(共22张PPT)
第四章 三角形
温故知新
1. 已知线段a＝3 cm，b＝6 cm，则下列长度的线段中，能与a，b组成三角形的是( )
A． 2 cm B． 3 cm
C． 5 cm D． 9 cm
（限时3分钟）
C
2. 如图4－28－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝55°，则∠B的度数为( )
A． 25°
B． 35°
C． 45°
D． 55°
B
探究新知
A．在三角形中，连接一个顶点与它_____________的线段叫做这个三角形的中线.
对边中点
对点范例
B
探究新知
B．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的________.
重心
对点范例
4．如图4－28－3所示的网格由边长相同的小正方形组成，用字母表示的各点都在小正方形的顶点上，则点D,E,F,G中，是△ABC三条中线交点的是( )
A. 点D B. 点E
C. 点F D. 点G
A
探究新知
C．在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的______________________叫做三角形的角平分线.
顶点与交点之间的线段
对点范例
D
探究新知
D．三角形的三条角平分线交于________，这点称为三角形的内心.
一点
对点范例
6．如图4－28－5，在△ABC中，点D是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∠A＝80°，∠ABD＝30°，则∠DCB为( )
A. 25° B. 20°
C. 15° D. 10°
B
课本母题
【例1】 如图4－28－6，D是边AB的中点，△BCD的周长比△ACD的周长大3 cm，BC＝8 cm，求边AC的长．
解：因为D是边AB的中点，所以AD＝DB.
因为△BCD的周长比△ACD的周长大3 cm，
所以(BC＋CD＋BD)－(AC＋CD＋AD)＝3 cm.
所以BC－AC＝3 cm.因为BC＝8 cm，
所以AC＝5 cm．
母题变式
7. 如图4－28－7，BD是△ABC的中线，AD＝2，AB＋BC＝5，求△ABC的周长．
解：因为BD是△ABC的中线，
所以点D是AC的中点.
所以AC＝2AD＝4.
所以△ABC的周长为
AB＋BC＋AC＝5＋4＝9．
【例2】（课本P89第3题）如图4－28－8，在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝74°，CD是∠ACB的角平分线，点E在AC上，且DE∥BC，求∠EDC的度数．
课本母题
解：因为∠A＝62°，∠B＝74°，
所以∠ACB＝180°－62°－74°＝44°.
因为CD平分∠ACB，
所以∠ACD＝∠DCB＝22°.因为DE∥BC，
所以∠EDC＝∠DCB＝22°．
母题变式
8. 如图4－28－9，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E，若∠BAC＝58°，∠C＝65°，求∠ADE和∠EDC的度数．
解：因为在△ABC中，∠BAC＝58°，∠C＝65°，
所以∠ABC＝180°－∠BAC－∠C＝57°.
因为AD是△ABC的角平分线，
所以∠BAD＝12∠BAC＝29°.
因为DE∥AB，
所以∠ADE＝∠BAD＝29°，∠EDC＝∠ABC＝57°．
课本母题
母题变式
(共16张PPT)
第四章 三角形
温故知新
1. 根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是( )
A． AB＝2，BC＝3，AC＝6
B． AB＝4，BC＝3，∠A＝50°
C． ∠A＝50°，∠B＝60°，AB＝4
D． ∠C＝90°，AB＝6
（限时3分钟）
C
2. 根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是( )
A． AB＝3 cm，BC＝7 cm，AC＝4 cm
B． AB＝3 cm，BC＝7 cm，∠C＝40°
C． ∠A＝30°，∠B＝100°，∠C＝50°
D． ∠A＝30°，AB＝3 cm，∠B＝100°
D
探究新知
A. 已知三角形的__________________，求作这个三角形，可根据SAS作图.
两边及其夹角
对点范例
3．已知：如图4－34－1，线段a，c，∠α．
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α．(不写作法，保留作图痕迹)
解：如答图4－34－1，△ABC即为所求.
探究新知
B. 已知三角形的_______________________，求作这个三角形，可根据ASA作图.
两角及其夹边
对点范例
4. 已知：如图4－34－2,∠α，∠β，线段c．
求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.
