广东省深圳市福田区重点学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题
1．（2024九下·福田开学考）如图所示的几何体的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九下·福田开学考）随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.0000034m，用科学记数法表示0.0000034是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九下·福田开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·福田开学考）从思想政治、地理、化学、生物4门再选科目中选择2门参加考试，选到地理的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九下·福田开学考）为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，随机对居住在该小区的40名居民一周的体育锻炼时间进行了统计，结果如表：
锻炼时间（时） 3 4 5 6 7
人数（人） 6 13 14 5 2
这40名居民一周体育锻炼时间的众数和中位数是（ ）
A．14，5 B．5，5 C．14，6 D．5，6
6．（2024九下·福田开学考）随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九下·福田开学考）由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正切值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九下·福田开学考）如图，将△ABC的AB边与刻度尺的边缘重合，点A，D，B分别对应刻度尺上的整数刻度．已知，，，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九下·福田开学考）如图，二次函数 的图象经过点 ， ，与y轴交于点C．下列结论：
① ；②当 时，y随x的增大而增大；③ ；④ ．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024九下·福田开学考）如图，在正方形ABCD中，M是边CD上一点，满足，连接BM交AC于点N，延长BN到点P使得，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2024九下·福田开学考）因式分解= ．
12．（2024九下·福田开学考）如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，则直线AB的表达式为 ．
13．（2024九下·福田开学考）如图，小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30（米/分）的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20分后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为 米（结果保留根号）．
14．（2024九下·福田开学考）如图，A，B是函数上两点，P为一动点，作轴，轴，若，则 ．
15．（2024九下·福田开学考）如图，正方形ABCD中，点E．F分别在边BC，CD上，AB=6，，连接BD交AF于点N，交AE于点M，若，则DN为 ．
16．（2024九下·福田开学考）计算：．
17．（2024九下·福田开学考）先化简，再求值：，其中x在－2，－1，0，2四个数中选取一个合适的数代入．
18．（2024九下·福田开学考）为了打造书香文化，培养阅读习惯．崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题；
（1）条形图中的m＝ ，n＝ ，
（2）文学类书籍对应扇形圆心角等于 度：
（3）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（4）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
19．（2024九下·福田开学考）某网店以每个32元的价格购进了一批玩具，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个50元上涨到每个72元，此时每天可售出200个玩具．
（1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
（2）经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，网店每个应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？
20．（2024九下·福田开学考）如图，中，，分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径画弧交于M，N两点，作直线MN交BC于点O，连接AO并延长，交DC的延长线于点E，连接AC，BE．
（1）求证：：
（2）在中能否添加一个条件，使四边形ABEC为菱形？若能，请添加后予以证明；若不能，请什么理由．
21．（2024九下·福田开学考）已知抛物线（a、b、c是常数，a≠0），自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x 0 1 2 3 ……
y －2 m －2 1 ……
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为直线 ．
（2）求抛物线的解析式和m的值．
（3）将抛物线的图象记为，将绕点O旋转180°后的图象记为，、合起来得到的图象记为G，完成以下问题：
①画出G的图像
②若直线与函数G有且只有两个交点，直接写出k的取值范围_▲__．
22．（2024九下·福田开学考）在正方形ABCD中，点G是边AB上的一个动点，点F、E在边BC上，，且、GF、DE的延长线相交于点P．
（1）如图1，当点E与点C重合时，的度数＝ ；
（2）如图2，当点E与C不重合时，在点G的运动过程中，的度数是否发生变化，若不变，求出的度数，若变化，请说明理由
（3）在（2）的条件下，如图3，过D作于点N，连接CN．BP，取BP的中点M，连接MN，在点G的运动过程中，求的值（直接写出结果即可）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看易得左视图为：
故选D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000034=3.4×10-6，
故答案为：D
【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示为a×10-n，其中1≤|a|<10，n为原数字从左边起第一个不为0的数字3前面0的个数.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.3a2+a2=4a2，故选项A错误；
B.(2a)3=23·a3=8a3，故选项B错误；
C.-a4·a2=-a6，故选项C正确；
D.a6÷a2=a4，故选项D错误；
故答案为：C
【分析】合并同类项是字母及字母的指数都不变，只把系数相加；积的乘方等于乘方的积；同底数幂的乘法底数不变指数相加；同底数幂的除法底数不变指数相减；根据指数幂的运算法则即可计算
4．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：将思想政治、地理、化学、生物分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选到地理的结果有：AB，BA，BC，BD，CB，DB，一共有6种，故概率为=.
故答案为：A
【分析】利用树状图得出所有等可能的结果数，并选出含有地理的结果数，利用概率公式求解即可.
