第一章 三角形的证明单元测试卷（含解析）

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八年级下阶段性测试卷
内容：第一章三角形的证明单元测试卷
时间100分钟 满分120分
姓名 班级 考号
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．如图，分别以直角三角形的三条边向外部作了三个正方形A、B、C，已知正方形A的面积是67cm2，正方形C的面积是100cm2，那么，正方形B的面积是（ ）
A．33cm2 B．36cm2 C．43cm2 D．50cm2
2．如图， 在等边三角形ABC中， AD⊥BC于点D， 则∠BAD的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
3．将两块三角板按如图所示位置摆放，若，点在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，线段，过点P作且，连结；过点作且，连结；过点作且，连结，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．如图，在 ABCD中，分别以AB，AD为边向外作等边△ABE，△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A，E之间，连接CE，CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）
①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE
A．只有①② B．只有①②③
C．只有③④ D．①②③④
6．如图，于点D，于点F，．要根据“”证明，则还需要添加的条件是（　　）

A． B． C． D．
7．下列说法不正确的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．三角形一边上的中线正好把这个三角形分成两个面积相等的三角形
C．一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则周长是8或10
D．角平分线上的任意一点到角两边的距离相等
8．如图，和都是等边三角形，下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．1
9．以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是 ( )
A．1，2， B．3，5，4 C．5，12，13 D．1，3，
10．如右图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，D F⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ）
A．5 B．4 C．1 D．2
11．在平面直角坐标系中，在第一象限，三个顶点分别为．其中．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，的外角的平分线相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有 （ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（每小题3分，共24分）
13．已知一个等腰三角形两边分别为10和5，则第三边长是 ．
14．如图，点E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则 ．

15．锐角△ABC中，，，∠B＝60°，点D、E分别是边AB、AC上的动点，并且满足，则CD＋BE的最小值为 ．
16．在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板如图放置，其中，则点的坐标为 ．

