(共26张PPT)
第五章 生活中的轴对称
温故知新
1. 如图5－40－1，线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA＝CB，DA＝DB，若∠ADB＝80°，∠CAD＝10°，则∠ACB＝( )
A． 80°
B． 90°
C． 100°
D． 110°
（限时3分钟）
C
2. 如图5－40－2，在△ABC中，∠A＝105°，AB的垂直平分线EF交BC于点D，BD＝AC，则∠B的度数为( )
A． 15°
B． 20°
C． 25°
D． 30°
C
探究新知
A. 角是__________图形，___________所在的直线是它的对称轴.
轴对称
角平分线
对点范例
3． 下列说法中，正确的是( )
A. 角的对称轴是这个角的平分线所在的直线
B. 一个角的对称轴有无数条
C. 角的两边是它的两条对称轴
D. 一个角的对称轴是一条射线
A
探究新知
B. 角平分线上的点到这个角的____________相等.
两边的距离
对点范例
4． 如图5－40－3，OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OB，垂足为D. 若PD＝3 cm，则点P到OA的距离d满足( )
A. d＜3 cm
B. d＝3 cm
C. d＞3 cm
D. 无法确定
B
5. 如图5－40－4，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝5，则DF的长度是( )
A． 3 B． 4
C． 5 D． 6
C
课本母题
【例1】 如图5－40－5，在△ABC中，∠A＝90°．
(1)用尺规作图：作∠B的平分线BD(不写作法，保留作图痕迹)，交AC边于点D；
(2)若图中AD＝2，求点D到BC的
距离．
解：(1)如答图5－40－1，射线BD即为所求．
(2)如答图5－40－1，过点D作DE⊥BC于点E．
因为∠A＝90°，
所以DA⊥AB.因为BD平分∠ABC，
所以DE＝AD＝2.
所以点D到BC的距离为2．
母题变式
6. 如图5－40－6，已知△ABC.
(1)用尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点G(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，求△CBG的面积．
解：(1)如答图5－40－4，BG即为所求.
【例2】 如图5－40－7，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D. 若BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，求点D到AB边的距离．
课本母题
答图5－40－2
1. 如果sin2α+cos230°=1，那么锐角α的度数是（ ）
A．30° B．45°
母题变式
7. 如图5－40－8，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝90，AB＝18，BC＝12，求DE的长．
【例3】 (1)如图5－40－9①，已知∠AOB和线段CD，求作一点P，使PC＝PD，并且点P到∠AOB的两边距离相等(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论)；
课本母题
(2)如图5－40－9②，已知∠AOB和角内一点P.a. 分别作出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，分别交OA，OB于点M，N；b. 若P1P2＝5 cm，则△PMN的周长为________．
5 cm
解：(1)如答图5－40－3①，点P即为所求.
(2)a. 如答图5－40－3②.
母题变式
8. 如图5－40－10，有三幢公寓楼分别建在点A，点B，点C处，AB，AC，BC是连接三幢公寓楼的三条道路，要修建一超市P，按照设计要求：超市要在△ABC的内部，且到A，C的距离必须相等，到两条道路AC，AB的距离也必须相等，请确定超市P的位置（尺规作图，不写作法，保留
作图痕迹，写出结论）．
解：如答图5－40－6，点P即为所求.(共15张PPT)
第五章 生活中的轴对称
温故知新
1. 下列四个选项中，不是全等图形的是( )
（限时3分钟）
C
2. 如图5－36－1，已知∠AOB＝72°， OC是∠AOB的平分线．则∠AOC的度数是( )
A． 32°
B． 34°
C． 36°
D． 38°
C
探究新知
A. 如果一个平面图形沿一条直线________后，直线两旁的部分能够_______________，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做________.
折叠
互相重合
对称轴
对点范例
3. 下列图形中，不是轴对称图形的是( )
C
探究新知
B. 如果两个平面图形沿一条直线对折后能够____________，那么称这两个图形__________，这条直线叫做这两个图形的________.
完全重合
成轴对称
对称轴
对点范例
4. 如图5－36－2所示的四组图形中，成轴对称的有( )
A. 4组
B. 3组
C. 2组
D. 1组
D
课本母题
【例1】（课本P116练习节选）如图5－36－3所示的图形都是轴对称图形，请分别找出每个图形的对称轴．
解：如答图
5－36－1.