5．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：锻炼时间为5小时的人数次数最多为14次，故众数是5；
一共40名居民参与统计，按照从小到大排列锻炼时间为3小时和4小时的人数共有6+13=19（名），第20名和21名都锻炼5小时，故中位数是5；
故答案为：B
【分析】众数是出现次数最多的数；中位数是所有数按从小到大或从大到小顺序排列后最中间的数，如果是偶数个，要取最中间两个数的平均数。根据定义即可解决问题.
6．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，设乘公交车平均每小时走x千米，
∴电动汽车的平均速度为每小时2.5x千米.
由题意得：
即
故答案为：D
【分析】根据题目所给电动汽车速度是公交车的2.5倍，可表示出电动汽车速度每小时2.5x千米. 再根据乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟得等量关系：乘公交车用时=乘电动汽车用时+15分钟，即可得出关于x的分式方程. 需要注意题设单位是千米每小时，所以15分钟需要化成小时.
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接AC，过C作CD⊥AB于点D.
观察易发现，AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形.
∵CD⊥AB，
∴AD=BD，D点在格点上，
∴CD=，BD==.
∴tan∠ABC===.
故答案为：C.
【分析】连接AC，观察发现AC=BC得△ACB是等腰三角形，作垂线CD，可知D为AB中点，也为格点. 从而可利用勾股定理求出CD和BD的长，进而可求得答案. 注意网格中线段长要构造直角三角形并利用勾股定理来求.
8．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：观察可知AD=4，AB=10，BD=6.
∵DE//AC，EF//AB.
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴DE=AF=1.8， EF=AD=4.
∵DE//AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
即，
∴AC=3.
故选项A，C，D正确.
∵CF=AC-AF=3-1.8=1.2，EF=4，
∴4-1.2即2.8∴B选项不一定正确.
故答案为：B
【分析】利用平行四边形的判定与性质求出EF和DE的长，再利用相似三角形的判定与性质列比例式可求出AC的长，利用三角形的三边关系可判断出CE的取值范围.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】∵二次函数的图象经过点A(—1，0)，B(3， 0)
∴对称轴
∴b =-2a，c = -3a
∵二次函数的图象开口向下
∴a < 0
∴2a+b+c = -3a >0，∴ac＜0故①不符合题意；
∵二次函数的图象开口向下，对称轴 ，
∴当x >1时，y随x的增大而减小；故②不符合题意；
∵c = -3a
∴3a+c=0，故③符合题意；
由题意可知二次函数的顶点坐标为(1，-4a)
∵当x=1时，y最大=a+b+c，当x=m时，y=
∴ 故④符合题意；
故答案为：B
【分析】根据二次根式的性质和图象，分别判断得到答案即可。
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，AO=CO=AC，BO=DO=BD，AC⊥BD，AC=BD，AB//CD.
∴BO=CO=AO=DO，∠BOC=90°.
∵BC=3CM，
∴=3.
∵AB//CD，
∴△ABN∽△CMN，
∴=3，
即，
∴CN=AC=CO=BO.
∴BO=2CN=2ON.
∴在Rt△BNO中，BN==ON.
∵BO=DO，BN=NP，
∴ON是△BDP的中位线，
∴ON//DP，ON=DP.
∴DP=2ON.
∴==.
故答案为：A
【分析】要求的值，只要分别表示出DP和BN即可.连接BD后，由正方形ABCD，可得AB=BC，BO=CO=AO=DO，BD⊥AC；由BO=DO，BN=PN得ON是中位线，DP可以表示为2ON；由△ABN∽△CMN，可得AN：CN=3，求出CN=AC=BO，从而得到ON=CN=BO，即BO=2ON，由此可将BN表示为ON，这样问题就得到解决.
11．【答案】．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=．故答案为．
【分析】先提取公因式a，再利用平方差公式因式分解即可。
12．【答案】
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：当x=0时，y=2，
∴点B的坐标为（0，2）.
y=x2-4x+2=(x-2)2-2，
∴顶点A的坐标为（2，-2）.
设直线AB的表达式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得
∴直线AB的表达式为y=-2x+2.
故答案为：y=-2x+2
【分析】一般式化成顶点式y=a(x-h)2+k后，顶点坐标为（h，k）；与y轴交点横坐标为0；如此可表示出A，B的坐标.再利用待定系数法求直线AB的表达式即可.
13．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于点E.
由题意得：∠DCB=ABE=30°，∠CAF=75°.
在△ABC中，∠ACB=∠CAF - ∠ABE=45°.
∴在Rt△ACE中，∠EAC=∠ACE=45°，AC=30×20=600（米），
∴AE=AC·sin45°=600×=300米.
在Rt△ABE中，∠ABE=30°，
∴AB=2AE=米.
