2023-2024学年海南省海口市重点中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年海南省海口市重点中学高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数被称为狄利克雷函数，则( )
A. B. C. D.
3.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5.下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
A. B.
C. D.
6.函数的定义域为，且对于任意，均有成立，若，则正实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. “”是“，”的必要不充分条件
B. “幂函数在上单调递减”的充要条件为“”
C. 命题：，的否定为：，
D. 已知一扇形的圆心角，且其所在圆的半径，则扇形的弧长为
10.已知函数，则( )
A. 的一个周期为 B. 的定义域是
C. 的图象关于点对称 D. 在区间上单调递增
11.已知关于的不等式的解集为，则( )
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集为或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 ______．
13.已知，均是正实数，且，则的最小值是______．
14.已知函数在上有且仅有个零点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共2小题，共27分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调递增区间；
将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域．
16.本小题分
已知函数为奇函数．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ求关于的不等式的解集；
Ⅲ设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
则．
故选：．
先求出集合，中元素范围，再求交集即可．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意可知，．
故选：．
利用定义结合分段函数性质计算即可．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
解得且，
即函数的定义域为．
故选：．
由题意可得，求出的范围即可．
本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：当时，，
因为和在上单调递减，
所以在上单调递减，排除选项A，，，只有选项C符合题意．
故选：．
当时，，考虑其单调性，即可得解．
本题考查函数的图象，一般可从函数的单调性，奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查逻辑推理能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；
对于，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于，有唯一零点，
但恒成立，故不可用二分法求零点；
对于，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；
对于，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点．
故选：．
利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解．
本题主要考查二分法的应用，考查计算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，对于任意，均有成立，所以在上单调递减，
又，所以，
解不等式得，则正实数的取值范围为．
故选：．
根据题意，分析可得在上单调递减，又，所以，解不等式即可得解．
本题考查函数单调性的判断以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
得，
显然，
所以，
而．
故选：．
根据正弦的和差角公式展开可计算出，把转化成齐次式再运用弦化切的思想即可求解．
本题考查了正弦的和差角公式，重点考查了二倍角公式，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为函数有四个不同的零点，
所以有四个不同的解，即函数与有四个不同的交点，
作出函数与的图象如图所示：
又时，，由图象可得，故B不正确；
由，得或，所以由图象可得，故A正确；
由图象可得，所以，即，
即，所以，故C错误；
又，关于对称，故，故D错误．
故选：．
由题意可得函数与有四个不同的交点，作出函数与的图象如图所示，然后结合图象逐个分析判断即可．
本题主要考查了分段函数的应用，考查了函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：项，，则有可能，，则充分性不成立，
但若，，一定有，必要性成立，则项正确；
项，幂函数，则，，
又在上单调递减，
则，则，项错误；
项，，的否定为：，，项错误；
项，扇形的圆心角，即，且其所在圆的半径，
则扇形的弧长为，项正确．
故选：．
，项，按照简易逻辑的有关知识判断即可，项，根据幂函数的性质判断，项，根据弧长公式计算即可．
本题考查简易逻辑的有关性质，考查扇形弧长，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，函数，有，
则的一个周期为，A正确；
对于，函数，有，解可得，，
即的定义域为，B错误；
对于，函数，有，解可得，
即函数的图象关于点对称，其中一个对称中心为，C正确；
对于，设，，
在区间上，为增函数，且，
在上为增函数，
故在区间上为增函数，D正确．
故选：．
根据题意，由正切函数的周期性分析，由正切函数的定义域分析，由正切函数的对称性分析，由复合函数的单调性分析，综合可得答案．
本题考查正切函数的性质，涉及三角函数的图象变换，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意可得：和是方程的两根，且，
由韦达定理可得，得，，
因为，故A不正确；
对于，不等式，即，即，得，
不等式的解集是，故B正确；
对于，，故C不正确；
对于，由不等式，得，即，
则，得或，即解集为或，故D正确．
故选：．
由题意可得和是方程的两根，且，利用韦达定理可得，与的关系，然后逐项判断可得答案．
本题考查一元二次不等式的解法，考查学生的数学运算能力，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：已知，，
则．
故答案为：．
由诱导公式，结合同角三角函数的关系求解．
本题考查了诱导公式，重点考查了同角三角函数的关系，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
，为正实数，
的最小值为
故答案为：
先将乘以，然后利用基本不等式即可求出的最小值．
本题主要考查了基本不等式的应用，同时考查了“”的活用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：当时，，
因为在上有且仅有个零点，所以，，解得．
故答案为：．
根据的范围求出的范围，再根据余弦函数的性质以及整体代换思想化简即可求解．
本题考查了余弦函数的性质，涉及到余弦函数零点问题，属于基础题．
15.【答案】解：因为
，
令，得，
所以的单调递增区间为，；
将函数的图象向右平移个单位，得到，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到，
当，可得，
所以的值域．
【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，利用正弦函数的单调性即可求解；
将利用三角函数的图象变换可求，进而利用正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了三角函数恒等变换，三角函数的图象变换以及正弦函数的性质，考查了函数思想，属于基础题．
16.【答案】解：Ⅰ由已知函数需满足，
函数为奇函数，，
即在上恒成立，
即，．
Ⅱ解法一：由知，
函数在和上单调减，
且当时，，当时，，
，解得；
此时不等式的解集为．
解法二：，
令，则可化简为，
即，
解得，即．
此时不等式的解集为．
Ⅲ由Ⅱ得在的值域，
又，，
设，，则，
当时，取最小值为，当时，取最大值为，
即在上的值域，
又对任意的，总存在，使得成立，
即，
，
解得，即的取值范围是．
【解析】Ⅰ利用奇函数的定义求解的值
Ⅱ解法一：判断函数的单调性，由函数的单调性求解不等式的解集即可；
解法二：利用换元法，令，解分式不等式，求出的取值范围，再由指数函数的性质即可得解；
Ⅲ计算出及的值域后，对任意的，总存在，使得成立即为的值域为的值域的子集，计算即可得．
本题主要考查函数恒成立问题，不等式的解法，奇函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
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