(共9张PPT)
第四章 三角形
A组(基础过关)
1. 利用尺规作图不能作出唯一的三角形的是( )
A. 已知三边
B. 已知两边及夹角
C. 已知两角及夹边
D. 已知三个角
D
2. 根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是 ( )
A. ∠A＝60°，∠B＝45°，∠C＝75°
B. AB＝3，BC＝4，∠B＝30°
C. AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
D. AB＝3，BC＝8，AC＝5
B
3. 如图F4－34－1，△ABC是三边都不相等的三角形，DE＝BC，以 D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 ( )
A. 2 个 B. 4 个
C. 6 个 D. 8 个
B
4. 利用尺规作三角形，有三种基本类型：
(1)已知三角形的两边及其夹角，求作符合要求的三角形，其作图依据是“_____”；
(2)已知三角形的两角及其夹边，求作符合要求的三角形，其作图依据是“______”；
(3)已知三角形的三边，求作符合要求的三角形，其作图依据是“______”.
SAS
ASA
SSS
5. 如图F4－34－2①，已知线段a，用尺规作出如图F4－34－2②所示的△ABC，使 AB＝a，BC＝AC＝2a.
作法：
(1)作一条线段
AB＝______；
(2)分别以点______，
______为圆心，以______
为半径画弧，两弧交于点 C；
(3)连接 AC，______，则△ABC就是所求作的三角形.
a
A
B
2a
BC
B组(能力提升)
6. 如图F4－34－3，已知线段a 和∠α，用直尺和圆规作△ABC，使 AB＝AC＝a，∠A＝∠α.（不写作法，保留作图痕迹）
解：如答图F4－34－1，△ABC即为所求.
7. 如图F4－34－4，已知△ABC，求作△A′B′C′，使△A′B′C′≌△ABC，用两种不同的方法作图.
解：方法一如答图F4－34－2.
方法二如答图F4－34－3.
C组(思维拓展)
8. (创新题)如图F4－34－5，已知∠β和线段 a. 求作：△ABC，使得∠A＝∠β，∠B＝2∠β，边 AB＝a.(不写作法，保留作图痕迹)
解： 如答图F4－34－4，
△ABC即为所求.(共19张PPT)
第四章 三角形
A组(基础过关)
1. 已知A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A,B间的距离，如图F4－35－1所示的这种方法，是利用了三角形全等中的( )
A. SSS B. ASA
C. AAS D. SAS
D
2. 如图F4－35－2，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量AB＝9 cm，则容器的内径A′B′为（ ）
A. 8 cm
B. 9 cm
C. 10 cm
D. 11 cm
B
3. 如图F4－35－3，欲测量内部无法到达的古塔相对两点A，B间的距离，可延长AO至点C，使CO＝AO，延长BO至点D，使DO＝BO，则△COD≌△AOB，从而通过测量CD就可测得点A，B间的距离，其全等的根据是( )
A. SAS B. ASA
C. AAS D. SSS
A
4. 如图F4－35－4，要测量水池的宽度AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，再从点C观测，在BA的延长线上测得一点D，使∠ACD＝∠ACB，这时量得AD＝160 m，则水池宽AB的长度是______m.
160
5. 如图F4－35－5，某人在楼顶点A处看到一烟囱顶端B的仰角∠BAD＝42°，看到烟囱底部C的俯角∠CAD也是42°，如果楼AE的高是15 m，那么烟囱BC的高是______m.
30
B组(能力提升)
6. 如图F4－35－6，阳阳为了测量高楼AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，∠APC＝90°，量得点P到楼底距离PB与旗杆高度CD相等，等于10 m，量得旗杆与楼之间距离
DB＝36 m. 求楼高AB.
7. (1)启迪中学计划为七年级学生暑期军训配备如图F4－35－7①所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定.这种设计所运用的数学原理是__________________________；
三角形具有稳定性
(2)图F4－35－7②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为40 cm，由以上信息可以得到CB的长度是多少吗？请说明理由.