故答案为：
【分析】观察到30°和75°的角，且75°角是三角形的外角，可得△ABC的另外一个锐角是45°. 作AE⊥BC，将△ABC分成两个特殊三角形. 先根据速度和时间求出AC长，再在Rt△ACE中利用45°角求出AE长，在Rt△ABE中利用30°角求出AB长.
14．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，延长BP交x轴于点B'
∵PB//y轴，
∴PB⊥x轴.
设B'坐标为（b，0），则点B的坐标为.
∴S△OBB'===6.
∵S△BOP=4，
∴BP：BB'=2：3，
∴BB'=3B'P.
可得点P的坐标为，点A的纵坐标为
代入得，点A横坐标为3b，即A.
∵AP//x轴，
∴AP⊥BP，
∴△ABP是直角三角形.
∴S△ABP===8.
故答案为：8
【分析】△ABP为直角三角形，只需要表示出BP和AP的长，就可求出△ABP的面积. 延长PB交x轴于点B'，根据△OBB'和△OBP的面积得出BB'与PB'的数量关系，从而根据B'坐标表示出B，P，A的坐标，进一步表示出线段BP和AP的长，即可求解.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长CB到F'，使BF'=DF，连接AF'.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=6，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADF=90°，AB//DC.
∴∠ABF'=90°=∠ADF.
又∵BF'=DF，
∴△ABF'≌△ADF（SAS），
∴∠BAF'=∠DAF，AF'=AF.
∵∠DAF+∠EAF+∠EAB=∠DAB=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAF'+∠EAB=45°，即∠EAF'=45°。
在△EAF和△EAF'中，
AF=AF'，∠EAF=∠EAF'，AE=AE
∴△EAF≌△EAF'（SAS），
∴EF=EF'=DF+BE.
∵DC=BC=6，CE=4，设DF=a，
∴BE=BC-EC=2，FC=DC-DF=6-a，EF=2+a.
在Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2，
∴（2+a）2=42+（6-a）2，解得a=3，即DF=3.
∵AB=AD=6，
∴BD=.
∵DC//AB，
∴△DFN∽△BAN.
∴，
即，解得DN=.
故答案为：
【分析】第1步要求DN长，DN在一般图形△DFN中，所以通过全等或者相似来求。本题中△DFN和△BAN相似，且已知正方形边长AB长，还可以求出BD的长，可以利用相似建立比例关系求得DN，而要求DN，需要先求DF；
第2步在Rt△EFC中，有EF2=EC2+FC2，已知EC=4，FC=6-DF，只要能表示出EF，就可以求出DF长；第3步已知∠DAB=90°，∠EAF=45°，可以延长CB到F'，使BF'=DF，连接AF'，得到△ABF'，可证得△ABF'和△ADF全等，于是有AF=AF'，∠DAF=∠BAF'，从而得∠EAF=∠EAF'=45°，于是可证得△AEF≌△AEF'，得到EF=EF'=BE+BF'=BE+DF；因为BE=6-EC=2，所以EF=2+DF.利用EF2=EC2+FC2可以求得DF长，代入即可求得DN长.
16．【答案】解：原式
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）当a≥b时，|a-b|=a-b；当a≤b时，|a-b|=b-a；（2）任何非零数的零次幂都等于1；（3）（a≠0）.
17．【答案】解：原式
∵，，
∴取，代入得：原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则对算式进行化简，再选取使分式有意义的数字代入求值即可. 注意化简过程多项式需要分解因式；选取合适的数字时，数字不仅要使分式有意义，还要使"÷"后面的分式不等于0.
18．【答案】（1）18；6
（2）72
（3）解：喜欢政史类书籍（C）的学生一共有12人，
2000×=480（人）
答： 若该校有2000名学生，最喜欢阅读政史类书籍的学生大概有480人.
（4）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，即BB．CC，
甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）从两幅统计图发现：喜欢E的共有4人，占总数的8%，
所以总共有：4÷8%=50（人）；
其中喜欢A的学生占36%，所以喜欢A的学生有：50×36%=18（人），
即m=18；
所以喜欢D的学生有：50-18-10-12-4=6（人），
即n=6；
故答案为：18；6.
（2）喜欢文学类书籍（B）的学生一共有10人，占比为：=20%，
所以对应的圆心角度数为：360°×20%=72°，
故答案为：72
【分析】（1）喜欢E的人数和所占的百分比都有了，用人数÷百分比即可得到总人数；知道A所占的百分比，用总人数乘百分比得m的值，用总人数-所有已知的人数，就可以得到n的值；
（2）用360°乘以喜欢文学类书籍人数所占的百分比就得到对应的圆心角度数；
（3）用学校总人数2000乘以喜欢政史类书籍人数所占百分比就可以估算出大概人数；
（4）用树状图表示出所有可能的结果，选出满足条件的结果，再利用概率公式求解即可.
19．【答案】（1）解：由题意，设每次上涨的百分率为x，依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）
答：每次上涨的百分率为20%.