母题变式
5. 观察如图5－36－4所示的图案，哪些是轴对称图形？并指出对称轴的条数.
解：图(2)(4)(5)(7)是
轴对称图形，对称轴的
条数分别是1，2，1，1.
【例2】 如图5－36－5，△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请画出它们的对称轴．
课本母题
解：如答图5－36－2，直线l即为所求．
母题变式
6. 视力表中的字母“E”有各种不同的摆放方向，下面每种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是( )
C
7. (创新题)如图5－36－6，在3×3的正方形网格中，各有一个格点△ABC，已知△DEF和△ABC关于某条直线成轴对称.请在下面给出的网格图中，画出3个不同位置的△DEF及其对称轴MN．
解：如答图5－36－3.(共20张PPT)
第五章 生活中的轴对称
温故知新
1. （2022赤峰）下列图案中，不是轴对称图形的是( )
（限时3分钟）
A
2. （2022北京）图5－37－1中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为( )
A． 1
B． 2
C． 3
D． 5
D
探究新知
A. 我们把沿对称轴折叠后能够重合的点叫做____________，重合的线叫做____________，重合的角叫做____________．
对应点
对应线段
对应角
对点范例
3. 如图5－37－2，△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称，那么线段AC的对应线段是________.
DF
探究新知
B. 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴___________，对应线段________，对应角________.
垂直平分
相等
相等
对点范例
4. 如图5－37－3，点A在直线l上，△ABC与△AB′C′关于直线l对称，连接BB′分别交AC，AC′于点D，D′，连接CC′，下列结论不一定正确的是( )
A. ∠BAC＝∠B′AC′
B. AD＝DD′
C. BD＝B′D′
D. CC′∥BB′
B
课本母题
【例1】（课本P119改编） 如图5－37－4是一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴，请你画出这个图案的另一半．
解：如答图5－37－1.
母题变式
5. 如图5－37－5,给出一个图案的左半部分，其中虚线是这个图案的对称轴．请你画出这个图案的右半部分，使它组成一个完整的图案．
解：如答图5－37－2.
【例2】 如图5－37－6，△ABC与△DEF关于直线MN对称，其中∠C＝90°，AC＝8 cm，DE＝10 cm，BC＝6 cm．
(1)线段AD与MN的关系是什么？
(2)求∠F的度数；
(3)求△ABC的周长和△DEF的面
积．图5－37－6
课本母题
解：(1)因为△ABC
与△DEF关于直线MN对称，所以MN垂直平分线段AD.
(2)因为△ABC与△DEF关于直线MN对称,所以∠F＝∠C＝90°.
母题变式
6. 如图5－37－7，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠D＝65°，∠A＋∠B＝220°，AD＝4 cm，EF＝5 cm．
(1)求出AB，EH的长度以及
∠G的度数；
(2)连接AE，DH，AE与DH平
行吗？为什么？
解：(1)因为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，
所以∠C＝360°－∠D－(∠A＋∠B)＝360°－65°－220°＝75°.
因为四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，
所以AB＝EF＝5 cm，EH＝AD＝4 cm，∠G＝∠C＝75°．
(2)AE∥DH． 理由如下：
因为点A，E关于直线MN对称，点D，H关于直线MN对称，
所以MN⊥AE，MN⊥DH.
所以AE∥DH．
7. (创新题)如图5－37－8，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4 cm，FC＝1 cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°．
(1)求出BF的长度；
(2)求∠CAD的度数；
(3)连接EC，线段EC与直
线MN有什么关系？
图5－37－8
解：(1)因为△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4 cm，FC＝1 cm，
所以BC＝ED＝4 cm.
所以BF＝BC－FC＝3(cm)．
(2)因为△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°，
所以∠EAD＝∠BAC＝76°.
所以∠CAD＝∠EAD－∠EAC＝76°－58°＝18°．
(3)直线MN垂直平分线段EC. 理由如下：
因为点E，C关于直线MN对称，
所以直线MN垂直平分线段EC.(共18张PPT)
第五章 生活中的轴对称
温故知新
1. 如图5－41－1，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为( )
A． 6 B． 5
C． 4 D． 3
（限时3分钟）
D
2. 如图5－41－2，CD垂直平分AB，若AC＝
1.6 cm，AD＝2.3 cm，则四边形ABCD的周长是( )
A． 3.9
B． 7.8
C． 4
D． 4.6
B
探究新知
利用轴对称进行一些图案设计.
