贵州省六盘水市2023-2024学年高一上学期1月期末质量监测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高一上·六盘水期末）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】根据集合的并集的运算直接求解即可.
2．（2024高一上·六盘水期末）设命题，则的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题的否定为.
故答案为：C.
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，直接写出答案即可.
3．（2024高一上·六盘水期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得 ，所以函数的定义域为.
故答案为：D.
【分析】根据函数有意义，列不等式求解即可得函数定义域.
4．（2024高一上·六盘水期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：若，则，故充分性成立；
若，则，推不出，故必要性不成立，
所以“” 是“”成立的充分不必要条件．
故答案为：A．
【分析】根据充分、必要条件的定义结合正切函数的性质判断即可.
5．（2024高一上·六盘水期末）达-芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来引无数观赏者对其进行研究．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一段圆弧，并测得圆弧所对的圆心角为，弦的长为，根据测量得到的数据计算：《蒙娜丽莎》缩小影像作品中圆弧的长为（ ）（单位：）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：易知为等边三角形，如图所示：
则，即圆弧的半径，所以圆弧的长为.
故答案为：C.
【分析】根据扇形弧长计算公式计算即可.
6．（2024高一上·六盘水期末）已知且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：已知且，
因为，所以，
，解得，综上所述：.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，结合指数函数和对数函数的单调性求的取值范围.
7．（2024高一上·六盘水期末）已知函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2024 D．2025
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解：，用代替可得，
则，
故答案为：B.
【分析】用代替可得，推出，从而求值即可.
8．（2024高一上·六盘水期末）定义在上的函数满足：
①，且，都有；
②，都有．
若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于①：因为，且，都有，所以与异号，
所以函数为上的减函数；
对于②：因为，都有，所以函数关于对称，
即，所以函数为上的奇函数；
因为，所以，因为函数为奇函数，
所以，再由函数单调性可知：，
因为，化简可得，解得，则.
故答案为：A.
【分析】由①②可推出函数的奇偶性和单调性，结合函数的性质建立关于的不等关系，求出的范围，代入中即可求出范围.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2024高一上·六盘水期末）下列各组函数中，函数与是同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】函数的概念及其构成要素；同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，的定义域为，定义域不同，
故函数与不是同一个函数，故A不符合；
B、函数的定义域均为，且，所以函数与是同一个函数，故B符合；
C、函数的定义域均为，且，所以函数与是同一个函数，故C符合；
D、函数的定义域均为，但，对应法则不同，所以函数与不是同一个函数，故D不符合.
故答案为：BC.
【分析】根据同一函数的定义逐项判断即可.
10．（2024高一上·六盘水期末）已知且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：因为且，所以，
A、因为 ，所以，故A正确；
B、 ，因正负无法确定，所以的大小不确定，故B错误；
C、 ，当时，，故C错误；
D、因为 ，利用不等式的性质的可加性可知，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用作差法即可判断AB；利用不等式的性质即可判断CD.
11．（2024高一上·六盘水期末）已知函数（为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象恒过定点
B．当时，函数是减函数
C．当时，函数是奇函数
D．当时，函数的值域为
【答案】A,C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、当时，函数的定义域为，在上单调递减，在定义域不具有单调性，故B错误；
C、当时，函数的定义域为，且满足，
所以函数是奇函数，故C正确；
D、当时，函数的值域为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据幂函数的性质逐项判断即可.
12．（2024高一上·六盘水期末）一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”，特别地，当时，则称为的“完美区间”．则下列说法正确的是（ ）
A．若为函数的“完美区间”，则
B．函数，存在“倍美好区间”
C．函数，不存在“完美区间”
D．函数，有无数个“2倍美好区间”
【答案】A,B,D
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：A、函数的对称轴为，则函数在单调递增，
所以值域，又因为为函数的“完美区间”，
所以，解得或，因为，所以，故A正确；
B、假设函数，存在“倍美好区间”设定义域为，值域为，
当时， 在区间上单调递增，
所以，解得，故B正确；
C、因为在上单调递减，在上单调递增，
假设函数存在“完美区间”，
当时，在单调递减，要使值域为，
则，解得，即假设成立，故C错误；
D、假设函数定义域内任意子区间，
因为函数在上单调递增，所以值域为，故内任意一个子区间都是“2倍美好区间”，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误即可.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2024高一上·六盘水期末）函数且的图像恒过定点 ．
【答案】
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，可得，，则函数图象恒过定点（1，3）.
故答案为：（1，3）.
【分析】根据指数函数的性质即可求解.
14．（2024高一上·六盘水期末）已知，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，
由基本不等式可得：，
当且仅当时等号成立，故的最大值为.
故答案为：.