（2）解：由题意，设每个降价为m元，利润为
．
当时，每天的最大利润为9000元．
答：网店每个应降价10元，才能使每天利润达到最大，最大利润为9000元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每次上涨的百分率为x，根据题意列关于一元二次方程即可，可利用的公式：初始价格×（1+上涨的百分率）2=最终价格.
（2）设每件降价m元，再根据总利润=单件利润×销售件数=（每件原售价-进价-降价）×（原始销售量+增加的销售量）列关于m的二次函数并化成顶点式，最后根据二次函数的性质判断求解即可.注意两问的未知量不一样，设的未知数用不同的字母表示.
20．【答案】（1）证明：∵由作图可知MN垂直平分线段BC，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
在△AOB和△EOC中，
，
，
.
（2）解：可以，添加．
理由：由（1）可知，，
四边形ABEC是平行四边形，
∵，，
△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
平行四边形ABEC是菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据作图得MN是线段BC的垂直平分线可以得到OB=OC，由平行四边形ABCD可以得AB=CD，AB//CD. 只要证明AB=EC，就可以得结论。这里AB和EC分别在△AOB和△EOC中，证明这两个三角形全等即可.
（2）一组邻边相等的平行四边形是菱形. 由第一问得AB=EC，AB//EC，可以得四边形ABEC是平行四边形，当AB=BC时，根据∠ABC=∠D=60°，得△ABC是等边三角形，从而AB=AC，于是平行四边形ABEC满足一组邻边相等，它就是菱形了.
21．【答案】（1）上；
（2）解：设抛物线的解析式为（a≠0），
代入（0，-2）和（3，1）得
，
解得，
所以抛物线的解析式为y=（x-1）2-3=x2-2x-2.
将（1，m）代入上式，得：m=-3.
（3）解：①画出G的图像
②k值为－3或3或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）由表格数据知，对称轴为x=1；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，所以抛物线开口向上；
故答案为：上；x=1
【分析】（1）由表格数据，根据二次函数的图象和性质即可判断作答即可；
（2）根据表格数据利用待定系数法求解即可；
（3）根据题意画出图象即可；直线y=k为平行于x轴的横线，横线在图中平移，可以看出当k=3或-3以及-2≤k≤2时，直线y=k与函数G只有两个交点. 注意G的自变量取值范围是x≠0，所以-2和2都能够取到.
22．【答案】（1）45°
（2）解：如图，∠P的度数不发生变化.
连接BD，取BD中点O，连接OG，OF，OC．
在正方形ABCD中，OC=OB，∠OCF=∠OBG=45°，AB=BC，
又，
，
∴．
∴，，
，
△GOF为等腰直角三角形．
又∵O，F分别是BD，BE的中点，
，.
（3）解：如图，取DP中点Q，连接BD，MQ，NQ，记∠ADN为∠1，∠BDP为2，∠NQM为∠3.
∵M为BP中点，Q为DP中点，
∴MQ是△BDP的中位线，
∴MQ=BD，MQ//BD.
∴∠MQP=∠2.
∵∠NDP=45°，DN⊥NP，
∴△DNP是等腰直角三角形，
∴∠NDP=45°，NQ⊥DP.
∵BD是正方形ABCD的角平分线，
∴∠ADB=45°=∠NDP，
∴∠1+∠NDB=∠NDB+∠2，即∠1=∠2，
∴∠1=∠MQP.
∵NQ⊥DP，
∴∠NQP=90°=∠ADC，
∴∠3+∠MQP=∠1+∠NDC，即∠3=∠NDC.
∵在Rt△NDQ中，∠NDQ=45°，
∴.
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴.
∵MQ=BD，
∴，
∴
∴△NQM∽△NDC.
∴.
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB//CD.
∵BF=EF=AG，点E与点C重合，
∴BF=FC=AG=GB.
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴∠BGF=45°.
∵AB//CD，
∴∠P=∠BGF=45°.
【分析】（1）根据正方形得AB=BC，AB//DP；于是得∠P=∠BGF，只需要求出∠BGF的值即可；
（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，于是可以产生很多相等线段和相等角。利用辅助线构造旋转全等三角形，可证得OG=OF，∠GOF=90°，于是可得∠GFO=45°，再有中位线性质即可得到∠P=∠GFO=45°.
（3）一般求线段的比值，都会用到相似三角形. 这里NC和NM所在的三角形明显不相似，所以需要构造相似三角形。根据M为中点，再取DP中点Q，连接BD，MQ，NQ，得到中位线MQ和△NMQ，由中位线性质可得MQ=BD，由等腰直角三角形的边角关系可得，，进而得到；只要再证明夹角∠NQM和∠NDC对应相等，即可证明△NQM和△NDC相似，利用相似三角形对应边成比例，可得.
