泗县一中2023-2024学年度高下学期开学
适应性训练数学试题
分值：150分 考试时间：120分钟 命题人：周海艳 审题人：鲍金凤
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意解一元二次不等式、求复合对数函数定义域化简集合，结合交集的概念即可求解.
【详解】，
，
所以.
故选：D.
2. 已知，则“”是“点在第一象限内”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】结合三角函数的想先符号判断即可.
【详解】若，则在第一或三象限，
则或，则点在第一或三象限，
若点在第一象限，
则，则
故“”是“点在第一象限内”的必要不充分条件.
故选：B
3. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的单调性，结合零点存在性定理判断选项即可.
【详解】因为在上为增函数，且，
，因为，所以，
所以的零点所在区间为.
故选：C.
4 已知角满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由两角差的正切公式求得，直接二倍角公式及同角关系将转化为含的形式，由此可得结果．
【详解】因为，化简得，所以，又，所以，故选：A．
5. “扇形窗下清风徐”.如图所示是一个扇子形窗，其所在的扇形半径为，圆心角为，窗子左右两边的边框长度都为，则该窗的面积约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合扇形的面积公式运算求解.
【详解】由题意可知：扇形的圆心角为，大扇形的半径为，小扇形的半径为，
所以该窗的面积为.
故选：C.
6. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】要使函数是减函数，须满足 求不等式组的解即可.
【详解】若函数上单调递减，则
得，
故选：C.
【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，考查函数的性质.
7. 已知函数图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由排除D，为偶函数排除A，在有零点排除C，检验可知B符合题意.
【详解】设题设函数为，
由图可知，若，但此时，矛盾，故可排除D；
由为偶函数，若，则，矛盾，故排除A；
在有零点，若，则时，，矛盾，故排除C，
经检验，B选项在函数的零点奇偶性等方面均符合题意.
故选：B.
8. 已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】因为，所以或，只需的图象与直线有3个交点，据此即可求解.
【详解】因为，
所以或，因为关于x的方程有6个不同的实数根，
所以的图象与直线和直线有6个不同的交点，
如图的图象与直线有3个交点，
所以只需的图象与直线有3个交点，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于因为，所以或，只需的图象与直线有3个交点的分析.
二、多项选择题：每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错得0分．
9. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用两角和差的正弦公式、正切公式的逆运用可以分别计算出A、D选项，利用二倍角正弦公式的逆运用可以计算出B选项，根据降幂公式可以化简病求出C选项.
【详解】对于A选项，，所以A正确；
对于B选项，，所以B不正确；
对于C选项，，所以C不正确；
对于D选项，，所以D正确；
故选：AD.
10. 若正实数满足，则下列选项中正确的是（ ）
A. 有最大值
B.
C. 的最小值是10
D. 有最小值
【答案】AB
【解析】
【分析】利用均值不等式和“1”的妙用判断ACD，由讨论的范围判断B即可.
【详解】选项A：因为为正实数，所以，当且仅当时等号成立，
所以有最大值，A说法正确；
选项B：由可得，因为为正实数，所以，，
所以，B说法正确；
选项C：由题意可得，
当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值是，C说法错误；
选项D：由A得，所以，
当且仅当时等号成立，所以有最大值，不存在最小值，D说法错误；
故选：AB
11. 函数的部分图像如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A. 的最小正周期是 B. 是奇函数.
C. 在上单调递增 D. 直线是曲线的一条对称轴
【答案】BC
【解析】
【分析】由图像求函数解析式，再根据选项研究函数相关性质.
【详解】由函数图像可得，，
最小正周期，，，
则，
又由题意可知当时，，
即，则，
故，所以.
的最小正周期是，A选项正确；
，是偶函数，B选项错误；
时，，是正弦函数的单调递减区间，C选项错误；
由，得曲线的对称轴方程为，
当时，得直线是曲线的一条对称轴，D选项正确；
选项中错误的说法是BC.
故选：BC
12. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”，特别地，当时，则称为的“完美区间”．则下列说法正确的是（ ）
A. 若为函数的“完美区间”，则
B. 函数，存在“倍美好区间”
C. 函数，不存在“完美区间”
D. 函数，有无数个“2倍美好区间”
【答案】ABD
【解析】
【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误.
