八年级数学下册试题 第三章 《图形的平移与旋转》单元检测卷-北师大版（含答案）

第三章 《图形的平移与旋转》单元检测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）．
1．下列历届世博会会徽的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，直角中，，，则内部五个小直角三角形的周长为（ ）．
A．32 B．56 C．31 D．55
3．如图是中国共产主义青年团团旗上的图案(图案本身没有字母)要想与原来图形重合，则绕圆心至少旋转(　　)
A． B． C． D．
4．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（6，50°）或P（6，﹣310°）或P（6，410°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（　　）
A．Q（6，﹣490°） B．Q（6，590°） C．Q（6，﹣110°） D．Q（6，230°）
5．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是，现将绕点B按逆时针方向旋转90°，则旋转后点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）
A．4， B．2， C．2， D．3，
7．如图，在平面直角坐标系内，点、的坐标分别为、，将沿轴向左平移，当点落在直线上时，线段扫过的区域所形成图形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
8．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　)
A． B． C． D．
10．如图，D为等边三角形内的一点，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论：①点D与点的距离为5；②可以由绕点A逆时针旋转60°得到；③；④点D到的距离为3；⑤．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．庆庆是一位特别喜欢学习数学的小朋友，周末这天他做完作业，在手机上找了一款数学相关的益智类游戏《推箱子》，要求将图中编号为①②③的三个箱子分别推进图中“回”字的位置．如果庆庆要想一次性通关，且尽可能让自己步数少，应该先推( )号箱子，再推( )号箱子，最后推( )号箱子．
12．如图，在中，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，且，则的度数为________．
13．在一个面积为正方形纸板中剪下边长为大正方形和边长为的小正方形（如图1），再在大正方形沿一个顶点剪下一个边长为的小正方形（如图2），得到一个周长为的六边形，则原大正方形中剩下的两个长方形的面积和为______．
14．如图，在矩形中，，将矩形绕点B旋转一定角度后得矩形交于点E，且，则的长为________．
15．如图，与关于点O成中心对称，有以下结论：①点A与点是对称点；②；③；④．其中正确结论的个数为 ___________个．
16．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去，…，若点，，，则点的坐标为______．
17．如图，在等边三角形中，，点D为的中点，点P在上，且，将绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接．当时，的长为________．
18．如图，是边长为的等边三角形，是的中点，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点的运动过程中，的最小值是______.
三、解答题（本大题共8小题，共66分．）
19．如图，直线l上摆放着直角三角形纸板，将三角板沿直线l向左平移到图中的三角板位置，P为与的交点．
(1)求证：；(2)，，，求阴影部分的面积．
20．阅读理解，并解答问题：
观察发现：
如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴．
问题解决：
用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和图4中各画一种拼法．
(1)图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形．
21．中，，，点在边上，将线段逆时针旋转得到，连接．
(1)当，时，求证：．(2)当，时，若，求的值．
22．请按以下要求用无刻度直尺作图：
(1)如图1，线段和线段关于点M成中心对称，画出点M；
(2)如图2，将绕点O逆时针旋转90°得，画出；
(3)如图3，线段绕点O旋转一个角度得到线段（其中A、B的对应点分别是C、D），找出这个旋转中心O．(4)如图4，设，将绕点C逆时针旋转α得，画出．
23．如图，正方形的边长为4，边分别在轴上和轴上．(1)把正方形先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到正方形，在图中画出正方形，并写出点的对应点的坐标；(2)规定：若a、b为整数，则点称为整点．如点为整点．正方形与正方形重叠区域（包括边界）内的整点有______个；
(3)若点在轴上方，以O、A、P为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，且的面积为2，请求出所有符合条件的的坐标．
24．阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴绕原点逆时针旋转角得到另一条数轴轴和轴构成一个平面斜坐标系
规定：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，若点在轴对应的实数为，点在轴对应的实数为，则称有序实数对为点在平面斜坐标系中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系中，已知，点的斜坐标是，点的斜坐标是