1 / 1广东省深圳市福田区重点学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题
1．（2024九下·福田开学考）如图所示的几何体的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看易得左视图为：
故选D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
2．（2024九下·福田开学考）随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.0000034m，用科学记数法表示0.0000034是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000034=3.4×10-6，
故答案为：D
【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示为a×10-n，其中1≤|a|<10，n为原数字从左边起第一个不为0的数字3前面0的个数.
3．（2024九下·福田开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.3a2+a2=4a2，故选项A错误；
B.(2a)3=23·a3=8a3，故选项B错误；
C.-a4·a2=-a6，故选项C正确；
D.a6÷a2=a4，故选项D错误；
故答案为：C
【分析】合并同类项是字母及字母的指数都不变，只把系数相加；积的乘方等于乘方的积；同底数幂的乘法底数不变指数相加；同底数幂的除法底数不变指数相减；根据指数幂的运算法则即可计算
4．（2024九下·福田开学考）从思想政治、地理、化学、生物4门再选科目中选择2门参加考试，选到地理的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：将思想政治、地理、化学、生物分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选到地理的结果有：AB，BA，BC，BD，CB，DB，一共有6种，故概率为=.
故答案为：A
【分析】利用树状图得出所有等可能的结果数，并选出含有地理的结果数，利用概率公式求解即可.
5．（2024九下·福田开学考）为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，随机对居住在该小区的40名居民一周的体育锻炼时间进行了统计，结果如表：
锻炼时间（时） 3 4 5 6 7
人数（人） 6 13 14 5 2
这40名居民一周体育锻炼时间的众数和中位数是（ ）
A．14，5 B．5，5 C．14，6 D．5，6
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：锻炼时间为5小时的人数次数最多为14次，故众数是5；
一共40名居民参与统计，按照从小到大排列锻炼时间为3小时和4小时的人数共有6+13=19（名），第20名和21名都锻炼5小时，故中位数是5；
故答案为：B
【分析】众数是出现次数最多的数；中位数是所有数按从小到大或从大到小顺序排列后最中间的数，如果是偶数个，要取最中间两个数的平均数。根据定义即可解决问题.
6．（2024九下·福田开学考）随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，设乘公交车平均每小时走x千米，
∴电动汽车的平均速度为每小时2.5x千米.
由题意得：
即
故答案为：D
【分析】根据题目所给电动汽车速度是公交车的2.5倍，可表示出电动汽车速度每小时2.5x千米. 再根据乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟得等量关系：乘公交车用时=乘电动汽车用时+15分钟，即可得出关于x的分式方程. 需要注意题设单位是千米每小时，所以15分钟需要化成小时.
7．（2024九下·福田开学考）由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接AC，过C作CD⊥AB于点D.
观察易发现，AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形.
∵CD⊥AB，
∴AD=BD，D点在格点上，
∴CD=，BD==.
∴tan∠ABC===.
故答案为：C.
【分析】连接AC，观察发现AC=BC得△ACB是等腰三角形，作垂线CD，可知D为AB中点，也为格点. 从而可利用勾股定理求出CD和BD的长，进而可求得答案. 注意网格中线段长要构造直角三角形并利用勾股定理来求.
8．（2024九下·福田开学考）如图，将△ABC的AB边与刻度尺的边缘重合，点A，D，B分别对应刻度尺上的整数刻度．已知，，，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：观察可知AD=4，AB=10，BD=6.
∵DE//AC，EF//AB.
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴DE=AF=1.8， EF=AD=4.
∵DE//AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
即，
∴AC=3.
故选项A，C，D正确.
∵CF=AC-AF=3-1.8=1.2，EF=4，
∴4-1.2即2.8∴B选项不一定正确.
故答案为：B
【分析】利用平行四边形的判定与性质求出EF和DE的长，再利用相似三角形的判定与性质列比例式可求出AC的长，利用三角形的三边关系可判断出CE的取值范围.
9．（2024九下·福田开学考）如图，二次函数 的图象经过点 ， ，与y轴交于点C．下列结论：
① ；②当 时，y随x的增大而增大；③ ；④ ．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】∵二次函数的图象经过点A(—1，0)，B(3， 0)
∴对称轴
∴b =-2a，c = -3a
∵二次函数的图象开口向下
∴a < 0
∴2a+b+c = -3a >0，∴ac＜0故①不符合题意；
∵二次函数的图象开口向下，对称轴 ，
∴当x >1时，y随x的增大而减小；故②不符合题意；
∵c = -3a
∴3a+c=0，故③符合题意；
由题意可知二次函数的顶点坐标为(1，-4a)
∵当x=1时，y最大=a+b+c，当x=m时，y=
∴ 故④符合题意；
故答案为：B
【分析】根据二次根式的性质和图象，分别判断得到答案即可。
10．（2024九下·福田开学考）如图，在正方形ABCD中，M是边CD上一点，满足，连接BM交AC于点N，延长BN到点P使得，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，AO=CO=AC，BO=DO=BD，AC⊥BD，AC=BD，AB//CD.