(不写作法，保留作图痕迹)
解：如答图4－34－2，△ABC即为所求．
探究新知
C. 已知三角形的________，求作这个三角形,可根据SSS作图.
三条边
对点范例
5. 已知：如图4－34－3，线段a，b，c．
求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a．(不写作法，保留作图痕迹)
解：如答图4－34－3，△ABC即为所求．
课本母题
【例1】 如图4－34－4，你能用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段a，b吗？(不写作法，保留作图痕迹)
解：如答图4－34－4，△ABC即为所求．
母题变式
6. 如图4－34－5，已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，夹这个角的两边分别为2a和a.(保留作图痕迹，不写作法)
解：如答图4－34－6，△ABC即为所求．
【例2】 已知：如图4－34－6，∠α，线段c．求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝2c，BC＝3c．(不写作法，保留作图痕迹)
解：如答图4－34－5，△ABC即为所求．
答图4－34－5
7. 已知：如图4－34－7，线段a，b，∠α.
求作：△ABC，使∠ABC＝2∠α,BC＝a,AB＝b.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如答图4－34－7，
△ABC即为所求．(共19张PPT)
第四章 三角形
温故知新
1. 如图4－32－1，若AB＝AD，BC＝DC，则判断△ABC≌△ADC成立的依据是( )
A． SAS
B． ASA
C． AAS
D． SSS
（限时3分钟）
D
2. 如图4－32－2，已知AM＝CN， AC＝BD，下列条件能判定是△ABM≌△CDN的是( )
A． ∠M＝∠N
B． BM∥DN
C． AB＝CN
D． MB＝ND
D
探究新知
A．两角及其________分别相等的两个三角形全等，简写成“____________”或 “________”.
夹边
角边角
ASA
对点范例
3．如图4－32－3，已知AB与CD相交于点O，且O是AB的中点．根据“ASA”的判定方法，当_____________时，
△AOC≌△BOD.
∠A＝∠B
探究新知
B. 两角分别相等且其中一组等角的________相等的两个三角形全等，简写成“________”或“________”.
对边
角角边
AAS
对点范例
4. 如图4－32－4，已知∠A＝∠D，要使得△ABC≌△DCB，根据“AAS”的判定方法，需要再添加的一个条件是___________________
_________________．
∠ABC＝∠DCB(或
∠ACB＝∠DBC)
课本母题
【例1】 如图4－32－5，已知AB＝AC，∠B＝∠C，且∠1＝∠2．求证：△ABD≌△ACE．
母题变式
5. 如图4－32－6，点B，F，C，E在一条直线上，∠A＝∠D，AC＝DF，且AC∥DF．
求证：△ABC≌△DEF．
【例2】 （课本P102第3题）如图4－32－7，D是线段BE的中点，∠C＝∠F，∠B＝∠E．请你在图中找出一对全等三角形，并说明理由．
课本母题
母题变式
6. 如图4－32－8，∠E＝∠F＝90°，∠1＝∠2，AC＝AB，求证：△AEB≌△AFC.
【例3】如图4－32－9，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE．求证：
(1)△ABC≌△ADE；
(2)AD平分∠BDE．
课本母题
证明：(1)因为∠1＝∠2＝∠3，
所以∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE.
因为∠ADC＝∠B＋∠1＝∠ADE＋∠3，
所以∠B＝∠ADE.
又因为∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，
所以△ABC≌△ADE(AAS).
(2)因为△ABC≌△ADE，
所以AB＝AD，∠B＝∠ADE.
所以∠B＝∠ADB.所以∠ADE＝∠ADB.
所以AD平分∠BDE.
母题变式
7. 如图4－32－10，在△ABC和△DBE中，点D在边AC上，BC与DE交于点P，AB＝DB，∠A＝∠BDE，∠ABD＝∠CBE．
(1)求证：BC＝BE；
(2)若AD＝DC＝2.5，BC＝4，
求△CDP与△BEP的周长之和．
图4－32－10
(1)证明：因为∠ABD＝∠CBE，
所以∠ABC＝∠DBE.
因为∠A＝∠BDE，AB＝BD，
所以△ABC≌△DBE(ASA).