8. 小明家所在的小区有一个池塘，如图F4－35－8，A，B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在BD的中点C处有一个雕塑，小明从点A出发，沿直线AC一直向前经过点C走到点E，并使CE＝CA，然后他测量点E到假山D的
距离，则DE的长度就是A，B两
点之间的距离．
（1）你能说明小明这样做的理由吗？
（2）如果小明未带测量工具，但是知道点A和假山、雕塑分别相距200 m,120 m，你能帮助他确定AB的长度范围吗？
（2）如答图F4－35－1，连接AD.
因为AD＝200 m，
AC＝120 m，
所以AE＝240 m.
所以40 m＜DE＜440 m.
所以40 m＜AB＜440 m．
C组(思维拓展)
9. (创新题)如图F4－35－9，小刚站在河边的点A处，在河的对面(小刚的正北方向)的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了140步.
(1)根据题意，画出示意图；
(2)如果小刚一步大约0.5 m，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，
并说明理由.
解：(1)如答图F4－35－2.
(共10张PPT)
第四章 三角形
A组(基础过关)
1. 如图F4－33－1，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是 ( )
A. ∠BCA＝∠F
B. ∠A＝∠EDF
C. BC∥EF
D. ∠B＝∠E
D
2. 如图F4－33－2，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是 ( )
A. ∠A＝∠D
B. BC＝EF
C. ∠ACB＝∠F
D. AC＝DF
D
3. 图F4－33－3中全等的三角形是( )
A. ①和②
B. ②和③
C. ②和④
D. ①和③
D
4. 如图F4－33－4，在△ABC和△DEF中，已知 AB＝DE，BC＝EF，根据 SAS 判定△ABC≌△DEF，还需要的条件是____________.
∠B＝∠E
5. 如图F4－33－5，已知AC＝BD，∠1＝∠2，那么△ABC≌____________，其判定根据是_____________.
△BAD
SAS
B组(能力提升)
6. （2022衡阳）如图F4－33－6，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，且BD＝CE．求证：AD＝AE．
7. 如图F4－33－7，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2. 求证：
(1)AE＝CD；(2)∠1＝∠3.
图F4－33－7
(2)因为△ABE≌△CBD，
所以∠A＝∠C.
又因为∠AFB＝∠CFE，
所以∠1＝∠3.
C组(思维拓展)
8. (2021陕西) 如图F4－33－8，BD∥AC，BD＝BC，点 E在 BC上，且 BE＝AC.求证：∠ABC＝∠D.
(共11张PPT)
第四章 三角形
A组(基础过关)
1. 如图F4－26－1所示的三角形有一部分被遮挡，通过观察，判断三角形是( )
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 以上都有可能
C
2. 若一个三角形的两个内角的度数分别为30°和70°，则这个三角形是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 不能确定
A
3. 在△ABC中，下列条件不能确定△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A＋∠B＝∠C
B. ∠A ∶∠B ∶∠C＝1∶2∶3
C. ∠A＝2∠B＝3∠C
D. ∠A＝∠B＝12∠C
C
4. 如图F4－26－2，在△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC. 若∠1＝156°，则∠B＝______°.
66
5. 直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角度数是______°.
35
B组(能力提升)
6. 如图F4－26－3，在△ABC中，D，E分别是BC，AC边上的点，连接BE，AD，相交于点F.
(1)△BDF的三个顶点是什么？三条边是什么？
(2)AB是哪些三角形的边？
解：(1)△BDF的三个顶点是点B，
点D，点F，三条边是BF，BD，DF.
(2)AB是△ABC，△ABD，
△ABE，△ABF的边.
7. 如图F4－26－4，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝40°，BE平分∠ABC，DC⊥BC交BE延长线
于点D，求∠D和∠AED的度数.
C组(思维拓展)
8. (创新题)如图F4－26－5，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE，CD相交于点F.