∴BO=CO=AO=DO，∠BOC=90°.
∵BC=3CM，
∴=3.
∵AB//CD，
∴△ABN∽△CMN，
∴=3，
即，
∴CN=AC=CO=BO.
∴BO=2CN=2ON.
∴在Rt△BNO中，BN==ON.
∵BO=DO，BN=NP，
∴ON是△BDP的中位线，
∴ON//DP，ON=DP.
∴DP=2ON.
∴==.
故答案为：A
【分析】要求的值，只要分别表示出DP和BN即可.连接BD后，由正方形ABCD，可得AB=BC，BO=CO=AO=DO，BD⊥AC；由BO=DO，BN=PN得ON是中位线，DP可以表示为2ON；由△ABN∽△CMN，可得AN：CN=3，求出CN=AC=BO，从而得到ON=CN=BO，即BO=2ON，由此可将BN表示为ON，这样问题就得到解决.
11．（2024九下·福田开学考）因式分解= ．
【答案】．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=．故答案为．
【分析】先提取公因式a，再利用平方差公式因式分解即可。
12．（2024九下·福田开学考）如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，则直线AB的表达式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：当x=0时，y=2，
∴点B的坐标为（0，2）.
y=x2-4x+2=(x-2)2-2，
∴顶点A的坐标为（2，-2）.
设直线AB的表达式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得
∴直线AB的表达式为y=-2x+2.
故答案为：y=-2x+2
【分析】一般式化成顶点式y=a(x-h)2+k后，顶点坐标为（h，k）；与y轴交点横坐标为0；如此可表示出A，B的坐标.再利用待定系数法求直线AB的表达式即可.
13．（2024九下·福田开学考）如图，小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30（米/分）的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20分后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为 米（结果保留根号）．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于点E.
由题意得：∠DCB=ABE=30°，∠CAF=75°.
在△ABC中，∠ACB=∠CAF - ∠ABE=45°.
∴在Rt△ACE中，∠EAC=∠ACE=45°，AC=30×20=600（米），
∴AE=AC·sin45°=600×=300米.
在Rt△ABE中，∠ABE=30°，
∴AB=2AE=米.
故答案为：
【分析】观察到30°和75°的角，且75°角是三角形的外角，可得△ABC的另外一个锐角是45°. 作AE⊥BC，将△ABC分成两个特殊三角形. 先根据速度和时间求出AC长，再在Rt△ACE中利用45°角求出AE长，在Rt△ABE中利用30°角求出AB长.
14．（2024九下·福田开学考）如图，A，B是函数上两点，P为一动点，作轴，轴，若，则 ．
【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，延长BP交x轴于点B'
∵PB//y轴，
∴PB⊥x轴.
设B'坐标为（b，0），则点B的坐标为.
∴S△OBB'===6.
∵S△BOP=4，
∴BP：BB'=2：3，
∴BB'=3B'P.
可得点P的坐标为，点A的纵坐标为
代入得，点A横坐标为3b，即A.
∵AP//x轴，
∴AP⊥BP，
∴△ABP是直角三角形.
∴S△ABP===8.
故答案为：8
【分析】△ABP为直角三角形，只需要表示出BP和AP的长，就可求出△ABP的面积. 延长PB交x轴于点B'，根据△OBB'和△OBP的面积得出BB'与PB'的数量关系，从而根据B'坐标表示出B，P，A的坐标，进一步表示出线段BP和AP的长，即可求解.
15．（2024九下·福田开学考）如图，正方形ABCD中，点E．F分别在边BC，CD上，AB=6，，连接BD交AF于点N，交AE于点M，若，则DN为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长CB到F'，使BF'=DF，连接AF'.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=6，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADF=90°，AB//DC.
∴∠ABF'=90°=∠ADF.
又∵BF'=DF，
∴△ABF'≌△ADF（SAS），
∴∠BAF'=∠DAF，AF'=AF.
∵∠DAF+∠EAF+∠EAB=∠DAB=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAF'+∠EAB=45°，即∠EAF'=45°。
在△EAF和△EAF'中，
AF=AF'，∠EAF=∠EAF'，AE=AE
∴△EAF≌△EAF'（SAS），
∴EF=EF'=DF+BE.
∵DC=BC=6，CE=4，设DF=a，
∴BE=BC-EC=2，FC=DC-DF=6-a，EF=2+a.
在Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2，
∴（2+a）2=42+（6-a）2，解得a=3，即DF=3.
∵AB=AD=6，
∴BD=.