所以BC＝BE.
(2)因为△ABC≌△DBE，
所以DE＝AC＝AD＋DC＝2.5＋2.5＝5，
BE＝BC＝4.
所以△CDP和△BEP的周长和为DC＋DP＋CP＋BP＋PE＋BE＝DC＋DE＋BC＋BE＝15.5．(共18张PPT)
第四章 三角形
温故知新
1. 如图4－31－1，△ABC≌△ADE，AB＝AD，AC＝AE，∠B＝28°，∠E＝95°，则∠EAD等于( )
A． 77° B． 75°
C． 57° D． 55°
（限时3分钟）
C
2. 如图4－31－2，△AOB≌△COD，若BO＝6，AB＝5，则CD的长为( )
A． 10
B． 8
C． 5
D． 6
C
探究新知
A．三边分别相等的两个三角形全等，简写为“__________”或“__________”.
边边边
SSS
对点范例
3．如图4－31－3，已知AC＝BD，要使得△ABC≌△DCB，根据“SSS”判定方法，需要再添加的一个条件是________．
AB＝DC
探究新知
B. 三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性.
对点范例
4. 如图4－31－4，盖房子时，在窗框没有安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是( )
A. 两点之间线段最短
B. 长方形的对称性
C. 长方形四个角都是直角
D. 三角形的稳定性
D
课本母题
【例1】 如图4－31－5，已知AC＝AD，BC＝BD. 求证：△ABC≌△ABD.
母题变式
5. 如图4－31－6，已知AD＝BC，AC＝BD. 求证：∠A＝∠B.
证明：如答图4－31－1，连接CD.
因为AD＝BC，AC＝BD，CD＝CD，
所以△ACD≌△BDC(SSS).
所以∠A＝∠B．
【例2】 如图4－31－7，AC＝EF，BC＝DE，A，D，B，F共线，且AD＝BF，求证：△ABC≌△FDE．
6. 如图4－31－8，A，B，F， D四点在同一条直线上，且AC＝DE，CB＝EF，AF＝DB. 求证：∠A＝∠D.
【例3】 下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知∠AOB，求作：一个角，使它等于∠AOB. 作法：
①如图4－31－9，作射线O′A′；
②以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；
课本母题
③以点O′为圆心，OC为半径作弧C′E′，交OA′于点C′；
④以点C′为圆心，CD为半径作弧，交弧C′E′于点D′；
⑤过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．图4
请回答下列问题：
(1)该作图的依据是________;
(2)求证：∠A′O′B′＝∠AOB.
SSS
(2)证明：由作法可得OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′，所以△OCD≌△O′C′D′(SSS).所以∠A′O′B′＝∠AOB.
母题变式
请回答下列问题：
(1)该作图的依据是________;
(2)求证：∠CAD＝∠BAD.
SSS
(2)证明：根据作图过程可知AF＝AE，DF＝DE，
又因为AD＝AD，
所以△FAD≌△EAD(SSS).
所以∠CAD＝∠BAD.(共32张PPT)
第四章 三角形
温故知新
1. 如图4－26－1，AB∥CD，∠1＝70°，则∠2＝( )
A． 70° B． 80°
C． 110° D． 120°
（限时3分钟）
C
2. 如图4－26－2，若∠1＝32°，则∠2的度数是( )
A． 32°
B． 58°
C． 48°
D． 68°
B
探究新知
A．由不在同一直线上的三条线段______________所组成的图形叫做三角形，三角形有________、_____________和__________. “三角形”可以用符号“△”表示，顶点是A,B,C的三角形，记作△ABC.
首尾顺次相接
三条边
三个内角
三个顶点
对点范例
3．如图4－26－3，以BC为边的三角形共有( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
C
探究新知
B．三角形三个内角的和等于________.
180°
对点范例
4．已知三角形的三个内角的度数如图4－26－4所示，则图中x的值为( )
A. 25 B. 30
C. 35 D. 40
B
探究新知
C．按三角形内角的大小把三角形分为三类:
锐角三角形：______________________；
直角三角形：______________________；
钝角三角形：______________________.