【分析】利用由基本不等式最大值即可.
15．（2024高一上·六盘水期末）德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”；表示不超过的最大整数，例如，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得.
故答案为：.
【分析】由所给“高斯函数”的概念，直接求解即可.
16．（2024高一上·六盘水期末）已知函数关于的方程的实数根的个数为，则的所有可能取值组成的集合为 ．
【答案】
【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作函数的图象，如图所示：
令 ，
根据图象可知：方程的根有如下情况：
当时，方程有两不相等实根，其中满足的只有1个根，
此时有2个不相等的实根，即方程有2个不相等的实根；
当时，方程有3个不相等实根，其中满足的有2个 根，
此时有4个根，即方程有4个根；
当时，方程有4个不相等的实数根，其中满足的有3个根，
此时有6根，即方程有6个根；
当时，方程有3个根，其中满足的有2个根，满足的有1个根，此时有5个根，即方程有5个根；
当时，方程有1个根，满足，此时有2个根，
即方程有2个根，
综上所述，方程的实数根个数可能为2，4，5，6.
故答案为：.
【分析】先作分段函数的图象，数形结合，分别讨论对方程根的个数的影响及与的大小关系，可得出的根的个数，从而得出原方程的根的个数.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024高一上·六盘水期末）已知集合．
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）当时，
所以
所以或．
（2）因为，
当时，，所以
当时，，所以
综上可得，的取值范围为
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）将代入求得集合A，再利用集合的交集、补集的定义求解即可；
（2）利用集合的包含关系，分集合，列不等式求解即可.
18．（2024高一上·六盘水期末）（1）计算：
（2）已知是第二象限角，求的值．
【答案】（1）
（2）因为为第二象限角，所以，
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】（1）根据指数幂和对数函数的运算法则求解即可；
（2）根据同角三角函数基本关系求出的值，再根据诱导公式化简原式代入求值即可.
19．（2024高一上·六盘水期末）已知函数是偶函数，当时，．
（1）求的值，并作出函数在区间上的大致图象；
（2）根据定义证明在区间上单调递增．
【答案】（1）因为函数是偶函数
所以
作出图像
（2），且
有
由得
所以
即
所以函数在区间上单调递增
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数，可得，再画出时的图象，然后利用函数图象关于轴对称画出另一半图象即可；
（2）利用函数单调性的定义直接证明即可.
20．（2024高一上·六盘水期末）已知函数的最小正周期为．
（1）求的值，并求的单调递减区间；
（2）求在上的值域．
【答案】（1）由题意可知．所以
即
所以
所以
所以的单调减区间为
（2）因为
所以
所以
所以
所以函数在上的值域为
【知识点】函数的值域；余弦函数的性质；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据余弦型函数周期公式及余弦型函数单调性求解即可；
（2）根据自变量范围，利用整体替换、结合余弦函数性质求解即可.
21．（2024高一上·六盘水期末）近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，但这并没有让华为却步.2023年8月30日，据华为官网披露，上半年华为营收3082.90亿元，上年同期为2986.80亿元，净利润为465.23亿元，上年同期为146.29亿元．为了进一步提升市场竞争力，再创新高，华为旗下某一子公司计划在2024年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，2024年生产此款手机（单位：千部）需要投入两项成本，其中固定成本为200万元，其它成本为（单位：万元），且假设每部手机售价0.65万元，全年生产的手机当年能全部售完．
（1）写出此款手机的年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数解析式；（利润=销售额-成本）
（2）根据（1）中模型预测2024年此款手机产量为多少（单位：千部）时，所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）由题意可得
即
（2）当时，
当时，取最大值，（万元）
当时，
（万元）
当且仅当时，等号成立
因为
故当年产量为100（千部）时所获利润最大，最大利润为9080（万元）
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）由已知条件，根据销售额和成本列年利润的函数解析式即可；
（2）由（1）的结论，利用二次函数的性质和基本不等式，求最大值，再比较即可得最大利润.
22．（2024高一上·六盘水期末）已知函数，其中且．
（1）求的值，判断的奇偶性并证明；
（2）函数有零点，求的取值范围．
【答案】（1）因为
所以
所以得，又，所以
所以
为奇函数
证明如下：
因为，所以
所以函数的定义域为
都有
所以为奇函数
（2）有，
因为函数有零点
所以有根
即，
有
所以
令得
所以
令在区间上单调递减．
所以
所以得
综上，的取值范围是
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据已知条件求得的值，再利用函数奇偶性定义证明即可；
（2）原问题转化为，利用换元法，令，即，令，根据函数的单调性求出的值域即可得a的取值范围.