17．如图是2002年在北京召开的世界数学家大会的会标，其中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，它蕴含着一个著名的定理是 ．
18．如图，点是轴上一个定点，点是轴正半轴上的一个动点，以线段为边在轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中，正确的有 ．（填序号）
；
；
直线与轴所夹的锐角恒为；
随点的移动，线段的值逐渐增大．
三、解答题（共60分）
19．（6分）如图，平分，点C在线段上，，求证：．
20．（8分）（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC边上的任意点（不含端点B，C），连接AM，以A为边作等边△AMN，并连接CN，
①求证：△ABM≌△ACN；
②求证：AB＝CN+CM；
（2）【类比探究】如图2，在等边△ABC中，若点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，则AB＝CN+CM是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出AB，CN，CM三者之间的数量关系，并给予证明．
21．（9分）如图，是等边三角形，D是边上一动点（不与点B，C重合），连接．点E，F分别在线段，的延长线上，且．
(1)求的度数；
(2)猜想与的数量关系，并证明；
(3)探索当点D从点B运动到点C的过程中，的周长是否存在最小值？若存在请说明理由．
22．（9分）如图，在中，是的平分线，于，于，并且，动点以的速度从点向点运动，动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为．
(1)求证:在运动过程中，不管取何值，都有；
(2)当取何值时，与全等；
(3)若，当时，求此时的面积．
23．（8分）【问题提出】（1）如图，与均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：；
【类比延伸】（2）如图，与均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接．填空：的度数为______；线段与之间的数量关系为______．
【拓展研究】（3）如图，与均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，于点，连接．请求出的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．
24．（10分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD有以下结论：
①；②；③
（1）以上结论中，正确的有 （只要填序号即可）；
（2）证明（1）中一个正确的结论．
25．（10分）定义：如图1，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．
（1）已知点、是线段的勾股分割点，若，，求的长；
（2）如图2，在中，，点、在斜边上，，求证：点、是线段的勾股分割点（提示：把绕点逆时针旋转）；
（3）在（2）的问题中，，，求的长．
第一章三角形的证明参考答案
1．A[提示：如图，设直角三角形三边分别为：，，，
则由勾股定理得：，
∴三个正方形的面积之间关系为：，
∵，，
∴，故选：A．]
2．D[提示：∵三角形ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AD⊥BC于点D，
∴ ．故选：D]
3．B[提示：由题意可知：
，，，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴．
故选：B．]
4．D[提示：由勾股定理得：，
，
．
故选：D．]
5．B[提示：在□ABCD中，∠ADC=∠ABC，AD=BC，CD=AB，
∵△ABE、△ADF都是等边三角形，
∴AD=DF，AB=EB，∠ADF=∠ABE=60°，
∴DF=BC，CD=BC，
∴∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC，
∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC，
∴∠CDF=∠EBC，
在△CDF和△EBC中，
DF=BC，∠CDF=∠EBC，CD=EB，
∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正确；
在 ABCD中，∠DAB=180°-∠ADC，
∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC，
∴∠CDF=∠EAF，故②正确；
同理可证△CDF≌△EAF，
∴EF=CF，
∵△CDF≌△EBC，
∴CE=CF，
∴EC=CF=EF，
∴△ECF是等边三角形，故③正确；
当CG⊥AE时，∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABG=30°，
∴∠ABC=180°-30°=150°，
∵∠ABC=150°无法求出，故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③．
故选B．]
6．B[提示：∵于点D，于点F，
∴，
∵，
∴当添加时，根据“”即可判断．
故选：B．]
7．C[提示：A、根据平行线的判定“两直线平行，同旁内角互补”可知A项正确，不符合题意；
B、因为三角形一边上的中线把线段三角形的这条边分成两条相等的线段，此时所分得两个三角形等底同高，所以分成两个面积相等的三角形，故B项正确，不符合题意；
C、因为当等腰三角形的腰长为2时，2+2=4，不满足三角形的两边之和大于第三边，故C项错误，符合题意；
D、根据角平分线的性质“角平分线上的任意一点到角两边的距离相等”可知D项正确，不符合题意．
故选C．]
8．C[提示：如图设AC交BE于点O．
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE，∠AEO=∠OCN，故①正确
作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，
∵△ADC≌△ABE，
∴AM=AN，
∵AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，
∴AF平分∠DFE，故②正确，
∵∠AOE=∠COF，
∴∠OAE=∠OFC=60°，
∴∠BFC=120°，故③正确，
在DF上取一点K，使得FK=FA，
∵∠AFK=∠AFN=60°，
∴△AKF是等边三角形，
易证△DAK≌△BAF，
∴DK=BF，
∴DF=DK+KF=FA+FB，故④正确，
故选：C．]
9．D[提示：A、∵，
∴以1、2、为三边的三角形是直角三角形，A不符合题意；
B、∵，
∴以3、5、为三边的三角形是直角三角形，B不符合题意；
C、∵，
∴以5、12、为三边的三角形是直角三角形，C不符合题意；
D、∵，
∴以1、3、为三边的三角形不是直角三角形，D符合题意；
故选：D．]
10．B[提示：因为DE∥AB，所以,所以DE=AE=8，过D点作DC垂直AC，因为AD是角BAC的角平分线，所以DC=DF，所以在三角形DEC中，所以DC=4，故选B]
11．C[提示：如图，

，，，
∵，∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
①当时，，
②当时，，不合题意，舍去，
，
如图，构造，，，设，

∵，，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．]
12．C[提示：解：过点P作PG⊥AB，如图：

∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，，，PG⊥AB，
∴；故（1）正确；
∴点在的平分线上；故（2）正确；
∵，
又，
∴；故（3）错误；
∴正确的选项有2个；
故选：C．]
13．10[提示：①当腰长为5时，则等腰三角形的三边分别为5，5，10，
，
不能构成三角形，故舍去．
②当腰长为10时，则等腰三角形的三边分别为5，10，10，
，
能构成三角形．
第三边长为：10．
故答案为：10．]
14．8[提示：如图，过点E作，交于点D，如图所示：

