2023-2024学年河南省三门峡市五县市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省三门峡市五县市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，，若，则实数的值不可以为( )
A. B. C. D.
2.定义在上的函数，命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.己知曲线：，：，则下面结论中正确的是( )
A. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍．纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C. 把上各点的横坐标伸长到原米的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移单位长度，得到曲线
D. 把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
4.医学治疗中常用放射性核素产生射线，面是由半衰期相对较长的衰变产生的对于质量为的，经过时间后剩余的质量为，是以为自变量的指数函数，其部分图象如图从图中可以得到的半衰期为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.设函数，且，则( )
A. 函数在内至少有一个零点
B. 函数在内至少有一个零点
C. 函数在内至少有一个零点
D. 函数在和内各有一个零点
7.已知函数在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论：
在区间上有且仅有个不同的零点；
的最小正周期可能是；
的取值范围是；
在区间上单调递增．
其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式正确的有( )
A. B.
C. D.
10.已知，，，下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.若函数的一条对称轴为，则下列错误的是( )
A. B. 的最小正周期为
C. 在区间单调递增 D.
12.已知，，且则下列选项正确的是( )
A. 且 B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的定义域为______．
14.在半径为米的圆形弯道中，角所对应的弯道长为______米．
15.已知函数，在存在最大值，则的取值范围是______．
16.已知函数，且时，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：；
在中，，，求的值．
18.本小题分
已知函数和的定义域都是．
请在同一平面直角坐标系上画出函数和的图象；不要求写作法
求两图象交点的横坐标，并解不等式．
19.本小题分
已知不等式的解集为或．
求，的值；
当时，解关于的不等式．
20.本小题分
已知函数．
求在上的单调递减区间；
若，，求的值．
21.本小题分
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系．
游客甲坐上摩天轮的座舱如图，开始转动，后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
求游客甲在开始转动后距离地面的高度；
若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱，里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差单位：关于的函数解析式，并求高度差的最大值精确到．
参考公式与数据：，，，．
22.本小题分
已知函数满足，有．
求的解析式；
若，函数，且，，使，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题，得，
因为，所以，
当时，无解，此时，满足题意；
当时，得，所以或，解得或，
综上，实数的值可以为，不可以为．
故选：．
先求出集合，再结合题目条件，分，两种情况讨论，即可确定实数的值．
本题主要考查集合的交集运算，属于中档题．
2.【答案】
【解析】解：命题“，”的否定是：，．
故选：．
改变量词，否定结论，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：己知曲线：，：，
故把把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象；
再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，
故选：．
由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设且，
由图可知，所以，
所以半衰期为．
故选：．
设，根据图象列方程，化简求得半衰期．
本题考查了指数函数模型的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：对任意，，均有成立，
此时函数为减函数，
是偶函数，
当时，为增函数，
，
，，
，，
，
，
，
即，
故选：．
根据条件判断函数的奇偶性和单调性，然后利用单调性进行比较即可．
本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数的奇偶性和单调性，以及利用函数的奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：依题意，函数，且，所以有两个零点，
，，
，，，
若，则，，
此时的两个零点分别在区间，，则AD错误．
若，则，
所以的两个零点，一个是，另一个在区间．
若，则，，的符号无法判断，
所以的两个零点分别在、，选项错误．
综上所述，函数在内至少有一个零点，选项正确．
故选：．
根据二次函数、零点等知识进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查判断函数的零点，属于中档题．
7.【答案】
【解析】【分析】
令，则，由函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合，可求出判断，再利用三角函数的性质可依次判断．
本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的综合能力，属于中档题．
【解答】
解：由函数，
令，则
函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合，
由，得，则，，，，
即，，故正确；
对于，，，
，当时，在区间上有且仅有个不同的零点；
当时，在区间上有且仅有个不同的零点；故错误；
对于，周期，由，，故正确；
对于，，，
又，所以在区间上不一定单调递增，故错误．
故正确序号为：，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，
当，，，当，，，
是奇函数，
又，则，是定义在上的偶函数，
又，当时，，
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，则在上单调递减，
，
，即，解得，
