江苏省镇江市镇江中学2023-2024学年高二下学期见面（开学）考试数学试卷(含解析)

江苏省镇江市镇江中学2023-2024学年高二下学期见面（开学）考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知抛物线的焦点为F,准线为l,则焦点F到准线l的距离为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
2．设,则=( )
A.2 B. C. D.1
3．为了得到函数的图象,只要把函数图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
4．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15,且,则( )
A.16 B.8 C.4 D.2
5．设,,则以线段AB为直径的圆的方程为( )
A. B. C. D.
6．已知A,B,C为球O的球面上的三个点,为的外接圆,若的面积为,,则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
7．若为偶函数,则( )
A.-1 B.0 C. D.1
8．如图,点N为正方形ABCD的中心,为正三角形,平面平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )
A.,且直线BM,EN是相交直线
B.,且直线BM,EN是相交直线
C.,且直线BM,EN是异面直线
D.,且直线BM,EN是异面直线
二、多项选择题
9．为响应自己城市倡导的低碳出行,小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具,他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟）,得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息,则正确的是( )
A.骑车时间的中位数的估计值是22分钟
B.骑车时间的众数的估计值是21分钟
C.坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟
D.坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值
10．已知等差数列的前n项和为,,,则( )
A. B.的前n项和中最小
C.使时n的最大值为9 D.数列的前10项和为-15
11．已知中,其内角A,B,C的对边分别为a,b,c下列命题正确的有( )
A.若,则
B.若,4,则外接圆半径为4
C.若,则为直角三角形
D.若,,,则
12．已知椭圆分别为它的左右焦点,A,B分别为它的左右顶点,点P是椭圆上的一个动点,下列结论中正确的有( )
A.存在P使得
B.的最小值为
C.直线PA与直线PB斜率乘积为定值
D.,则的面积为9
三、填空题
13．已知向量,,若,则_______________.
14．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,,,则________________.
15．已知双曲线的一条渐近线为,则C的焦距为______________.
16．已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上,是边长为3的等边三角形,平面ABC,则______________.
四、解答题
17．记为等差数列的前n项和,已知.
（1）若,求的通项公式;
（2）若,求使得的n的取值范围.
18．直三棱柱中,,,,D为的中点,E为的中点,F为CD的中点.
(1)求证：平面ABC;
(2)求直线BE与平面所成角的正弦值;
(3)求平面与平面夹角的余弦值.
19．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验：将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到的估计值为0.70.
（1）求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
20．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)若,求B;
(2)求的最小值.
21．已知的前n项和为,,且满足__________,现有以下条件：
①;
②;
③
请在三个条件中任选一个,补充到上述题目中的横线处,并求解下面的问题：
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求的前n项和,并证明：.
22．已知椭圆的左右焦点分别为,,离心率为,P是椭圆上一点,且面积的最大值为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线交椭圆于M,N两点,求的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：抛物线,
根据抛物线的定义,得焦点F到准线l的距离为.
故选：B.
2．答案：C
解析：因为,所以,所以,故选：C.
3．答案：D
解析：因为,
所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象.
故选：D.
4．答案：C
解析：设正数的等比数列的公比为q,则,
解得,,
故选：C.
5．答案：B
解析：由题知线段AB中点为,,
所以,以线段AB为直径的圆的圆心为,半径为,其方程为
故选：B.
6．答案：A
解析：设圆半径为r,球的半径为R,依题意,
得,,为等边三角形,
由正弦定理可得,
,根据球的截面性质平面ABC,
,
球O的表面积.
故选：A.
7．答案：B
解析：因为 为偶函数,则,,解得,
当时,,,解得或,
则其定义域为或,关于原点对称.
,
故此时为偶函数.
故选：B.
8．答案：B
解析：如图所示,作于O,连接ON,过M作于F.
连BF,平面平面ABCD.
,平面CDE,平面ABCD,平面ABCD,
与均为直角三角形.设正方形边长为2,
易知,,,
,,,.,
故选：B.