【详解】因为函数的对称轴为，故函数在单调递增。
所以值域，又为函数的“完美区间”，
所以，得或，因为，所以，故A对；
假设函数，存在“倍美好区间”设定义域为，值域为，
当时， 在区间上单调递增，
所以，解得，故B对；
因为在上单调递增，在上单调递减，
假设函数存在“完美区间”，
当时，在单调递减，要使值域为，
则，解得，即假设成立，故C错；
假设函数定义域内任意子区间，
因为在上单调递增，所以值域为，故内任意一个子区间都是“2倍美好区间”，故D对
故选：ABD
三、填点题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知幂函数满足以下条件：
①是奇函数；②在是增函数；③.
写出一个满足条件①②③的函数的一个解析式______.
【答案】
【解析】
【分析】分别由幂函数，奇函数，增函数定义验证以及验证即可.
【详解】因为，定义域为，关于原点对称；
又，所以是奇函数；
因为所以为上的增函数；
；
故答案为：
14. 已知函数，则的值是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的表达式代入进行求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，
故答案为：
15. 函数的单调递增区间是__________.
【答案】（2，+∞）
【解析】
【分析】
根据复合函数“同增异减”的方法求函数的单调递增区间，注意函数的定义域.
【详解】是复合函数，可以写成，，根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法可知外层函数是增函数，所以只需求在定义域内的单调递增区间，
，解得：或，函数在单调递增，在单调递减，
所以函数的单调递增区间是.
故答案为：
16. 已知函数其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】由复合函数单调性、正弦函数单调性得出关于不等式组，从而，进一步结合，又可得到关于的不等式组，结合即可得解.
【详解】由题意，所以在单调递增，
若在区间上单调递增，则在上单调递增，
所以，其中，解得，
从而等号不能同时成立，解得，
又，所以只能，
即的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：在得出后还要结合题意得，，由此即可顺利得解.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）求的值；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可；
（2）由已知条件可得，再利用诱导公式及同角的商数关系化简原不等式即可得答案．
【详解】（1）
（2）因为，
所以，
所以，
所以或，即或，
又，为第二象限角，所以，所以；
所以.
18. 已知为定义域R上的奇函数，且当时，．
（1）求的值以及的解析式；
（2）用函数单调性定义证明：在上为增函数．
【答案】（1），;
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质求的值，利用奇函数的定义求的解析式；
（2）利用单调性的定义证明即可.
【小问1详解】
为R上的奇函数，
设，则，
又为奇函数，
所以的解析式为
【小问2详解】
证明：，且
则
，，
，即
所以在上增函数.
19. 已知函数．
（1）求的值及的单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值，以及取最值时x的值．
【答案】（1）1，，
（2）时，有最大值；时，有最小值.
【解析】
【分析】（1）将化简为，解不等式，，即可得函数的单调递增区间；
（2）由，得，从而根据正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的最值．
【小问1详解】
解：因为，
，
令，，得，，
所以的单调递增区间为，；
【小问2详解】
解：因为，所以，
所以，
所以，
当，即时，有最大值，
当，即时，有最小值．
20. 已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的m，，，都有．
若，求a的取值范围．
若不等式对任意和都恒成立，求t的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由函数的单调性的定义，构造出f（x）在定义域[﹣5，5]，上是增函数，通过增函数性质解不等式得a的取值范围;
（2）由f（x）单调递增且奇函数，利用其最大值整理得关于a，t 的不等式，由a∈[﹣3，0]都恒成立，根据单调性可以求t的取值范围．
【详解】解：设任意x1，x2满足﹣5≤x1＜x2≤5，由题意可得：
f（x1）﹣f（x2）即f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在定义域[﹣5，5]，上是增函数，
由f（2a﹣1）＜f（3a﹣3），得，解得2＜a，
故a的取值范围为（2，]；
（2）由以上知f（x）是定义在[﹣5，5]上的单调递增的奇函数，且f（﹣5）＝﹣2，
得在[﹣5，5]上f（x）max＝f（5）＝﹣f（﹣5）＝2．
在[﹣5，5]上不等式f（x）≤（a﹣2）t+5对a∈[﹣3，0]都恒成立，
所以2≤（a﹣2）t+5即at﹣2t+3≥0，对a∈[﹣3，0]都恒成立，
令g（a）＝at﹣2t+3，a∈[﹣3，0]，则只需，即．
解得t
故t的取值范围（﹣∞，]．
【点睛】本题主要考查函数单调性知识的应用，解题中主要利用了单调性的定义法，最值法．
21. 某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯的C点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE．如图所示，广告牌底部点E正好为DC的中点，电梯AC的坡度．某人在扶梯上点P处(异于点C)观察广告牌的视角．当人在A点时，观测到视角∠DAE的正切值为．
（1）求扶梯AC的长
（2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时，求CP的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）设，用分别表示出和，利用两角和的正切公式求出，再根据的范围求解出答案；
（2）作且交于点，设，用分别表示出和，利用两角差的正切公式表示出，利用基本不等式求出的最大值，此时即取最大值，利用基本不等式取最值的条件求出，再求出即可.