轴对称的性质:
(1)成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴________________;
(2)成轴对称的两个图形的任何对应部分也______________;
(3)成轴对称的两个图形__________.
垂直平分
成轴对称
全等
对点范例
3. 如图5－41－3，淇淇用一个正方形纸片设计了一个图案，其中部分小三角形已经涂上了灰色，她想再将图案中的①②③④中的一个小三角形涂灰，使得整个图案构成轴对称图形，则应该涂灰的小三角形是( )
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
D
课本母题
【例1】 如图5－41－4是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的2个涂灰．请你用四种不同的方法分别在下图中再涂黑3个空白的小正方形，使它成为轴对称图形．
解：如答图5－41－1.（答案不唯一）
母题变式
4. 小明设计了这样一个游戏：在4×4的方格内有3个小圆，其余方格都是空白，请你分别在如图5－41－5所示的四个图中的某个方格内补画一个小圆，使补画后的图形成为轴对称图形．
解：如答图5－41－4.
【例2】 观察如图5－41－6中的四个图案，回答下列问题：
课本母题
(1)请写出这四个图案的至少两个共同特征；(2)请在图5－41－6⑤中设计一个图案，使它具备你所写出的特征．
解：(1)特征1：都是轴对称图形；特征2：这些图案的面积都等于4个单位面积．
(2)如答图5－41－2.（答案不唯一）
母题变式
5. 如图5－41－7，有六个正六边形，每个正六边形有六个顶点，要求用两个顶点连线（即正六边形的对角线）将正六方形分成若干块，相邻的两块用黑白两色分开，最后形成轴对称图形，
图中已画出三个，请你继续画
出三个不同的轴对称图形
（至少用两条对角线）.
解：如答图5－41－5.（答案不唯一）
【例3】 请在如图5－41－8的四个3×3的正方形网格中，画出与格点三角形(阴影部分)成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．
(注：所画的
四个图不能重
复)
课本母题
解：如答图5－41－3.（答案不唯一）
母题变式
6. 如图5－41－9，在4×4的正方形网格中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．△ABC是一个格点三角形，请你在图中分别画出三个与△ABC成轴对称的格点三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图不能重复）
解：如答图5－41－6.（答案不唯一）(共28张PPT)
第五章 生活中的轴对称
温故知新
1. 已知正五边形的对称轴是过任意一个顶点与该顶点对边中点的直线，如图5－39－1所示的正五边形的一条对称轴与其边所夹锐角α的度数为( )
A． 72°
B． 54°
C． 108°
D． 75°
（限时3分钟）
B
2. 如图5－39－2，直线MN是四边形AMBN的对称轴，P是直线MN上的点，连接AP，BP．下列判断不一定正确的是( )
A． AM＝BM
B． ∠ANM＝∠BNM
C． ∠MAP＝∠MBP
D． AP＝BN
D
探究新知
A. 线段是轴对称图形，________________线段的直线是它的一条对称轴.
垂直于一条线段，并且________这条线段的直线，叫做这条线段的______________(简称________).
垂直并且平分
平分
垂直平分线
中垂线
对点范例
D
探究新知
B. 线段垂直平分线上的点到这条线段____________的距离相等.
两个端点
对点范例
4． 如图5－39－4，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝4 cm，BD＝5 cm，则△ABD的周长是( )
A. 8 cm
B. 16 cm
C. 13 cm
D. 18 cm
D
课本母题
【例1】如图5－39－5，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是( )
A．12 B．13
C．14 D．15
B
母题变式
5. 如图5－39－6,在△ABC中，BC＝8，AB,AC的垂直平分线与BC分别交于E,F两点，则△AEF的周长为( )
A．2
B．4
C．8
D．不能确定
C
【例2】 如图5－39－7，在△ABC中，AC＝6，BC＝4．
(1)用尺规作图：作线段AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E(保留作图痕迹，不要
求写作法)；
(2)求△CBD的周长．
课本母题
解：(1)如答图5－39－1，直线DE即为所求．
(2)因为DE垂直平分线段AB，所以DA＝DB.
所以CD＋DB＋BC＝CD＋DA＋BC＝AC＋BC＝6＋4＝10，
即△CBD的周长为10.