(1)若∠DCB＝50°，求∠CEF
的度数；
(2)求证：∠CEF＝∠CFE.
图F4－26－5
(2)证明：因为AE平分∠CAB，
所以∠BAE＝∠CAE.
因为∠CAE＋∠CEF＝90°，∠BAE＋∠AFD＝90°，
所以∠CEF＝∠AFD.
因为∠CFE＝∠AFD，
所以∠CEF＝∠CFE.(共11张PPT)
第四章 三角形
A组(基础过关)
1. 数学课上，老师让同学们用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是( )
B
2. 在△ABC中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则( )
A. AP≤AQ B. AQ≤AR
C. AP＞AR D. AP＞AQ
A
3. 如图F4－29－1，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是( )
A. BF＝CF
B. ∠C＋∠CAD＝90°
C. ∠BAF＝∠CAF
D. S△ABC＝2S△ABF
C
4. 如图F4－29－2，在△ABC中，BC边上的高为______.
AE
5. 如图F4－29－3，在△ABC中，AD为中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝______.
2
B组(能力提升)
6. 如图F4－29－4，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B.
(1)试说明CD是△ABC的高；
(2)如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长.
解：(1)因为∠1＋∠BCD＝90°，
∠1＝∠B，
所以∠B＋∠BCD＝90°.
所以∠CDB＝90°，即CD⊥AB.
所以CD是△ABC的高.
C组(思维拓展)
7. (创新题)如图F4－29－5，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD＝6 cm，E是一个动点，由点B向点C以3 cm/s匀速移动，已知BC＝9 cm.
(1)求当点E在运动过程中△ABE的面积
y cm2与运动时间x s之间的关系式；
(2)当点E停止后，求△ABE的面积.
(2)当点E运动到点C时停止,运动的时间为
9÷3＝3(s),
当x＝3时,y＝9×3＝27.
所以当点E停止后，△ABE的面积为27 cm2.(共10张PPT)
第四章 三角形
A组(基础过关)
1. 如图F4－28－1，在△ABC中，D为 BC上的一点，且 S△ABD＝S△ACD，则 AD为△ABC的 ( )
A. 高 B. 角平分线
C. 中线 D. 不能确定
C
2. 如图F4－28－2，在△ABC中，AB＝20，AC＝18，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）
A． 1 B． 2
C． 3 D． 4
B
3. 如图F4－28－3，已知点D是△ABC的重心，连接 BD并延长，交AC于点 E，若AE＝4，则AC的长度为 ( )
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
B
4. 如图F4－28－4，AD是△ABC的中线，E，F是 AD的三等分点，若△CEF的面积为1 cm2，则△ABC的面积为______cm2.
6
5. 如图F4－28－5，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点P，若∠BPC＋∠A＝180°，则∠A＝______°.
60
B组(能力提升)
6. 如图F4－28－6，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
解：因为AD是△ABC的角平分线，
∠BAC＝40°，
所以∠BAD＝20° .
所以∠ADB＝180°－∠BAD－
∠B＝180°－20°－75°＝85°.
7. 如图F4－28－7，在△ABC中，AC＝3 cm，中线 AD把△ABC分成两个小三角形.若△ABD的周长比△ADC的周长大 2 cm，求 AB的长.
解： 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝CD.
因为△ABD的周长比△ADC的周长大 2 cm，
所以AB－AC＝2 cm.
因为AC＝3 cm，
所以AB＝5 cm.
C组(思维拓展)
8. (创新题)如图F4－28－8，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝48°，∠C＝62°，求∠DAE的度数.