1 / 1贵州省六盘水市2023-2024学年高一上学期1月期末质量监测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高一上·六盘水期末）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一上·六盘水期末）设命题，则的否定为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高一上·六盘水期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·六盘水期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024高一上·六盘水期末）达-芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来引无数观赏者对其进行研究．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一段圆弧，并测得圆弧所对的圆心角为，弦的长为，根据测量得到的数据计算：《蒙娜丽莎》缩小影像作品中圆弧的长为（ ）（单位：）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·六盘水期末）已知且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·六盘水期末）已知函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2024 D．2025
8．（2024高一上·六盘水期末）定义在上的函数满足：
①，且，都有；
②，都有．
若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2024高一上·六盘水期末）下列各组函数中，函数与是同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一上·六盘水期末）已知且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高一上·六盘水期末）已知函数（为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象恒过定点
B．当时，函数是减函数
C．当时，函数是奇函数
D．当时，函数的值域为
12．（2024高一上·六盘水期末）一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”，特别地，当时，则称为的“完美区间”．则下列说法正确的是（ ）
A．若为函数的“完美区间”，则
B．函数，存在“倍美好区间”
C．函数，不存在“完美区间”
D．函数，有无数个“2倍美好区间”
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2024高一上·六盘水期末）函数且的图像恒过定点 ．
14．（2024高一上·六盘水期末）已知，则的最大值为 ．
15．（2024高一上·六盘水期末）德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”；表示不超过的最大整数，例如，，则不等式的解集为 ．
16．（2024高一上·六盘水期末）已知函数关于的方程的实数根的个数为，则的所有可能取值组成的集合为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024高一上·六盘水期末）已知集合．
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围．
18．（2024高一上·六盘水期末）（1）计算：
（2）已知是第二象限角，求的值．
19．（2024高一上·六盘水期末）已知函数是偶函数，当时，．
（1）求的值，并作出函数在区间上的大致图象；
（2）根据定义证明在区间上单调递增．
20．（2024高一上·六盘水期末）已知函数的最小正周期为．
（1）求的值，并求的单调递减区间；
（2）求在上的值域．
21．（2024高一上·六盘水期末）近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，但这并没有让华为却步.2023年8月30日，据华为官网披露，上半年华为营收3082.90亿元，上年同期为2986.80亿元，净利润为465.23亿元，上年同期为146.29亿元．为了进一步提升市场竞争力，再创新高，华为旗下某一子公司计划在2024年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，2024年生产此款手机（单位：千部）需要投入两项成本，其中固定成本为200万元，其它成本为（单位：万元），且假设每部手机售价0.65万元，全年生产的手机当年能全部售完．
（1）写出此款手机的年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数解析式；（利润=销售额-成本）
（2）根据（1）中模型预测2024年此款手机产量为多少（单位：千部）时，所获利润最大？最大利润是多少？
22．（2024高一上·六盘水期末）已知函数，其中且．
（1）求的值，判断的奇偶性并证明；
（2）函数有零点，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】根据集合的并集的运算直接求解即可.
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题的否定为.
故答案为：C.
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，直接写出答案即可.
3．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得 ，所以函数的定义域为.
故答案为：D.
【分析】根据函数有意义，列不等式求解即可得函数定义域.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：若，则，故充分性成立；
若，则，推不出，故必要性不成立，
所以“” 是“”成立的充分不必要条件．
故答案为：A．
【分析】根据充分、必要条件的定义结合正切函数的性质判断即可.
5．【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：易知为等边三角形，如图所示：
则，即圆弧的半径，所以圆弧的长为.
故答案为：C.
【分析】根据扇形弧长计算公式计算即可.
6．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：已知且，
因为，所以，
，解得，综上所述：.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，结合指数函数和对数函数的单调性求的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解：，用代替可得，
则，
故答案为：B.
【分析】用代替可得，推出，从而求值即可.
8．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于①：因为，且，都有，所以与异号，
所以函数为上的减函数；
对于②：因为，都有，所以函数关于对称，
即，所以函数为上的奇函数；
因为，所以，因为函数为奇函数，
所以，再由函数单调性可知：，
因为，化简可得，解得，则.
故答案为：A.
【分析】由①②可推出函数的奇偶性和单调性，结合函数的性质建立关于的不等关系，求出的范围，代入中即可求出范围.
9．【答案】B,C
【知识点】函数的概念及其构成要素；同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，的定义域为，定义域不同，
故函数与不是同一个函数，故A不符合；
B、函数的定义域均为，且，所以函数与是同一个函数，故B符合；
C、函数的定义域均为，且，所以函数与是同一个函数，故C符合；
D、函数的定义域均为，但，对应法则不同，所以函数与不是同一个函数，故D不符合.
故答案为：BC.