母题变式
6. 如图5－39－8，在△ABC中，∠ABC＝70°，∠C＝30°．
(1)用尺规作图：作BC边的垂直平分线，分别交于AC，BC于点D，E(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，连接BD，
求∠ABD的度数.
解：(1)如答图5－39－3，直线DE即为所求.
(2)因为DE是BC边的垂直平分线，
所以BD＝CD.
所以∠DBC＝∠C＝30°.
所以∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝70°－30°＝40°．
【例3】 如图5－39－9，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于点P，请问PA和PC相等吗？
请说明理由．
课本母题
解：PA＝PC. 理由如下：
如答图5－39－2，连接PB.
因为直线MN和直线DE分别是
线段AB，BC的垂直平分线，
所以PA＝PB，PC＝PB.
所以PA＝PC.
母题变式
7. 如图5－39－10，在四边形ABCD中，AE，AF分别是BC，CD的中垂线，连接BD. 若∠EAF＝80°，∠CBD＝30°，
求∠ABC和∠ADC的度数．
解：如答图5－39－4,连接AC.
因为AE，AF分别是BC，CD的中垂线，
所以AB＝AC＝AD，∠BAE＝∠CAE，
∠CAF＝∠DAF.
所以∠BAD＝2∠EAF＝2×80°＝160°.
所以∠ABD＝∠ADB＝(180°－∠BAD)÷2＝10°．
所以∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝10°＋30°＝40°.
在四边形AECF中，
∠BCD＝360°－∠AEC－∠AFC－∠EAF＝360°－90°－90°－80°＝100°．
所以在四边形ABCD中，
∠ADC＝360°－∠BAD－∠ABC－
∠BCD＝360°－160°－40°－100°＝60°．
【例4】 如图5－39－11，在△ABC中，AD是BC边上的高，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．(1)若∠DAC＝20°，
求∠FDC的度数；
(2)试判断∠B与∠AED的数
量关系，并说明理由．
课本母题
解：(1)因为AD⊥BC，所以∠ADC＝∠ADB＝90°.
因为EF垂直平分AD，
所以AF＝DF.
所以∠ADF＝∠DAF＝20°.
所以∠FDC＝∠ADC－∠ADF＝70°.
(2)∠AED＝2∠B. 理由如下：
因为AD⊥BC，EF⊥AD，所以EF∥BC.
所以∠AEF＝∠B.
因为EF垂直平分AD，
所以AE＝DE.所以∠AEF＝∠DEF.
所以∠B＝∠AEF＝∠DEF.所以∠AED＝2∠B.
母题变式
8. 如图5－39－12，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q．
(1)当∠BAC＝80°时，求∠PAQ的度数；
(2)当∠BAC满足什么条件时，
AP⊥AQ，说明理由；
(3)在(2)的条件下，BC＝10，
求△APQ的周长．
解：(1)因为MP，NQ分别是AB，AC的垂直平分线，所以AP＝BP，AQ＝CQ.
所以∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C.
因为∠BAC＝80°，
所以∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝100°.
所以∠PAQ＝∠BAP＋∠CAQ－∠BAC＝(∠B＋∠C)－∠BAC＝100°－80°＝20°.
(2)当∠BAC＝135°时，AP⊥AQ.理由如下：
如答图5－39－5.
因为AP⊥AQ，所以∠PAQ＝90°.
由(1)得，∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
因为∠B＋∠C＝180°－∠BAC，
∠BAP＋∠CAQ＝∠BAC－90°，
所以180°－∠BAC＝∠BAC－90°.解得∠BAC＝135°.
所以当∠BAC＝135°时，AP⊥AQ.
(3)因为AP＋PQ＋AQ＝BP＋PQ＋QC＝BC＝10，
所以△APQ的周长为10．(共28张PPT)
第五章 生活中的轴对称
温故知新
1. 如图5－38－1，四边形ABCD与四边形EBCF关于边BC所在的直线对称，若EF∥BC，∠ABE＝110°，则∠E的度数为( )
A． 100°
B． 120°
C． 125°
D． 135°
（限时3分钟）
C
2. 如图5－38－2，△ABC的周长是12，它与△DEF关于直线l对称，则图中阴影部分周长为( )
