2023-2024学年安徽省马鞍山市当涂重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省马鞍山市当涂重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“直线：与直线垂直”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
3.如图的平行六面体中，点在上，点在上，且，若，则( )
A.
B.
C.
D.
4.各项均为正数的等比数列的前项和为，且，成等差数列，若，则( )
A. 或 B. 或一 C. D.
5.函数的部分图象可能为( )
A. B.
C. D.
6.若直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的焦距为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.设，，，其中是自然对数的底数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则的方程为
B. 数列是公比不为的等比数列，若其中、、、，则
C. 若为等差数列前项和，则，，，仍为等差数列
D. 已知函数在上可导，若，则
10.已知数列，中，，则( )
A. 数列的前项和为 B. 的前项和为
C. 的前项和 D. 数列仍为等比数列
11.已知函数，则( )
A. 在上的极大值和最大值相等
B. 直线和函数的图象相切
C. 若在区间上单调递减，则
D.
12.如图，在长方体中，，点为的中点，点为侧面含边界上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 不存在点，使得
B. 的最小值为
C. 满足的点的轨迹长度为
D. 若平面，则线段长度的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知数列的前项和为，则数列的通项公式为______．
14.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且满足，则的面积为______．
15.若数列满足，，则的最小值是______．
16.已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线经过点，且与直线：垂直．
求的方程；
若与圆相交于，两点，求．
18.本小题分
已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，，，．
求和的通项公式；
求数列的前项和．
19.本小题分
设函数．
求的极值点及单调区间；
求过点且与相切的直线的方程．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，，．
求证：平面平面；
若线段上存在点，满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值．
21.本小题分
椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为．
求椭圆的方程；
过点的直线与椭圆相交于，两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值．
22.本小题分
已知函数，．
Ⅰ讨论函数的单调性；
Ⅱ当时，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：若直线：与直线垂直，
则，解得或．
当时，直线、垂直；
反之，若直线、垂直，则或，不等价于．
因此，“”是“直线：与直线垂直”的充分不必要条件．
故选：．
根据题意，求出直线、垂直时的取值范围，再由充要条件的定义判断出答案．
本题主要考查两条直线垂直与方程的关系、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由是等差数列，得．
故选：．
由题意，利用进行求解即可．
本题考查等差数列的前项和公式，考查学生基本的运算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，，，
．
故选：．
根据已知条件，结合空间向量线性运算，即可求解．
本题主要考查空间向量及其线性运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，，
由，成等差数列，若，则，
即，解得舍去，
则，
故选：．
由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，再由等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式、求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，
由于，排除，；
求导可得：，
当时，，即，故在上单调递减，排除．
故选：．
根据题意，由函数的解析式求出据，排除、，再求出函数的导数，分析单调性排除，即可得答案．
本题考查函数的图象，涉及函数单调性的判断，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：易知直线过定点，
曲线可化为，曲线表示的是圆心在坐标原点，
半径为的上半圆，如下图所示：
当直线与半圆相切时可得，解得，
结合图象可得，
若直线和曲线有两个不同的交点，由图可得，
即实数的取值范围是．
故选：．