三个内角都是锐角
有一个内角是直角
有一个内角是钝角
对点范例
5．△ABC的三角之比是1∶2∶3，则△ABC是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 无法确定
B
探究新知
D．直角三角形的两个锐角________.
互余
对点范例
6．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则∠C为( )
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
D
课本母题
【例1】如图4－26－5，图中有几个三角形？把它们表示出来，并写出∠B的对边.
解：图中的三角形有5个，分别
为△BED，△AED，△ADC，△ABD，
△ABC；∠B的对边有DE，AD，AC.
母题变式
7. 如图4－26－6所示的图形中共有三角形( )
A. 4个 B. 5个
C. 6个 D. 8个
D
【例2】 （课本P84习题第1题）如图4－26－7，求△ABC各内角的度数．
课本母题
解：因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以3x＋2x＋x＝180°.
所以x＝30°.
所以∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°．
8. 如图4－26－8，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝65°，AE⊥BC于点E，AD平分∠BAC，求∠DAE的度数．
解：因为∠B＝30°，∠C＝65°，
所以∠BAC＝85°.
因为AD平分∠BAC，所以∠CAD＝42.5°.
因为AE⊥BC，所以∠AEC＝90°.
所以∠CAE＝25°.
所以∠DAE＝∠CAD－∠CAE＝17.5°．
【例3】 （课本P83随堂练习第1题）观察如图4－26－9所示的三角形，并把它们的序号填入相应的圈内．
课本母题
③⑤
①④⑥
②⑦
母题变式
9. 图4－26－10中一共有多少个三角形？锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？用符号表示这些三角形．
解：一共有6个三角形．
其中锐角三角形有2个：△ABE，△ABC；
直角三角形有3个：△ABD，△ADE，△ADC；
钝角三角形有1个：△AEC.
【例4】（课本P84习题第4题改编）如图4－26－11，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高．
(1)图中有几个直角三角形？是哪几个？
(2)∠1和∠A有什么关系？
∠2和∠A呢？还有哪些锐角
相等？
课本母题
解：(1)因为∠ACB＝90°，∠ADC＝∠BDC＝90°，所以图中有3个直角三角形，分别是△ACD，△BCD，△ABC.
(2)因为∠ADC＝90°，所以∠1＋∠A＝90°，即∠1和∠A互余.因为∠1＋∠2＝90°，
所以∠2＝∠A，即∠2和∠A相等.
因为∠ACB＝90°,所以∠A＋∠B＝90°.
所以∠1＝∠B.所以还有锐角∠1和∠B相等.
母题变式
10. 如图4－26－12，AD⊥BC，垂足为点D，点E在AC上，且∠A＝30°，∠B＝40°．求∠BFD和∠AEF的度数．
解：因为AD⊥BC，
所以∠ADC＝∠ADB＝90°.
所以∠C＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，
∠BFD＝90°－∠B＝50°.
因为在△BCE中，∠BEC＝180°－∠EBC－∠C＝180°－40°－60°＝80°，
所以∠AEF＝180°－∠BEC＝100°．
【例5】 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．例如三个内角分别为20°，40°，120°的三角形是“倍角三角形”．
如图4－26－13，∠MON＝60°，
在射线OM上找一点A，过点A作
AB⊥OM交ON于点B，以A为端点
作射线AD，交射线OB于点C.
课本母题
(1)△AOB________(填“是”或“不是”)倍角三角形；
(2)若△AOC为“倍角三角形”，求∠OAC的度数；
(3)若△ABC为“倍角三角形”，求∠ACB的度数.
是
解：(2)因为∠AOC＝60°，
△AOC为“倍角三角形”，
所以当∠AOC＝2∠OAC时，∠OAC＝30°；
当∠AOC＝2∠ACO时，∠OAC＝90°；
当∠ACO＝2∠OAC时，∠OAC＝40°；
当∠OAC＝2∠ACO时，∠OAC＝80°.
综上所述，∠OAC为30°,90°,40°或80°.