∵DC//AB，
∴△DFN∽△BAN.
∴，
即，解得DN=.
故答案为：
【分析】第1步要求DN长，DN在一般图形△DFN中，所以通过全等或者相似来求。本题中△DFN和△BAN相似，且已知正方形边长AB长，还可以求出BD的长，可以利用相似建立比例关系求得DN，而要求DN，需要先求DF；
第2步在Rt△EFC中，有EF2=EC2+FC2，已知EC=4，FC=6-DF，只要能表示出EF，就可以求出DF长；第3步已知∠DAB=90°，∠EAF=45°，可以延长CB到F'，使BF'=DF，连接AF'，得到△ABF'，可证得△ABF'和△ADF全等，于是有AF=AF'，∠DAF=∠BAF'，从而得∠EAF=∠EAF'=45°，于是可证得△AEF≌△AEF'，得到EF=EF'=BE+BF'=BE+DF；因为BE=6-EC=2，所以EF=2+DF.利用EF2=EC2+FC2可以求得DF长，代入即可求得DN长.
16．（2024九下·福田开学考）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）当a≥b时，|a-b|=a-b；当a≤b时，|a-b|=b-a；（2）任何非零数的零次幂都等于1；（3）（a≠0）.
17．（2024九下·福田开学考）先化简，再求值：，其中x在－2，－1，0，2四个数中选取一个合适的数代入．
【答案】解：原式
∵，，
∴取，代入得：原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则对算式进行化简，再选取使分式有意义的数字代入求值即可. 注意化简过程多项式需要分解因式；选取合适的数字时，数字不仅要使分式有意义，还要使"÷"后面的分式不等于0.
18．（2024九下·福田开学考）为了打造书香文化，培养阅读习惯．崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题；
（1）条形图中的m＝ ，n＝ ，
（2）文学类书籍对应扇形圆心角等于 度：
（3）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（4）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【答案】（1）18；6
（2）72
（3）解：喜欢政史类书籍（C）的学生一共有12人，
2000×=480（人）
答： 若该校有2000名学生，最喜欢阅读政史类书籍的学生大概有480人.
（4）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，即BB．CC，
甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）从两幅统计图发现：喜欢E的共有4人，占总数的8%，
所以总共有：4÷8%=50（人）；
其中喜欢A的学生占36%，所以喜欢A的学生有：50×36%=18（人），
即m=18；
所以喜欢D的学生有：50-18-10-12-4=6（人），
即n=6；
故答案为：18；6.
（2）喜欢文学类书籍（B）的学生一共有10人，占比为：=20%，
所以对应的圆心角度数为：360°×20%=72°，
故答案为：72
【分析】（1）喜欢E的人数和所占的百分比都有了，用人数÷百分比即可得到总人数；知道A所占的百分比，用总人数乘百分比得m的值，用总人数-所有已知的人数，就可以得到n的值；
（2）用360°乘以喜欢文学类书籍人数所占的百分比就得到对应的圆心角度数；
（3）用学校总人数2000乘以喜欢政史类书籍人数所占百分比就可以估算出大概人数；
（4）用树状图表示出所有可能的结果，选出满足条件的结果，再利用概率公式求解即可.
19．（2024九下·福田开学考）某网店以每个32元的价格购进了一批玩具，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个50元上涨到每个72元，此时每天可售出200个玩具．
（1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
（2）经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，网店每个应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）解：由题意，设每次上涨的百分率为x，依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）
答：每次上涨的百分率为20%.
（2）解：由题意，设每个降价为m元，利润为
．
当时，每天的最大利润为9000元．
答：网店每个应降价10元，才能使每天利润达到最大，最大利润为9000元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每次上涨的百分率为x，根据题意列关于一元二次方程即可，可利用的公式：初始价格×（1+上涨的百分率）2=最终价格.
（2）设每件降价m元，再根据总利润=单件利润×销售件数=（每件原售价-进价-降价）×（原始销售量+增加的销售量）列关于m的二次函数并化成顶点式，最后根据二次函数的性质判断求解即可.注意两问的未知量不一样，设的未知数用不同的字母表示.
20．（2024九下·福田开学考）如图，中，，分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径画弧交于M，N两点，作直线MN交BC于点O，连接AO并延长，交DC的延长线于点E，连接AC，BE．
（1）求证：：
（2）在中能否添加一个条件，使四边形ABEC为菱形？若能，请添加后予以证明；若不能，请什么理由．
【答案】（1）证明：∵由作图可知MN垂直平分线段BC，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
在△AOB和△EOC中，
，
，
.
（2）解：可以，添加．
理由：由（1）可知，，
四边形ABEC是平行四边形，
∵，，
△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
平行四边形ABEC是菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据作图得MN是线段BC的垂直平分线可以得到OB=OC，由平行四边形ABCD可以得AB=CD，AB//CD. 只要证明AB=EC，就可以得结论。这里AB和EC分别在△AOB和△EOC中，证明这两个三角形全等即可.