【分析】根据同一函数的定义逐项判断即可.
10．【答案】A,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：因为且，所以，
A、因为 ，所以，故A正确；
B、 ，因正负无法确定，所以的大小不确定，故B错误；
C、 ，当时，，故C错误；
D、因为 ，利用不等式的性质的可加性可知，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用作差法即可判断AB；利用不等式的性质即可判断CD.
11．【答案】A,C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、当时，函数的定义域为，在上单调递减，在定义域不具有单调性，故B错误；
C、当时，函数的定义域为，且满足，
所以函数是奇函数，故C正确；
D、当时，函数的值域为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据幂函数的性质逐项判断即可.
12．【答案】A,B,D
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：A、函数的对称轴为，则函数在单调递增，
所以值域，又因为为函数的“完美区间”，
所以，解得或，因为，所以，故A正确；
B、假设函数，存在“倍美好区间”设定义域为，值域为，
当时， 在区间上单调递增，
所以，解得，故B正确；
C、因为在上单调递减，在上单调递增，
假设函数存在“完美区间”，
当时，在单调递减，要使值域为，
则，解得，即假设成立，故C错误；
D、假设函数定义域内任意子区间，
因为函数在上单调递增，所以值域为，故内任意一个子区间都是“2倍美好区间”，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误即可.
13．【答案】
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，可得，，则函数图象恒过定点（1，3）.
故答案为：（1，3）.
【分析】根据指数函数的性质即可求解.
14．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，
由基本不等式可得：，
当且仅当时等号成立，故的最大值为.
故答案为：.
【分析】利用由基本不等式最大值即可.
15．【答案】
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得.
故答案为：.
【分析】由所给“高斯函数”的概念，直接求解即可.
16．【答案】
【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作函数的图象，如图所示：
令 ，
根据图象可知：方程的根有如下情况：
当时，方程有两不相等实根，其中满足的只有1个根，
此时有2个不相等的实根，即方程有2个不相等的实根；
当时，方程有3个不相等实根，其中满足的有2个 根，
此时有4个根，即方程有4个根；
当时，方程有4个不相等的实数根，其中满足的有3个根，
此时有6根，即方程有6个根；
当时，方程有3个根，其中满足的有2个根，满足的有1个根，此时有5个根，即方程有5个根；
当时，方程有1个根，满足，此时有2个根，
即方程有2个根，
综上所述，方程的实数根个数可能为2，4，5，6.
故答案为：.
【分析】先作分段函数的图象，数形结合，分别讨论对方程根的个数的影响及与的大小关系，可得出的根的个数，从而得出原方程的根的个数.
17．【答案】（1）当时，
所以
所以或．
（2）因为，
当时，，所以
当时，，所以
综上可得，的取值范围为
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）将代入求得集合A，再利用集合的交集、补集的定义求解即可；
（2）利用集合的包含关系，分集合，列不等式求解即可.
18．【答案】（1）
（2）因为为第二象限角，所以，
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】（1）根据指数幂和对数函数的运算法则求解即可；
（2）根据同角三角函数基本关系求出的值，再根据诱导公式化简原式代入求值即可.
19．【答案】（1）因为函数是偶函数
所以
作出图像
（2），且
有
由得
所以
即
所以函数在区间上单调递增
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数，可得，再画出时的图象，然后利用函数图象关于轴对称画出另一半图象即可；
（2）利用函数单调性的定义直接证明即可.
20．【答案】（1）由题意可知．所以
即
所以
所以
所以的单调减区间为
（2）因为
所以
所以
所以
所以函数在上的值域为
【知识点】函数的值域；余弦函数的性质；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据余弦型函数周期公式及余弦型函数单调性求解即可；
（2）根据自变量范围，利用整体替换、结合余弦函数性质求解即可.
21．【答案】（1）由题意可得
即
（2）当时，
当时，取最大值，（万元）
当时，
（万元）
当且仅当时，等号成立
因为
故当年产量为100（千部）时所获利润最大，最大利润为9080（万元）
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）由已知条件，根据销售额和成本列年利润的函数解析式即可；
（2）由（1）的结论，利用二次函数的性质和基本不等式，求最大值，再比较即可得最大利润.
22．【答案】（1）因为
所以
所以得，又，所以
所以
为奇函数
证明如下：
因为，所以
所以函数的定义域为
都有
所以为奇函数
（2）有，
因为函数有零点
所以有根
即，
有
所以
令得
所以
令在区间上单调递减．
所以
所以得
综上，的取值范围是
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据已知条件求得的值，再利用函数奇偶性定义证明即可；
（2）原问题转化为，利用换元法，令，即，令，根据函数的单调性求出的值域即可得a的取值范围.
1 / 1