(3)因为∠ABC＝30°，△ABC为“倍角三角形”，
所以当点C在线段OB上时，有4种情况：
①∠ACB＝2∠ABC，这时∠ACB＝60°；
②∠ABC＝2∠BAC，这时∠ACB＝135°；
③∠BAC＝2∠ABC，这时∠ACB＝90°；
④∠ACB＝2∠BAC，这时∠ACB＝100°；
当点C在射线BN上时，有2种情况：
①∠BAC＝2∠ACB，这时∠ACB＝10°；
②∠ACB＝2∠BAC，这时∠ACB＝20°.
综上所述，∠ACB为60°，135°，90°，100°，10°或20°．
11. 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”．
(1)如果△ABC的两个内角分别为80°，
75°，那么△ABC________(填“是”
或“不是”)“三倍角三角形”；
母题变式
是
(2)如果一个直角三角形是“三倍角三角形”，那么这个直角三角形三个角的度数分别为______________________________________；
(3)如图4－26－14，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，点D为BC边上的一个动点(点D不与B，C重合)，当△ABD是“三倍角三角形”时，求∠CAD的度数．
22.5°，67.5°，90°或30°，60°，90°
解：(3)①当∠BDA＝3∠B时，
∠BDA＝90°，
所以∠BAD＝60°.所以∠CAD＝30°；
②当∠ABC＝3∠BAD时，
所以∠BAD＝10°.
所以∠CAD＝80°；
③当∠BDA＝3∠BAD时，
所以∠BAD＝37.5°.
所以∠CAD＝52.5°.
综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．(共21张PPT)
第四章 三角形
温故知新
1. 如图4－33－1，AB∥CD，且AB＝CD，则△ABE≌△CDE的根据是( )
A． 只能用ASA
B． 只能用SAS
C． 只能用AAS
D． 用ASA或AAS
（限时3分钟）
D
2. 如图4－33－2，已知∠DAB＝∠CAB，∠ABD＝∠ABC，则直接判定△ABD≌△ABC的根据是( )
A． ASA
B． AAS
C． SSS
D． SAS
A
探究新知
A．两边及其________分别相等的两个三角形全等，简写成“________”或“________”.
夹角
边角边
SAS
对点范例
3．如图4－33－3，EA∥DF，AE＝DF，要使 △AEC≌△DFB，还需要添加的条件是 ( )
A. AB＝CD
B. EC＝BF
C. ∠A＝∠D
D. AB＝BC
A
探究新知
B.“________”不能作为判定三角形全等的方法.
边边角
对点范例
4．在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，则( )
A. △ABC和△DEF全等
B. △ABC和△DEF不一定全等
C. △ABC和△DEF一定不全等
D. △ABC和△DEF不全等
B
课本母题
【例1】（课本P103第1题）如图4－33－4，请说明图中两个三角形全等的理由．
母题变式
5. 如图4－33－5，∠BAC＝∠ABD，请你添加一个条件使得△DAB≌△CBA(只添一个即可)，并证明．
【例2】（课本P104第1题）如图4－33－6，点E在AB上，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，请列出所有的全等三角形，并从中选出一对全等三角形进行证明．
6. 如图4－33－7，AC，BD相交于点E，EA＝ED，EB＝EC. 求证：△ABC≌△DCB.
【例3】如图4－33－8，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8，BC＝6，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a个单位长度的速
度由点C向点A运动，设运动时间为
t s(0≤t≤3).
课本母题
(1)PC＝________(用含t的代
数式表示)；
(2)若点P，Q的运动速度相等，经过1 s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(3)若点P，Q的运动速度不相等，当点Q的运动
速度a＝________时，能够使△BPD与△CQP全等．
6－2t
母题变式
7. 如图4－33－9，在四边形ABCD中，AB＝BC＝8 cm，CD＝6 cm，∠B＝∠C，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，点Q运动的速度是每秒2 cm，点P运动的速度是每秒a cm（a≤2），当点Q到达点C时，
P，Q两点都停止运动，设运
动时间为t s，
（1）BQ＝_____cm，BP＝___________cm（用含a或t的代数式表示）；
（2）运动过程中，连接PQ，DQ，△BPQ与△CDQ是否全等？若是，请求出相应的t和a的值；若不是，请说明理由．
2t
（8－at）
解：（2）△BPQ与△CDQ全等.
