2023~2024学年第二学期高三3月月考试卷数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．，或
2．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知是的边上一点，若，则（ ）
A． B． C．0 D．
4．已知函数若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知是椭圆的两个焦点，若上存点，使则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知各项都是正数的等比数列的前3项和为21，且，数列中，，若是等差数列，则（ ）
A．153 B．91 C．33 D．－33
7．已知是自然对数的底数，，则（ ）
A． B． C． D．
8．在棱长为4的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球半径的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若在区间上恰有两个零点，则实数的值可能为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则（ ）
A． B．在棱上存在点，使得平面
C．平面与平面的交线平行于平面 D．到平面的距离为
11．已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．展开式的常数项为______．
13．已知抛物线与圆的公共点为，则______；若为圆的劣弧上不同于的一个动点，过点作垂直于轴的直线交抛物线于点不经过原点，则周长的取值范围是______．
14．锐角的内角的对边为，若的面积是，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，分别是棱，上的点，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
16．（本小题满分15分）
已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，数列的前项和为，若对任意的正整数，不等式都成立，求实数的取值范围．
17．（本小题满分15分）
光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表：
数学（分） 119 145 99 95 135 120 122 85 130 120
物理（分） 84 90 82 84 83 81 83 81 90 82
（1）试列出列联表，并依据的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？
（2）①数学组的章老师打算从这10个同学中，按照这次测试数学的等第是否优秀，利用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取3个人，并仔细考查这3个人的答题情况．设最后抽出的3个人中数学等第优秀的人数为，求的分布列及数学期望；
②如果本次测试理科考生的物理成绩，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率．
参考数据：取．
若，则，．
．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
18．（本小题满分17分）
已知函数是常数．
（1）若，求函数的图象在处的切线的方程；
（2）若有两个零点，且，证明：，且．
19．（本小题满分17分）
已知为平面上一个动点，到定直线的距离与到定点距离的比等于，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若轴上是否存在定点，使过点且斜率为的直线与曲线相交于（均不同于两点，且分别为直线的斜率）？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．2023~2024学年第二学期高三3月月考试卷·数学
参考答案、提示及评分细则
1.B因为B={x|lg(x一2)<0}={x|2
A∩(CRB)={0,1,2,3,4,5}.故选B.
5
5(1-2i)
2.A因为=1中2=中2-2D=1-2i,所以一2-i=-1+i,区-2-i=-1严+=2.故选A
3B因为A市=号D成，所以ò=Ci+Aò=Ci+号A=Ci+号（成-CA)=号C+号成所以λ=号，
以=合以-=号-弓=方故选B
4.D画出∫(x)的图象如图所示，由图可知∫(x)在(0，十∞)上单调递增，又f(a+1)≥
f(2a-1),所以a十1≥2a-1>0,解得号5.C因为点P在椭圆C上，所以a-≤|PF2≤a十c,又因为2a=|PFl+PF2|=3|PF2|,
所以Pr=号a,所以a-≤号ae<1.故选C
6D设数列{a.>的公比为gg>0,则导+号+a:=21,即12（宁+号+1）=21，化简得3对-4g-4=0,解
得g=2(-号舍去)，所以a=a33=12×2=3=3X2.于是=3，a1+b1=4,a十h=12,所以等差
数列{a.十6.的公差为a+b）二a+b）=4,所以a.十6，=4十4-1）=4n,b=4一4，=4-3×21，
3-1
所以b1+b2+b3+b,+b5=4(1+2+3+4+5)-3(1+2+22+23+2)=60-3(25-1)=-33.故选D.
7B令)=则了a)号，所以rE(e,+o)时x>0,)单调递增，又a=
In2x
2n√元lnπ
24
=),c=n2=in4-f4),f4)>f八π)>e)=e,所以c>a>c再令g(.x)=x-sinx,则g'(x)=1-
cosx≥0，所以g(x)在R上是增函数，0g(0)=0,即0esm。a>h故选B
8.C连接AE,取AE中点G,设CF=m(0直于平面ABCD,设GO=,O为三棱锥A-DEF的外接球的球心.以D
D
C
为原点，分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,之轴建立空间直角坐标系，
B
则A(4,0,0),E(0,2,0),O(2,1,n),F(0,4,),则球半径R=OF=OE=
A
OA,所以R=√13十(1-n)2=√5十n2,所以m2一2m+8=0,则n=
g7
y
法8-号+≥2亿，当且仅当m=2亿时原等号所以R=V,故
171
选C.
【高三3月月考试卷·数学参考答案第1页（共6页）】