（1）连接，求线段的长；（2）将线段绕点顺时针旋转到（点与点对应），求点的斜坐标；
25．如图1，在中，，点D，E分别在边上，，连接，过点C作，垂足为H，直线交直线于F．
(1)求证：；(2)将图1中的绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；(3)若，将绕点C逆时针旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出的长．
26．小张同学对图形旋转前后线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．在中，，M是平面内任意一点，将线段绕点A按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．
(1)如图1，若点M是线段上的任意一点，判断和的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，点E是延长线上的点，若点M是内部射线上任意一点，连接，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
(3)如图3，在中，，，，点P是上的任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转75°，得到线段，连接，求线段长度的最小．
答案
一、选择题
1．C
【分析】据中心对称图形的概念：中心对称图形是绕对称中心旋转180度后与原图重合，很容易得出答案．
【详解】根据中心对称图形的概念，A不是中心对称图形，A不符合题意；
根据中心对称图形的概念，B不是中心对称图形，B不符合题意；
根据中心对称图形的概念，C是中心对称图形，C符合题意；
根据中心对称图形的概念，D不是中心对称图形，D不符合题意．故选：C．
2．B
【分析】由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长，通过勾股定理求出的长度，然后计算周长即可．
【详解】解：直角中，,
五个小直角三角形的周长为：，故答案为：B．
3．C
【分析】该图形被平分成5部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合．．
【详解】解：∵，∴该图形绕中心至少旋转度后能和原来的图案互相重合．故选：C．
4．
【分析】根据中心对称的性质解答即可．
【解答】解：∵P（6，50°）或P（6，﹣310°）或P（6，410°），
∴由点P关于点O成中心对称的点Q可得：
点Q的极坐标为（6，230°），（6，﹣490°），（6，590°），故选：C．
5．B
【分析】由题意直接利用网格特点和旋转的性质画出绕点B逆时针旋转90°后的图形，然后写出旋转后点A的坐标．
【详解】解：如图所示，绕点B按逆时针方向旋转90°得到，则旋转后点A的坐标是，
故选B．
6．B
【分析】利用旋转和平移的性质得出，，，进而得出是等边三角形，即可得出以及的度数．
【详解】解：∵，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，
∴，，∴是等边三角形，
∴，∴，
∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，．故选：B．
7．A
【分析】先根据勾股定理求出的长，再求出点落在直线时的横坐标，求出平移的距离即可解决问题．
【详解】解：如图，在中，，，，，
当时，，，，点向左平移3个单位落在直线上，
点平移的距离为3个单位，线段扫过的面积为，故选：A．
8．A
【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案．
【详解】解：在中，，
∵，，
∴，
由旋转可知，，
∴．
故选：A．
9．B
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：方法一：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，
设Q(，)，则PM=，QM=，
∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，，∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，
∴PN=QM=，Q′N=PM=，∴ON=1+PN=，∴Q′(，)，
∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，
当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′的最小值为，故选：B．
方法二：由方法一知：Q′(，)，故得到点Q′的运动轨迹为直线l：y=2x-5.
∴当OQ′垂直于直线l时，OQ′取的最小值。
10．C
【分析】连接，根据旋转的性质得，可判断为等边三角形，则，可对①进行判断；由为等边三角形得到，则把逆时针旋转60°后，与重合，与重合，于是可对②进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，则可对③④进行判断；由于四边形的面积，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对⑤进行判断．
【详解】解：连接，如图所示，
∵线段以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，
∴，∴为等边三角形，∴，故①正确；
∵为等边三角形，∴，
∴把逆时针旋转60°后，与重合，与重合，
∴可以由绕点A逆时针旋转60°得到，故②正确；∴，
∵，∴在中，，
∴为直角三角形，∴，∴，
∴点D到的距离为3，故④正确；
∵，∴ ，故③错误；
∵四边形的面积，故⑤正确．故选C．
二、填空题
11． ② ① ③
【分析】要一次性通关，先推阻碍其它箱子的箱子，然后推动其它箱子即可．
【详解】要想使游戏一次性通关，则三个箱子要把右边的三个阴影位置占完，且每个箱子只能占一个位置；