9．答案：BCD
解析：对于A：,,
所以骑车时间的中位数在这一组,为分钟,故A错误;
对于B：骑车时间的众数的估计值是分钟,故B正确;
对于C：,,所以坐公交车时间的40%分位数的估计值在这一组,为分钟,故C正确;
对于D：坐公交车时间的平均数的估计值为：
,
骑车时间的平均数的估计值为：
,
则坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值,故D正确.
故选：BCD.
10．答案：BCD
解析：设等差数列的首项为,公差为d,
所以,解得,
所以,,
对于A：,故错误;
对于B：,
由二次函数的性质可知,故正确;
对于C：令,解得,所以n的最大值为9,故正确;
对于D：因为,所以是首项为-3,公差为的等差数列,
所以的前10项和为,故正确;
故选：BCD.
11．答案：BD
解析：A.当,,此时,故A错误;
B.由正弦定理可知,,B正确;
C.因为,所以,即,
整理可得,即,
因为B,C为三角形的内角,所以,即为等腰三角形,C错误;
因为,,,所以,D正确.
故选：BD.
12．答案：AD
解析：设椭圆C上下顶点为D,E,由题知椭圆中,,,,
所以,,,,,,
对于A选项,由于,,
所以的最大角为钝角,故存在P使得,故A正确;
对于选项,记,,则,
由余弦定理：,
当且仅当时取,B不正确;
对于选项,设,,
则,,
于是,故C错误.
对于D选项,由于,故,
所以,D正确;
故选：AD.
13．答案：
解析：因为,
所以由可得,
,解得.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意,,
所以,
所以,解得（负值舍去）.
故答案为：.
15．答案：4
解析：由渐近线方程化简得,
即,同时平方得,
又双曲线中,,故,
解得,（舍去）,,故焦距.
故答案为：4.
16．答案：2
解析：如图,将三棱锥转化为正三棱柱,
设的外接圆圆心为,半径为r,
则,可得,
设三棱锥的外接球球心为O,连接OA,,则,,
因为,即,解得.
故答案为：2.
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）设等差数列的首项为,公差为d,
根据题意有,
解答,所以,
所以等差数列的通项公式为;
（2）由条件,得,即,
因为,所以,并且有,所以有,
由得,整理得,
因为,所以有,即,
解得,
所以n的取值范围是：
18．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：（1）证明：在直三棱柱中,平面,且,则
以点为坐标原点,、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、、、、、、,则,
易知平面ABC的一个法向量为,则,故,
平面ABC,故平面ABC.
（2）,,,
设平面的法向量为,则,
取,可得,.
因此,直线BE与平面夹角的正弦值为.
（3）,,
设平面的法向量为,则,
取,可得,则,
因此,平面与平面夹角的余弦值为.
19．答案：(1),;
(2)4.05,6.
解析：(1)由题得,解得,
由,解得.
(2)由甲离子的直方图可得,甲离子残留百分比的平均值为,
乙离子残留百分比的平均值为
20．答案：(1);
(2).
解析：（1）因为,
即,
而,所以;
（2）由（1）知,,所以,,
而,
所以,即有,所以,
所以
.
当且仅当时取等号,所以的最小值为.
21．答案：(1);
(2);证明见解析.
解析：（1）若选择条件①：因为,
当时,,
两式相减得,
所以当时,当时符合,
;
若选择条件②：因为,
当时,
两式相减得,,
是首项为2,公比为2的等比数列,
;
若选择条件③：,
时,,
两式相减得,
当时,,可得,,
时成立,
是首项为2,公比为2的等比数列,
;
（2）由（1）可知,
则,
所以,
因为,
所以各项均为正数,
所以,
又因为,
所以.
22．答案：(1)
(2)
解析：（1）由题意可列方程组,解得,所以椭圆方程为：.
（2）①当过的直线与x轴垂直时,此时,,,则,,.
②当过的直线不与x轴垂直时,可设,,直线方程为
联立得：.
所以,
=
将韦达定理代入上式得：
.
,,
,
由①②可知.