由直线过定点以及曲线形状，由直线和圆的位置关系利用点到直线距离公式可得．
本题给出直线与半圆有两个公共点，求实数的取值范围，着重考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知，直线经过双曲线的右焦点，且垂直于轴，不妨设，
代入双曲线方程得，又，所以，
所以，，
不妨取双曲线的一条渐近线为直线，
由点到直线的距离公式可得点到渐近线的距离，
点到渐近线的距离，
所以，因为，
所以，因，所以，即，
所以，所以，
因为双曲线离心率，所以，
所以双曲线的离心率的取值范围为．
故选：．
不妨取双曲线的一条渐近线为直线，由点到直线的距离公式，构造，，结合题目已知条件列不等式即可求出双曲线离心率的范围．
本题考查双曲线的方程和性质，主要考查了求离心率的取值范围，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：构造函数，
，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
，
，
，
，
即．
故选：．
构造函数，利用导数判断在上单调递增，根据单调性即可比较．
本题考查了导数和函数单调性的关系，考查了函数的大小比较，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于选项A：直线在，轴上截距分别为，，则，
若，则直线过原点，设直线：，
代入点，可得，可得，即直线：；
若，设直线，
代入点，可得，可得，
则直线，即直线：；
综上所述：的方程为或，故A错误；
对于选项B：根据等比数列下标和性质可知：若，则，故B正确；
对于选项C：设等差数列的公差为，
因为，
所以，，，为等差数列，故C正确；
对于选项D：因为，故D错误．
故选：．
根据题意，对于：根据截距的定义以及截距式方程分析判断；对于：根据等比数列的下标和性质分析判断；对于：根据等差数列的定义以及片段和性质分析判断；对于：根据导数值的定义分析判断．
本题考查命题真假的判断，涉及等差、等比数列的性质以及直线的方程，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由数列，中，，
对于中，可得，可得数列前项的和为：
，所以A正确；
对于中，由，可得，
则数列的前项和为：
，所以B正确；
对于中，由，
则的前项和，所以C正确；
对于中，由，则，
所以数列不是等比数列，所以不正确．
故选：．
由，逐项计算，可判定A正确；由，进而求得数列的前项和，可判定B正确；结合裂项法求和，可判定C正确；根据等比数列的定义，可得判定不正确．
本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的求和，裂项相消法，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：选项A：，或，
在，上单调递增，在上单调递减．
又，
当时，的极大值为，最大值为，故A错误；
选项B：设直线和函数的图象相切的切点为，
，故，切点为，
显然切点坐标满足，故B正确；
选项C：结合选项A知：若在区间上单调递减，
则，故，故C正确；
选项D：
，
，故D正确．
故选：．
选项A：利用导数法求解判断；选项B：利用导数的几何意义求解判断；选项C：结合选项A，由求解判断；选项D：根据求解判断．
本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，极值，最值，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：在长方体中，，点为的中点，点为侧面含边界上的动点，
以为原点，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
设其中，，
对于中，若，则，
又由，
，
即，此时方程无解，
不存在点，使得，故A正确；
对于中，设点关于平面的对称点为，则的坐标为，
可得，
当且仅当，，三点共线时，取等号，故B错误；
对于中，由，可得，
整理得，即点的轨迹为矩形内的线段，
，当时，，当时，，
满足的点的轨迹长度为，故C正确；
对于中，由，
设平面的一个法向量为，则，
取，得，
平面，，即，
又由点，
，
当时，可得的最小值为，故D错误．
故选：．
以为原点，建立空间直角坐标系，设，由，列出方程，可判定A正确；由点关于平面的对称点为，利用，可判定B错误；由，求得，得到点的轨迹为矩形内的线段，可判定C正确；求得平面的一个法向量，根据，列出方程，结合二次函数，可判定不正确．
本题考查线面垂直、点的轨迹、对称点、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：数列的前项和，
可得；
时，，不满足，
则，
故答案为：．
利用 求解即可．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查转化思想和计算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由抛物线：得其标准方程为，所以，得，
所以焦点为，准线方程为，
又因为在抛物线上且，由抛物线定义可得，代入抛物线方程得，
所以．
故答案为：．
根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用，求得点的纵坐标，代入抛物线方程求得横坐标，代入三角形面积公式计算，从而可求解．