观察三个箱子的位置，发现②号箱子会阻碍其余两个箱子的移动，因此要先推动②号箱子，其余两个箱子才能推动；然后推动①号箱子，最后推动③号箱子可以使得步数最少．
故答案为：②，①，③
12．
【分析】根据得到，从而得到，根据旋转得到，，结合三角形内角和定理即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，∴，
∵将绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，∴，
∵，∴，
∴，∴，故答案为：．
13．16
【分析】根据图1得到，根据图2得到大正方形的边长，从而求出b值，即可求出剩下的两个长方形的面积和．
【详解】解：由图1可得：，∴，
由图2，∵六边形周长为，
∴大正方形的边长，∴，
∴原大正方形中剩下的两个长方形的面积和为，故答案为：16．
14．3
【分析】此题通过旋转前后对应边和角相等，以及已知的等边，合理设未知数后直接利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设
∵矩形绕点B旋转一定角度后得矩形，
∴在中，，
∴，∴，故答案为：3
15．3
【分析】利用中心对称的性质解决问题即可．
【详解】解：∵与关于点O成中心对称，
∴，
∴点A与点是对称点，，，．
故①②③正确，④不正确，故答案为：3．
16．
【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、、…每偶数之间的B相差12个单位长度，根据这个规律可以求得的坐标．
【详解】∵，，∴，，∵，∴，
∴的横坐标为：12，且，∴的横坐标为：，…，∴的横坐标为：，
∵，∴点的横坐标为：，
∵，∴点的纵坐标为4，∴．故答案为：．
17．或
【分析】连接，根据等边三角形的性质，得出，，根据勾股定理求出，由旋转的性质可知，分两种情况讨论：①点在线段上；②点在的延长线上，利用勾股定理即可求得的长．
【详解】解：如图，连接，
在为等边三角形， ∴，
点D为的中点，， ，
∴，∴，
由旋转的性质可知，，
∵，∴当时，点Q一定在直线上；
①当点在线段上时，如图所示：
，在中，；
②点在的延长线上，如图所示：
，，
综上可知，当时，的长为或，故答案为：或．
18．3
【分析】取线段的中点，连接，证明，得出．然后根据垂线段最短可得时最短，再根据角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】取线段的中点，连接，如图所示．
为等边三角形，且为的对称轴，
，，，．
在和中，， ，．
根据垂线段最短，时，最短，即最短，
，，，
∴DF的最小值是3．故答案为：3．
三、解答题
19．（1）证明：∵将三角板沿直线l向左平移到图中的三角板位置，
∴，∴；
（2）解：∵将三角板沿直线l向左平移到图中的三角板位置，
∴，，∵，∴，
∴阴影部分的面积．
20．（1）解：（1）参考图案，如图所示：
（2）（2）参考图案，如图所示：
21．（1）证明：如图，连接，
，，
在和中，，
，，，
，，
，；
（2）在的延长线上取点，使
，由同理得，，
，设，
∴作于，
，是等腰直角三角形，
∴．
22．（1）连接、，二者交于点M，作图如下：
点M即为所求；
（2）连接、、，再分别将、、绕O点逆时针旋转90°，得到点、、，连接，，，作图如下：
即为所求；
（3）连接、，二者的垂直平分线的交于点O，作图如下：
点O即为所求；
（4）先根据网格图可以画出线段，根据旋转角等于，结合网格图可以画出，最后过点作的垂直，交于点，作图如下：
即为所求．
根据网格图可判断出：，，
即所作的满足要求．
23．（1）解：如图所示，正方形即为所求；
由题意得，，，，
∵把正方形先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到正方形，∴；
（2）解：由图可知方形与正方形重叠区域（包括边界）内的整点有，
∴正方形与正方形重叠区域（包括边界）内的整点有12个，故答案为：12；
（3）解：设点P的坐标为，∵，∴，
∵的面积为2，∴，∴，∴，
当时，∴，∴，∴点P的坐标为或；
当时，∴，∴，∴点P的坐标为或；
综上所述，点P的坐标为或或或．
24．解：（1）如图，过点P作PC⊥OA，垂足为C，连接OP，
∵AP∥OB，∴∠PAC=，∵PC⊥OA，∴∠PCA=90°，
∵点的斜坐标是，∴OA=3，AP=6，∴，∴，
∴，，在Rt△OCP中，由勾股定理，得；
（2）根据题意，过点Q作QE∥OC，QF∥OB，连接BQ，如图：
由旋转的性质，得OP=OQ，∠POQ=60°，
∵∠COP+∠POA=∠POA+∠BOQ=60°，∴∠COP=∠BOQ，∵OB=OC=6，∴△COP≌△BOQ（SAS）；
∴CP=BQ=3，∠OCP=∠OBQ=120°，∴∠EBQ=60°，∵EQ∥OC，∴∠BEQ=60°，
∴△BEQ是等边三角形，∴BE=EQ=BQ=3，∴OE=6+3=9，OF=EQ=3，
∵点Q在第四象限，∴点的斜坐标为（9，）；
25．（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）仍然成立，理由如下：
如下图，作交直线于点，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①当点在延长线上时，过点作于点，如下图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）可知，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点在线段上时，过点作于点，如下图，
同理可得 ，，，
∴，
∴．
综上所述，的长为或．
26．（1）结论：．
由旋转知，，
∴，
即：，
∵，
∴，
∴，
故答案为；
（2）（1）中结论仍然成立，
理由：由旋转知，，
∴，
即：，
∵，
∴，
∴；
（3）如图3，在的截取， 过点作于E，
由旋转知，，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
要线段长度的最小，则线段长度最小，
而点O为上定点，当时，最小，
在中，，
在中，
∵，
∴，，
在中，
∵，
∴，，
∴，
∴
即：线段长度的最小值为．