因为∠B＝∠C，所以△BPQ与△CDQ全等.
存在两种情况：
①当△PBQ≌△QCD时，BP＝CQ，BQ＝CD，
所以8－at＝8－2t，2t＝6.
所以t＝3，a＝2；
②当△PBQ≌△DCQ时，PB＝DC，BQ＝CQ，
所以8－at＝6，2t＝8－2t.所以t＝2,a＝1.
综上所述，△BPQ与△CDQ全等，此时t＝3,a＝2或t＝2,a＝1．(共15张PPT)
第四章 三角形
温故知新
1. 如图4－35－1，AD，BC相交于点O，OA＝OD，OB＝OC．下列结论正确的是( )
A． △AOB≌△DOC
B． △ABO≌△DOC
C． ∠A＝∠C
D． ∠B＝∠D
（限时3分钟）
A
2. 如图4－35－2，MP＝MQ，PN＝QN，MN交PQ于点O，则下列结论中不正确的是( )
A． △MPN≌△MQN
B． OP＝OQ
C． MO＝NO
D． ∠MPN＝∠MQN
C
探究新知
利用三角形全等测距离的依据是____________
__________________；测量过程中构造三角形全等的方法是____________________.
全等三角
形的对应边相等
ASA，AAS，SAS
对点范例
3. 如图4－35－3，公园里有一座假山，要测假山两端A，B的距离，先在平地上取一个可直接到达A和B的点C，分别延长AC，BC到D，E，使CD＝CA，CE＝CB，连接DE．这样就可利用三角形全等，通过量出DE的长得到假山两端A，B的距离．其中说明两个三角形全
等的依据是( )
A. SSS B. ASA
C. AAS D. SAS
D
图4－35－3
课本母题
【例1】（课本P108内容）如图4－35－4,A,B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长．他叔叔帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝AC；
连接BC并延长到点E，使CE＝CB；连接
DE并测量出DE＝8 m.问题：DE＝AB吗？
AB的长度是多少？请说明理由．
解：由题意，得AC＝DC，BC＝EC.
又因为∠ACB＝∠DCE，
所以△ABC≌△DEC(SAS).所以AB＝DE＝8 m.
母题变式
4. 如图4－35－5，把两根钢条AB，CD的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)，只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD是否符合标准，你明白其中的道理吗？
与同伴进行交流．
解：如答图4－35－1，连接AC,设AB与CD交于点O.
因为两根钢条AB，CD的中点O连在一起，
所以OA＝OB，OC＝OD.
因为∠AOC＝∠BOD，
所以△AOC≌△BOD(SAS)．
所以AC＝BD.
【例2】（课本P108内容） 在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样的办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上，接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．
课本母题
将这位战士看成一条线段，碉堡看成一点，示意图如图4－35－6，你能根据示意图解释其中的道理吗
下面是彤彤同学写出的不完整的已知和求证，请你补全已知和求证，并完成证明．
已知：如图4－35－7，AB⊥CD，______________．
求证：____________．
∠ABC＝∠ABD
AC＝AD
母题变式
5. 小汐同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图4－35－8，
AB∥DC，OB＝OD，AC，
BD相交于点O，已知
AB＝20 m，请根据上
述信息，求标语CD的长度．
(共19张PPT)
第四章 三角形
温故知新
1. 如图4－30－1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝22°，则∠B等于( )
A． 42° B． 67°
C． 68° D． 77°
（限时3分钟）
C
2. 如图4－30－2，在△ABC中，∠A＝45°，∠C＝75°，图4－30－2BD是△ABC的角平分线，则∠BDC的度数为( )
A． 60° B． 70°
C． 75° D． 105°
C
探究新知
A．能够完全重合的两个图形称为__________. 全等图形的________和________都相同.
全等图形
形状
大小
对点范例
3．下列图形是全等图形的是( )
B
探究新知
B．能够完全重合的两个三角形称为______________.全等三角形的________相等，________________相等.