【详解】（1）由题意，为的中点，,所以，
设，则，，
在中，，
在中，，
由两角和的正切公式，，
，所以，解得，或，
因为，所以，，
所以扶梯AC的长为米；
（2）作且交于点，如图所示，
设，则，，由（1）知，，
，，
当取最大值时，即取最大值，
，
当且仅当，即时等式成立，
所以此时.
【点睛】本题主要考查两角和差正切公式的应用，考查学生分析转化能力、方程思想和计算能力，属于中档题.
22. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）已知函数在区间单调递减.试判断是否恒成立，并说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）恒成立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先求出的定义域，判断其奇偶性及单调性，从而将所求不等式化为，由此得解；
（2）将问题转化为和在上的值域的交集不为空集；分类讨论和两种情况，分别求出两函数的值域，从而得解；
（3）将问题转化为判断，再利用的单调性即可得解.
【小问1详解】
因为，
由，可得，即的定义域为；
又，所以为奇函数，
当时，易得单调递减，
所以在上单调递减，且的值域为，
不等式，可化为，
所以，即，
即，即，解得，
则原不等式的解为；
【小问2详解】
函数，
若存在，使得成立，
则和在上的值域的交集不为空集；
由（1）可知：时，单调递减，
所以的值域为；
若，则在上单调递减，
所以的值域为，
此时只需，即，所以；
若，则在上单调递增，
可得的值域为，
此时与交集显然为空集，不满足题意；
综上，实数的范围是；
【小问3详解】
恒成立，理由如下：
因为，
所以
，
因为在区间单调递减，
所以当时，，所以，
即，即，
所以，即.
【点睛】关键点睛：解函数不等式，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.泗县一中2023-2024学年度高下学期开学
适应性训练数学试题
分值：150分 考试时间：120分钟 命题人：周海艳 审题人：鲍金凤
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则“”是“点在第一象限内”（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知角满足，则（ ）
A. B. C. D.
5. “扇形窗下清风徐”.如图所示是一个扇子形窗，其所在的扇形半径为，圆心角为，窗子左右两边的边框长度都为，则该窗的面积约为（ ）
A B. C. D.
6. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
7. 已知函数图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错得0分．
9. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 若正实数满足，则下列选项中正确的是（ ）
A. 有最大值
B.
C. 的最小值是10
D. 有最小值
11. 函数的部分图像如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A. 的最小正周期是 B. 是奇函数.
C. 在上单调递增 D. 直线是曲线的一条对称轴
12. 一般地，若函数定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”，特别地，当时，则称为的“完美区间”．则下列说法正确的是（ ）
A. 若为函数的“完美区间”，则
B. 函数，存在“倍美好区间”
C. 函数，不存在“完美区间”
D. 函数，有无数个“2倍美好区间”
三、填点题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知幂函数满足以下条件：
①是奇函数；②在是增函数；③.
写出一个满足条件①②③的函数的一个解析式______.
14. 已知函数，则的值是______.
15. 函数的单调递增区间是__________.
16. 已知函数其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）求的值；
（2）已知，，求值．
18. 已知为定义域R上的奇函数，且当时，．
（1）求的值以及的解析式；
（2）用函数单调性定义证明：在上为增函数．
19. 已知函数．
（1）求的值及的单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值，以及取最值时x的值．
20. 已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的m，，，都有．
若，求a的取值范围．
若不等式对任意和都恒成立，求t的取值范围．
21. 某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯的C点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE．如图所示，广告牌底部点E正好为DC的中点，电梯AC的坡度．某人在扶梯上点P处(异于点C)观察广告牌的视角．当人在A点时，观测到视角∠DAE的正切值为．
（1）求扶梯AC的长
（2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时，求CP的长．
22. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）已知函数在区间单调递减.试判断是否恒成立，并说明理由.