故实数的取值范围为，
故选：．
根据题意当，，，可得是奇函数，同理可得是偶函数，且，易得在上单调递增，则在上单调递减，不等式转化为，即可得出答案．
本题考查分段函数的性质和函数的奇偶性、单调性的综合，考查分类讨论思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对，，
选项正确；
对，，
选项正确；
对，，
选项错误；
对，，
选项正确．
故选：．
利用诱导公式和三角恒等变换等知识求得正确答案．
本题考查了诱导公式，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
10.【答案】
【解析】解：选项：若，比如，，则，A错误；
选项：当时，，则，B错误；
选项：若，则，两边同时除以得到，C正确；
选项：，，D正确；
故选：．
选项可举反例，选项两边同时除以得到，C正确；选项作差判定符号即可．
本题考查命题真假的判定，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：的函数图象关于直线成轴对称，则，，
得，，又因为，所以，故A正确；
所以，所以，故B错误；
令，，所以，，
当时，为单调递增区间，但在区间有增有减，故 C错误；
，故D错误．
故选：．
根据三角函数对称性，确定，再根据正弦函数性质逐项判断即可．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由，得，结合、均为正数，得；同理由，解得，因此项正确．
根据，两边都除以得，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，故B项正确．
因为，且，
所以，当且仅当，即，时，等号成立，故C项正确．
当、时，，故不成立，项不正确．
故选：．
根据正数、满足等式，列式算出、的取值范围，判断出项的正误；利用基本不等式，结合“的代换”加以计算，判断出、两项的正误；通过举反例加以说明，判断出项的正误．
本题主要考查不等式的性质、利用基本不等式证明不等式恒成立等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】且
【解析】解：要使函数有意义，应满足，
解得且，
所以函数的定义域为且．
故答案为：且．
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：弧长．
故答案为．
利用弧长公式即可得出．
熟练掌握弧长公式是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，
因为，
当时，，
若函数在存在最大值，则，
解得．
故答案为：
先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了辅助角公式及正弦函数性质的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：画出函数的图象，
令，，
作出直线，
由时，得；
由图象可得，当时，直线和曲线有四个交点，
由图象可得，，，
则，即为，可得，
由的图象关于直线对称，可得，
则，
故答案为：
画出分段函数的图象，令，作出直线，通过图象观察，可得的范围，运用对数的运算性质和二次函数的对称性，可得，，即可得到所求范围．
本题考查分段函数的图象及运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．
17.【答案】解：
；
在中，，，
则，
即，
则．
【解析】结合指数与对数的运算求解；
由诱导公式，结合两角和与差的三角函数求解．
本题考查了指数与对数的运算，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
18.【答案】解：作图如下：
由，得，解得或，
因为，所以或或或
结合的图象，可知的解集为．
【解析】根据三角函数图象的画法画出图象；通过解三角方程求得两图象交点的横坐标，结合图象求得不等式的解集．
本题考查三角函数的图象和性质，属于基础题．
19.【答案】解：根据题意，不等式的解集为或，
即、是方程的两根，
则有，解可得，
由的结论，，；
原不等式即；即，
方程有两根，和，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
综合可得：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
【解析】由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得和是相应方程的两个实数根，由根与系数的关系建立关于、的方程组，解之即可得到实数、的值．
由的结论，所求不等式即，再讨论实数与的大小关系，即可得到不等式在各种情况下的解集，得到本题答案．
本题考查一元二次不等式的解法，涉及一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，属于中档题．
20.【答案】解：，
由，，解得，，
又，
函数在上的单调递减区间为；
由知，
又，
，，
，
，
则，
．
【解析】由已知结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解；
由已知可求，然后结合同角平方关系及和差角公式即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
21.【答案】解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系，
设时，游客甲位于点，以为终边的角为；
根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为，
由题意可得，．
当时，，
所以游客甲在开始转动后距离地面的高度约为．
设甲、乙两人的位置分别用点、表示，则，
经过后甲距离地面的高度为，
点相对于点始终落后，
此时乙距离地面的高度为，
所以甲、乙距离地面的高度差为
，
利用可得：，．
当或，即或时，的最大值为，
所以甲、乙距离地面的高度差的最大值约为．
【解析】根据题意建立适当的直角坐标系并设出关于的表达式，结合已知可得出，的值，进而得出关于的函数解析式；
令，即可得出所求的答案；
设甲、乙两人的位置分别用点、表示，则经过后甲距离地面的高度为，乙距离地面的高度为，
进而得出甲、乙距离地面的高度差为，结合化简及三角函数的图象与性质即可得出所求的答案．
本题考查三角函数的实际应用、三角恒等变换，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
22.【答案】解：因为，
将替换成，得，
联立两式，解得．
因为在上单调递增，
所以，
对于，不妨取，
则，
因为，所以，，
则，即，故在上单调递增，
又在上单调递增，且在上恒成立，
所以在上单调递增，
因为，，所以在上单调递增，且恒成立，
所以在上单调递增，
则，，
因为，，使，
所以的值域的值域．
故，即，解得负值舍去，
所以的取值范围是．
【解析】利用方程组法即可求得的解析式；
利用复合函数的单调性与函数单调性的定义判断得的单调性，再将问题转化为与的值域的包含关系，从而得解．
本题考查了函数恒成立问题，考查了利用函数单调性求函数值域，考查了转化思想，属于中档题．
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