(共10张PPT)
第四章 三角形
A组(基础过关)
1. 下列各选项中的两个图形属于全等形的是( )
C
2. 如图F4－30－1，△ABC≌△ADE，如果AB＝5 cm，BC＝7 cm，AC＝6 cm，那么DE的长是图F4－30－1( )
A. 6 cm B. 5 cm
C. 7 cm D. 无法确定
C
3. 已知图F4－30－2中的两个三角形全等，则∠α的度数是( )
A. 72° B. 60°
C. 58° D. 50°
D
4. 如图F4－30－3，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填序号）
②③
5. 如图F4－30－4，四边形ABCD与四边形 A′B′C′D′ 全等，则∠D′＝______°，
∠A＝______°，B′C′＝______，AD＝______.
120
70
12
6
B组(能力提升)
6. 如图F4－30－5，△ABD≌△CBD，若∠A＝80°，∠ABC＝70°，求∠ADC的度数.
解：因为△ABD≌△CBD，
所以∠C＝∠A＝80°.
所以∠ADC＝360°－∠A－∠C
－∠ABC＝360°－80°－80°－70°＝130°.
7. 如图F4－30－6，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2.
(1)求∠F的度数与DH的长；
(2)求证：AB∥DE.
(1)解：因为∠A＝85°，∠B＝60°，
所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝35°.
因为△ABC≌△DEF，AB＝8，
所以∠F＝∠ACB＝35°，DE＝AB＝8.
因为EH＝2，所以DH＝8－2＝6.
(2)证明：因为△ABC≌△DEF，
所以∠DEF＝∠B. 所以AB∥DE.
C组(思维拓展)
8. (创新题)如图F4－30－7，△ABC≌△ADE，AB＝AD，AC＝AE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠AED＝105°，∠CAD＝15°，∠B＝30°，求∠1的度数.
解：因为△ABC≌△ADE，
所以∠AED＝∠ACB＝105°，
∠D＝∠B＝30°.
所以∠ACF＝180°－∠ACB＝180°
－105°＝75°.
所以∠DFG＝∠AFC＝180°－∠ACF－∠CAD＝90°.
所以∠1＝180°－∠DFG－∠D＝60°.(共10张PPT)
第四章 三角形
A组(基础过关)
1． （2022金华）如图F4－32－1，AC与BD相交于点O，OA＝OD，∠A＝∠D，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（ ）
A． SSS B． SAS
C． AAS D． ASA
D
2. 如图F4－32－2，∠1＝∠2，∠3＝∠4，OE＝OF，则图中全等的三角形有 ( )
A. 1 对
B. 2 对
C. 3 对
D. 4 对
B
3. 如图F4－32－3，已知点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，∠A＝∠D，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是____________________
(只需写出一个).
AB＝DE(答案不唯一)
4. 如图F4－32－4,∠1＝∠2，由AAS判定△ABD≌△ACD，则需添加的
条件是_________.
∠B＝∠C
5. 如图F4－32－5，已知点B，E，F，C在同一条直线上，∠A＝∠D，BE＝CF，且 AB∥CD，求证：AE＝DF.
B组(能力提升)
6. 如图F4－32－6，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠D＝∠AEC，求证：AD＝AE.
证明： 因为AB⊥AC，AD⊥AE，
所以∠BAE＋∠CAE＝90°，
∠BAE＋∠BAD＝90°.
所以∠CAE＝∠BAD.
又因为AB＝AC，∠D＝∠AEC，
所以△ABD≌△ACE(AAS).
所以AD＝AE.
C组(思维拓展)
7. (创新题)如图F4－32－7，B，C，E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B.
(1)求证：BC＝DE;
(2)若∠A＝80°，求∠BCD的度数.
(2)解： 因为△ABC≌△CDE，
所以∠A＝∠DCE＝80°.
所以∠BCD＝180°－∠DCE＝180°－80°＝100°.(共11张PPT)
第四章 三角形
A组(基础过关)
1. 下列图形中，具有稳定性的是( )
D
2. 如图F4－31－1是用直尺和圆规作一个三角形O1A1B1使得△O1A1B1≌△OAB的示意图，依据______定理可以判定两个三角形全等.( )
A. SSS B. SAS
C. ASA D. AAS
A
3. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图F4－31－2，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，
其依据是( )
A． SSS B． SAS
C． ASA D． AAS
A
4. 如图F4－31－3，AD＝BC，若利用“SSS”来证明△ABD≌△CDB，则需要添加的一个条件是____________.