全等三角形
对应边
对应角
对点范例
4．如图4－30－3，若△ABC≌△DEF，∠A＝45°，∠F＝35°，AB＝5 cm，DF＝7 cm，则∠E的大小与DE的长分别等于( )
A. 35°，5 cm
B. 45°，7 cm
C. 60°，7 cm
D. 100°，5 cm
D
课本母题
【例1】（课本P95第1题）如图4－30－4所示的图形中有哪些是
全等图形？
解：①和⑧；②和；
④和⑨；⑤和是全
等图形．
母题变式
5. 如图4－30－5，指出图中的全等图形．
解：⑤和⑨是全
等图形．
课本母题
100°
6. 如图4－30－7，△ABC≌△CDA，并且BC＝DA，那么下列结论错误的是( )
A. ∠1＝∠2
B. AC＝CA
C. AB＝AD
D. ∠B＝∠D
C
【例3】如图4－30－8，△EFG≌△NMH，△EFG的周长为15 cm，HM＝6 cm，EF＝4 cm，EH＝1 cm，则HG等于( )
A. 4 cm B. 5 cm
C. 6 cm D. 8 cm
A
7. 如图4－30－9，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（ ）
A． AC＝CD
B． BE＝CD
C． ∠ADE＝∠AED
D． ∠BAE＝∠CAD
A
【例4】如图4－30－10，将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．
课本母题
解：如答图4－30－1.(答案不唯一)
答图4－30－1
母题变式
8.如图4－30－11，请你在图中画两条直线，把这个“＋”图案分成四个全等的图形(要求至少要画出两种方法)．
解：如答图4－30－2.
答图4－30－2(共21张PPT)
第四章 三角形
温故知新
1. 下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是( )
（限时3分钟）
C
2. 如图4－27－1，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是( )
A． 钝角三角形
B． 直角三角形
C． 锐角三角形
D． 以上都有可能
D
探究新知
A．有______________的三角形叫做等腰三角形；
______________的三角形是等边三角形.
两边相等
三边都相等
对点范例
3．关于等边三角形，下列说法中错误的是( )
A. 等边三角形中，各边都相等
B. 等边三角形是特殊的等腰三角形
C. 三个角都等于60°的三角形是等边三角形
D. 有一个角为60°的等腰三角形不是等边三角形
D
探究新知
对点范例
4． 三角形按边分类，可分为( )
A． 不等边三角形、等边三角形
B． 等腰三角形、等边三角形
C． 不等边三角形、等腰三角形、等边三角形
D． 不等边三角形、等腰三角形
D
探究新知
C．三角形任意两边之和________第三边，三角形任意两边之差________第三边
大于
小于
对点范例
5．下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 3 cm，5 cm，7 cm
B. 3 cm，3 cm，7 cm
C. 4 cm，4 cm，8 cm
D. 4 cm，5 cm，9 cm
A
课本母题
【例1】 (课本P86随堂练习第2题) 在△ABC中，a＝4，b＝2，若第三边c的长是偶数，求c的长．
解：因为△ABC中，a＝4，b＝2，
所以4－2＜c＜4＋2，即2＜c＜6.
又因为第三边c的长是偶数，所以c＝4．
母题变式
6. 已知a，b，c是△ABC的三边，且a＝4，b＝6．若三角形的周长是小于16的偶数．
(1)求第三边c的长；
(2)求△ABC的周长．
解：(1)因为a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，
所以6－4＜c＜6＋4，即2＜c＜10.
因为三角形的周长是小于16的偶数，
所以 c＜16－(4＋6), 即c＜6，且c也是偶数.
所以c＝4.
(2)当c＝4时，△ABC的周长为4＋6＋4＝14．
【例2】 （课本P87第2题）等腰三角形一边长9 cm，另一边长4 cm，它的第三边是多少？为什么？
课本母题
解：①当腰为4 cm时，三边为4 cm，4 cm，9 cm，因为4＋4＜9，所以不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；
②当腰为9 cm时，三边为4 cm，9 cm，9 cm，此时符合三角形的三边关系定理，所以三角形的第三边为9 cm．
母题变式
7. 已知一个等腰三角形的三边长分别为x，2x－1，5x－3，求这个三角形的周长．
【例3】 已知a，b，c是△ABC的三边长．
(1)若a，b，c满足|a－b|＋(b－c)2＝0，试判断△ABC的形状；
(2)若a，b，c满足(a－b)(b－c)＝0，试判断△ABC的形状；
(3)化简：|a＋b－c|＋|b－c－a|．
课本母题
解：(1)因为|a－b|＋(b－c)2＝0，所以a－b＝0且b－c＝0.所以a＝b＝c.所以△ABC为等边三角形.