本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了数形结合的思想方法，考查了计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由，，
则，
则，当且仅当时，取得等号，
但必须是正整数，故等号不成立，
由时，；时，，故的最小值为．
故答案为：．
由数列的恒等式：，运用等差数列的求和公式，以及基本不等式，注意为正整数，可得所求最小值．
本题考查数列的恒等式和等差数列的求和公式，以及基本不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：有两个零点有两个实根，
有两个实根有两个实根．
有两个实根，
设，则有两个实根，
又单调递增，
有两个实根有两个根，
设，则
的单调递增区间为，单调递减区间为，
又当时，；；当时，，
．
的取值范围是．
故答案为：．
变形为有两个实根，变形得到，设，则，求导得到单调性，进而求出，只需使有两个根，设，求导得到在处取得极大值，结合函数的走势，得到，求出的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了函数的同构，属于难题．
17.【答案】解：由直线：，斜率，
，直线的斜率为，
又直线过点，直线的方程为，即．
由圆，可得圆心，半径，
则圆心到直线：的距离为，
又由圆的弦长公式，可得弦长．
【解析】利用点斜式可得直线方程；利用勾股定理可得弦长．
本题考查直线方程的计算，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
18.【答案】解：由题意设等差数列等比数列的公差公比分别为，，
则由题意有，，解得，，
所以和的通项公式分别为；
设数列的前项和为，
由可得，
所以，
，
两式相减得，
所以数列的前项和为．
【解析】直接由等差数列、等比数列的基本量的计算算出公差，公比即可得解；
直接由等比数列公式法、错位相减法求和运算即可得解．
本题考查了等差数列、等比数列的通项公式和错位相减求和，属于中档题．
19.【答案】解：函数的定义域为，求导数得，
由，得或，即函数在和上单调递增，
由，得，即函数在上单调递减，
所以函数的极大值点为，极小值点为，
递增区间为和，递减区间为．
设切点为，
由，得切线方程，
而切线过点，则，
整理得，解得或，
当时，切线方程为；
当时，切线方程为；
所以直线的方程为或．
【解析】求出函数的导数，再利用导数求出单调区间及极值点．
设出切点坐标，由导数的几何意义写出切线方程，结合已知求出切点即可得解．
本题主要考查考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】证明：因为，，所以为三角形，
所以，，
因为，，
所以，则，
因为，，
在三角形中，由余弦定理有：，即，
所以，所以，
因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
解：取的中点，连接，
因为，，所以，且，
由知平面平面，平面平面，平面，所以平面，
过作的平行线，则，，两两互相垂直，
以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设，因为，所以，
解得，，，即，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，，得，
设平面的法向量为，
则，令，得，，得，
因为平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，
解得，因为，所以．
【解析】由条件及在三角形中，由余弦定理可求得，利用勾股定理的逆定理可得，再由面面垂直的判定定理即可证得；
作辅助线，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合向量的夹角公式建立方程，求解即可．
本题考查线面垂直的证明和平面与平面所成角，属于中档题．
21.【答案】解：因为椭圆的离心率为，所以，
设到的距离为，因为，
所以，易得当时面积取得最大值，
所以，因为，
所以，，所以椭圆的方程为；
证明：如图，易知点在椭圆外，
设直线的方程为，，，
由得，
所以，，，
因为，所以，
所以，
所以
，
所以．
【解析】根据题意列出方程求出，的值，即可求解椭圆方程；
设出直线方程，联立椭圆方程，列出表达式利用韦达定理计算即可．
本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．
22.【答案】解：Ⅰ由已知，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，若，得，函数单调递增，
若，得，函数单调递减；
综上所述：当，函数在上单调递增，
当时，函数在单调递增，在单调递减；
Ⅱ证明：由，得，
即证，
当时，设函数，
则，在上单调递增，
所以
所以成立；
当时，要证成立，
即证
设函数，，
则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，即，
设，
则，在上单调递减，
所以，即，
所以，
综上：成立．
【解析】Ⅰ求导，然后分和讨论分别求单调性；
Ⅱ当时，通过证明可得结论；当时，转化为证明，不等式两边分别构造函数，求出函数最值即可得结论．
本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了构造函数解决综合问题的能力，考查了函数思想及转化思想，属于难题．
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