AB＝CD
5. 如图F4－31－4，FA＝EA，AC＝AB，现用“SSS”判定△FAC≌△EAB，需添加一个条件是__________________.
FC＝EB
B组(能力提升)
6. 如图F4－31－5，点A，D，B，E在同一直线上，BC与DF相交于点O,AC＝DF，AD＝BE，BC＝EF.
(1)求证：△ABC≌△DEF;
(2)若∠A＝55°，∠C＝65°，
求∠DOB的度数.
(2)解：因为△ABC≌△DEF，
所以∠A＝∠FDE.
所以AC∥FD.
所以∠DOB＝∠C＝65°.
C组(思维拓展)
7. (创新题)如图F4－31－6，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，
点A，D在l异侧，测得AB＝DE，
AC＝DF，BF＝EC.
求证：AB∥DE，AC∥DF.
证明：因为BF＝CE，所以BF＋FC＝FC＋CE，
即BC＝______.
在△ABC和△DEF中，
EF
AB＝DE
AC＝DF
BC＝EF
所以△ABC≌△DEF(______).
所以∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE
(________________________).
所以AB∥DE，AC∥DF(_______________________).
SSS
全等三角形对应角相等
内错角相等，两直线平行(共13张PPT)
第四章 三角形
A组(基础过关)
1. （2022衢州）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
A
2. 用小棒钉成一个三角形，两根小棒分别是7 cm和10 cm，第三根小棒可取( )
A. 20 cm B. 3 cm
C. 11 cm D. 2 cm
C
3. 已知三角形三边的长都是整数，且周长是12，则三边的长不可能是( )
A. 2，5，5 B. 3，3，6
C. 3，4，5 D. 4，4，4
B
4. 已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则第三边长为______.
5. 已知三角形的三边长为连续整数，且周长为18 cm，则它的最短边的长为______cm.
4
5
B组(能力提升)
6. 已知三角形的两边长为8和10，第三边长x最小.
(1)求x的取值范围；
(2)当x为何值时，围成的三角形周长最大？并求出周长.
解：(1)由三角形的三边关系，得2＜x＜18.
因为x为最小，
所以x的取值范围是2＜x≤8.
(2)当x＝8时，三角形的周长最大，
且最大值是8＋10＋8＝26.
7. 已知△ABC的三边长分别为a，b，c.
(1)若a，b，c满足(a－b)2＋(b－c)2＝0，试判断△ABC的形状；
(2)若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长.
解：(1)因为(a－b)2＋(b－c)2＝0，
所以a－b＝0且b－c＝0.
所以a＝b＝c.
所以△ABC是等边三角形.
(2)因为a＝5，b＝2，且c为整数，
所以5－2＜c＜5＋2，即3＜c＜7.
所以c＝4，5，6.
所以△ABC周长为11或12或13.
C组(思维拓展)
8. (创新题)已知不等边三角形ABC的三边为a，b，c.
(1)若a＝2，b＝7，c为最长边且为整数，求三角形ABC的周长；
(2)化简：|a＋b－c|－|b－a－c|＋|a＋b＋c|.
解：(1)因为a＝2，b＝7，
所以7－2＜c＜7＋2，即5＜c＜9.
因为c为最长边且为整数，
所以c＝8.
所以三角形ABC的周长为2＋7＋8＝17.
(2)因为三角形ABC的三边为a，b，c，
所以a＋b＞c，b＜a＋c.
所以a＋b－c＞0，b－a－c＜0，a＋b＋c＞0.
所以|a＋b－c|－|b－a－c|＋|a＋b＋c|＝a＋b－c＋b－a－c＋a＋b＋c＝a＋3b－c.