A． 6
B． 12
C． 16
D． 18
B
探究新知
A. 等腰三角形是________图形.
轴对称
对点范例
3． 下列图形中，只有3条对称轴的图形是( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 正方形 D. 直角三角形
B
探究新知
B. 等腰三角形顶角的________、底边上的________、底边上的________重合(也称“_______________”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
平分线
中线
高
三线合一
对点范例
4． 如图5－38－3，以下推理正确的是( )
A. 因为△ABC是等腰三角形，所以∠B＝∠C
B. 因为AB＝AC，所以AD 是高
C. 因为AD是△ABC的角平分线，
所以AD是高
D. 因为AD垂直平分BC，所以AB＝AC
D
探究新知
C. 等腰三角形的两个底角________.
相等
对点范例
5． 如图5－38－4，在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝40°，则∠B的度数是( )
A. 70°
B. 55°
C. 50°
D. 40°
A
课本母题
【例1】 如图5－38－5，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，求∠A的度数．
解：因为AB＝AC，
所以∠C＝∠B＝50°.
所以∠A＝180°－∠C－∠B＝180°－50°－50°＝80°．
母题变式
6. 如图5－38－6，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，求∠B的度数．
解：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.
因为CD＝AD，所以∠C＝∠DAC.
因为AB＝BD，
所以∠BAD＝∠BDA＝2∠C＝2∠B.
又因为∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，
所以5∠B＝180°. 所以∠B＝36°．
【例2】 (课本P122随堂练习第2题）如图5－38－7中墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平. 他拿来一个测平仪，在这个测平仪中，AB＝AC，BC边的中点D处挂了一个重锤，小明将BC边与木条重合，观察此时重锤是否过点A.
如果过点A，那么这根木条就是水平
的. 你能说明其中的道理吗？
课本母题
解：当重锤过点A时，AD为△ABC边BC上的中线.又因为AB＝AC，即△ABC是等腰三角形，
所以根据等腰三角形三线合一的性质，
可知AD也是BC边上的高，即AD⊥BC，
故这根木条是水平的．
母题变式
7. 某单位自行车车棚的顶部支架为一个等腰三角形ABC，AB＝AC，如图5－38－8所示．BC是一条水平的横梁，其跨度BC＝8 m，∠BAC＝120°，从顶部A悬挂铅垂线AD，与BC相交于点E．求：
(1)BE的长；
(2)∠BAD的度数．
【例3】如图5－38－9，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．
（1）求证：∠ABE＝∠CAD；
（2）试判断线段AB与BD，DH之间
有何数量关系，并说明理由．
课本母题
图5－38－9
（1）证明：因为AB＝BC，BE平分∠ABC，
所以∠ABE＝∠CBE，BE⊥AC．
所以∠BEC＝∠ADC＝90°．
所以∠C＋∠DAC＝∠C＋∠EBC＝90°．
所以∠EBC＝∠DAC．所以∠ABE＝∠DAC．
母题变式
8. 如图5－38－10，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，CE是边AB上的高，AE＝CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF＝2CD．
（2）因为△AEF≌△CEB，
所以AF＝BC．
因为AB＝AC，AD⊥BC，
所以CD＝BD．所以BC＝2CD．
所以AF＝2CD．
【例4】 (课本P123习题第5题改编）如图5－38－11，点A，B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA＋PB的值最小，画出图形并说明理由．
课本母题
解：如答图5－38－1，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，交直线l于点P，连接BP，
则点P即为所求. 理由如下：
因为点B，B′关于直线l对称，
所以BP＝B′P.
所以AP＋BP＝AP＋B′P＝AB′.
所以PA＋PB的值最小等于线段AB′的长.
母题变式
9. 如图5－38－12，∠ABC＝30°，∠ABC内有一点P，点P到点B的距离为10 cm，在BA，BC边上各取一点P1，P2，使△PP1P2的周长最小并求出这个最小值．(保留作图痕迹并说明结果)
解：如答图5－38－2，以BC为对称轴作点P的对称点M，以BA为对称轴作出点P的对称点N，连接MN交BA，BC于点P1，P2，△PP1P2即为所求作三角形．
则PP1＝NP1,PP2＝MP2，∠NBA＝∠PBA,
∠MBC＝∠PBC,BN＝BM＝BP＝10 cm.
因为∠ABC＝30°，所以∠MBN＝60°.
所以△BMN是等边三角形.
所以PP1＋P1P2＋PP2＝NP1＋P1P2＋MP2＝MN＝10 cm.
所以△PP1P2的周长最小值为10 cm．
