，可得，可求，利用三角形的面积公式可求的值，利用余弦定理可求的值，根据三角形的面积公式及，即可求解的值．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20.【答案】解：连接，在四棱锥中，由是边长为的菱形，且，
所以是正三角形，而是正三角形，且为的中点，则，，
，于是，即，则，
而，因此平面，
所以四棱锥的体积．
由知，直线，，两两垂直，
以点为坐标原点，直线，，所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
由，得，于是，
显然平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，令，得，
设二面角的大小为，由图可知二面角为锐角，
所以，则，
所以二面角的大小为．
【解析】连接，由题意可证，，求得，，可得，进而可得平面，可求四棱锥的体积；
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量的夹角公式可求二面角的大小．
本题考查空间几何体的体积的计算，考查二面角的大小的求法，属中档题．
21.【答案】解：是等差数列，是等比数列，公比大于．
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，．
由题意可得：；
解得：，，
故，；
数列满足
令，
则 ，
得：
；
故
【解析】本题主要考查等差等比数列通项公式和前项和的求解，考查数列求和的基本方法分组和错位相减法的运算求解能力，属中档题．
由等差等比数列通项公式和前项和的求解和的通项公式即可．
利用分组求和和错位相减法得答案．
22.【答案】Ⅰ解：由题意，，解得．
椭圆的标准方程为；
Ⅱ证明：当与中一条没有斜率，另一条斜率为时，
此时与焦点或重合，显然有成立．
当存在斜率且不为时，设斜率为，则的斜率为，
，为线段的中点，则的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
则．
，
成立；
当与中一条没有斜率，另一条斜率为时，
不妨设的斜率不存在，的斜率为，
则，，则；
当存在斜率且不为时，设斜率为，则的斜率为，
：，联立，得．
设，，则，．
．
同理可得：．
．
综上，定值．
【解析】Ⅰ由离心率，且椭圆经过点，列方程组，解得，，即可得出答案；
Ⅱ当与中一条没有斜率，另一条斜率为时，可得与焦点或重合，结论成立；当存在斜率且不为时，设斜率为，则的斜率为，可得的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，得到，即可证明成立；
当与中一条没有斜率，另一条斜率为时，不妨设的斜率不存在，的斜率为，求得与，得；当存在斜率且不为时，设斜率为，则的斜率为，：，与椭圆方程联立，利用弦长公式求得，同理可得，即可证明．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
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