(2)因为(a－b)(b－c)＝0，所以a－b＝0或b－c＝0.所以a＝b或b＝c.所以△ABC为等腰三角形.
(3)因为a，b，c是△ABC的三边长，所以a＋b－c＞0，b－c－a＜0.所以原式＝a＋b－c－(b－c－a)＝a＋b－c－b＋c＋a＝2a．
母题变式
8. 已知a，b，c是△ABC的三边长．
(1)化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－
a－b|；
(2)若△ABC为等腰三角形，且周长为18，a＝4，求b，c的值．
解：(1)因为a，b，c是△ABC的三边长，
所以a－b－c＜0，b－c－a＜0，c－a－b＜0.
所以原式＝b＋c－a＋a＋c－b＋a＋b－c＝a＋b＋c.
(2)若a是底边，则b＝c，则2b＋4＝18.
解得b＝7，即b＝c＝7.
若a是腰，a＝b，则2×4＋c＝18.
解得c＝10.
而4＋4＜10，不能构成三角形，舍去.
所以b＝c＝7．(共21张PPT)
第四章 三角形
温故知新
1. 如图4－29－1，CM是△ABC的中线，AB＝10 cm，则BM的长为( )
A． 7 cm B． 6 cm
C． 5 cm D． 4 cm
（限时3分钟）
C
2. 如图4－29－2，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC＝100°，则∠EAD的度数是( )
A． 25°
B． 45°
C． 50°
D． 75°
A
探究新知
A．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作________，________和________之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.
垂线
顶点
垂足
对点范例
3．图4－29－3中的虚线部分是小玉作的辅助线，则下列结论正确的是( )
A. CD是边AB上的高
B. CD是边AC上的高
C. BD是边CB上的高
D. BD是边AC上的高
图4－29－3
A
探究新知
B．三角形的________所在的直线交于
________.
三条高
一点
对点范例
4．如图4－29－4，在△ABC中，三条高AD，BE，CF相交于点O，若∠BAC＝60°，则∠BOC的度数为( )
A. 100° B. 120°
C. 125° D. 150°
B
课本母题
【例1】如图4－29－5中，在△ABC中，∠BAC是钝角，完成下列画图，并用适当的符号在图中表示.
(1)作BC边上的高；
(2)作AC边上的高．
解：(1)如答图4－29－1，
AD为BC边上的高.
(2)如答图4－29－1，
BE为AC边上的高．
母题变式
5． 下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
D
【例2】 如图4－29－6，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，
∠CAB＝50°，∠C＝60°，
求∠DAE和∠AOB的度数．
课本母题
解：因为∠CAB＝50°，∠C＝60°，
所以∠ABC＝180°－50°－60°＝70°.
又因为AD是高，所以∠ADC＝90°.
所以∠DAC＝180°－90°－∠C＝30°.
因为AE, BF是角平分线，
所以∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝∠EAB＝25°.
所以∠DAE＝∠DAC－∠EAF＝5°,∠AOB＝180°－∠EAB－∠ABF＝180°－25°－35°＝120°.
母题变式
6. 如图4－29－7，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
【例3】如图4－29－8，在△ABC中，∠C＞∠B，AD是高，AE是三角形的角平分线．
(1)当∠B＝26°，∠C＝74°时，求∠DAE的度数；
(2)根据(1)中得到的结果，判断
∠C－∠B与∠DAE之间有怎样的等
量关系，并说明理由．
课本母题
母题变式
7. 如图4－29－9，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC.
(1)若∠B＝36°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；
(2)若∠B＝α，∠C＝β(α＜β)，请你根据(1)中的结果大胆猜想∠DAE与α，
β间的等量关系，并说明理由．