∵点E在的平分线上，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：8．]
15．[提示：如图作，使得．作交的延长线于．
，
，
，，
，
，
，
的最小值为的长，
∵
∴
∴
在中，，，
，，
∴
在中，．
故答案为：．]
16．[提示：作轴于点，

是等腰直角三角形，且，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
点的坐标为，
故答案为：．]
17．勾股定理[提示：根据勾股定理的定义并结合题给图形可得，该弦图蕴含的定理是勾股定理．
故答案为勾股定理．]
18．[提示：和都是等边三角形，
，
，
在和中，
，
故正确；
，
，
故正确；
延长交轴于点，
，
，
，
，
直线与轴的夹角恒为，
故正确；
点是轴上一个定点，
的长为定值，
，
，
的长为定值，
随点的移动，线段的值不变，
故错误，
故答案为：．]
19．证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴,
在△ADE和△ACB中，
∴△ADE≌△ACB，
∴．
20．（1）①证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵△AMN是等边三角形，
∴AM＝MN＝AN，∠MAN＝∠AMN＝∠ANM＝60°，
∴∠BAC ∠MAC＝∠MAN ∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM和△CAN中，
，
∴△BAM≌△CAN（SAS）；
②∵△BAM≌△CAN，
∴BM＝CN，
∴AB＝BC＝BM＋CM＝CN＋CM；
（2）解：AB＝CN＋CM不成立，AB＝CN CM，
由（1）可知，∠BAC＝∠MAN，
∴∠BAC＋∠MAC＝∠MAN＋∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN，
∴AB＝BC＝BM CM＝CN CM．
21．（1）解：延长至点，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：猜想；证明如下：
∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：存在，理由如下：
∵，，
∴的周长，
∵为定值，
∴的周长随着的变化而变化，
∴当的值最小时，的周长最小，
∵垂线段最短，
∴当时，最小，此时的周长最小，
故的周长存在最小值．
22．证明：（1）∵是的平分线， DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM，
∵
∴，
∵点E以3cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴在运动过程中，不管取何值，都有．
（2）∵是的平分线， DF⊥AB，DM⊥AC，
∴，
∴，
①当0＜t＜3时，点G在线段CM上，点E在线段AF上．
，
∴，
∴（不合题意，舍去）；
②当3＜t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上．
，，
∴，
∴，
综上所述当时，△DFE与△DMG全等；
（3）∵，
∴()，
∵，
∴
∵，
∴()，
∴()，
∵，，
∴ ．
23．（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴；
（2）∵△ABC和△ADE均是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，
∵∠ADE=60°，
∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°，
故答案为：120°，BE=AD；
（3）解：∵和均为等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
即线段、、之间的数量关系为：．
24．解：（1）①③，
故答案为：①③；
（2）①，
，，，，
，
②，故②错误，
③．
25．解：（1）当MN最长时，BN=，
当BN最长时，BN=；
（2）证明：如图，过点A作AD⊥AB，且AD=BN，
在△ADC和△BNC中，
，
∴△ADC≌△BNC（SAS），
∴CD=CN，∠ACD=∠BCN，
∵∠MCN=45°，
∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°，
∴∠MCD=∠MCN，
在△MDC和△MNC中，
，
∴△MDC≌△MNC（SAS），
∴MD=MN
在Rt△MDA中，AD2+AM2=DM2，
∴BN2+AM2=MN2，
∴点M，N是线段AB的勾股分割点；
（3）过点B作BP⊥AB，使得BP=AM=1，
根据（2）中过程可得：△CPB≌△CMA，△CMN≌△CPN，
∴∠AMC=∠BPC=120°，AM=PB=1，
∠CMN=∠CPN=∠A+∠ACM=45°+15°=60°，
∴∠BPN=120°-60°=60°，
∴∠BNP=30°，
∴NP=2BP=2=MN，
∴BN=，
∴BM=MN+BN=.
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