（2）一组邻边相等的平行四边形是菱形. 由第一问得AB=EC，AB//EC，可以得四边形ABEC是平行四边形，当AB=BC时，根据∠ABC=∠D=60°，得△ABC是等边三角形，从而AB=AC，于是平行四边形ABEC满足一组邻边相等，它就是菱形了.
21．（2024九下·福田开学考）已知抛物线（a、b、c是常数，a≠0），自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x 0 1 2 3 ……
y －2 m －2 1 ……
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为直线 ．
（2）求抛物线的解析式和m的值．
（3）将抛物线的图象记为，将绕点O旋转180°后的图象记为，、合起来得到的图象记为G，完成以下问题：
①画出G的图像
②若直线与函数G有且只有两个交点，直接写出k的取值范围_▲__．
【答案】（1）上；
（2）解：设抛物线的解析式为（a≠0），
代入（0，-2）和（3，1）得
，
解得，
所以抛物线的解析式为y=（x-1）2-3=x2-2x-2.
将（1，m）代入上式，得：m=-3.
（3）解：①画出G的图像
②k值为－3或3或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）由表格数据知，对称轴为x=1；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，所以抛物线开口向上；
故答案为：上；x=1
【分析】（1）由表格数据，根据二次函数的图象和性质即可判断作答即可；
（2）根据表格数据利用待定系数法求解即可；
（3）根据题意画出图象即可；直线y=k为平行于x轴的横线，横线在图中平移，可以看出当k=3或-3以及-2≤k≤2时，直线y=k与函数G只有两个交点. 注意G的自变量取值范围是x≠0，所以-2和2都能够取到.
22．（2024九下·福田开学考）在正方形ABCD中，点G是边AB上的一个动点，点F、E在边BC上，，且、GF、DE的延长线相交于点P．
（1）如图1，当点E与点C重合时，的度数＝ ；
（2）如图2，当点E与C不重合时，在点G的运动过程中，的度数是否发生变化，若不变，求出的度数，若变化，请说明理由
（3）在（2）的条件下，如图3，过D作于点N，连接CN．BP，取BP的中点M，连接MN，在点G的运动过程中，求的值（直接写出结果即可）．
【答案】（1）45°
（2）解：如图，∠P的度数不发生变化.
连接BD，取BD中点O，连接OG，OF，OC．
在正方形ABCD中，OC=OB，∠OCF=∠OBG=45°，AB=BC，
又，
，
∴．
∴，，
，
△GOF为等腰直角三角形．
又∵O，F分别是BD，BE的中点，
，.
（3）解：如图，取DP中点Q，连接BD，MQ，NQ，记∠ADN为∠1，∠BDP为2，∠NQM为∠3.
∵M为BP中点，Q为DP中点，
∴MQ是△BDP的中位线，
∴MQ=BD，MQ//BD.
∴∠MQP=∠2.
∵∠NDP=45°，DN⊥NP，
∴△DNP是等腰直角三角形，
∴∠NDP=45°，NQ⊥DP.
∵BD是正方形ABCD的角平分线，
∴∠ADB=45°=∠NDP，
∴∠1+∠NDB=∠NDB+∠2，即∠1=∠2，
∴∠1=∠MQP.
∵NQ⊥DP，
∴∠NQP=90°=∠ADC，
∴∠3+∠MQP=∠1+∠NDC，即∠3=∠NDC.
∵在Rt△NDQ中，∠NDQ=45°，
∴.
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴.
∵MQ=BD，
∴，
∴
∴△NQM∽△NDC.
∴.
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB//CD.
∵BF=EF=AG，点E与点C重合，
∴BF=FC=AG=GB.
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴∠BGF=45°.
∵AB//CD，
∴∠P=∠BGF=45°.
【分析】（1）根据正方形得AB=BC，AB//DP；于是得∠P=∠BGF，只需要求出∠BGF的值即可；
（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，于是可以产生很多相等线段和相等角。利用辅助线构造旋转全等三角形，可证得OG=OF，∠GOF=90°，于是可得∠GFO=45°，再有中位线性质即可得到∠P=∠GFO=45°.
（3）一般求线段的比值，都会用到相似三角形. 这里NC和NM所在的三角形明显不相似，所以需要构造相似三角形。根据M为中点，再取DP中点Q，连接BD，MQ，NQ，得到中位线MQ和△NMQ，由中位线性质可得MQ=BD，由等腰直角三角形的边角关系可得，，进而得到；只要再证明夹角∠NQM和∠NDC对应相等，即可证明△NQM和△NDC相似，利用相似三角形对应边成比例，可得.
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