第01章 三角形的证明 章节复习卷（16个知识点+50题练习）
知识点
知识点1．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
知识点2．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
知识点3．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
知识点4．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
知识点5．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
知识点6．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
知识点7．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
知识点8．等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
知识点9．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
知识点10．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
知识点11．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
知识点12．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
知识点13．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
知识点14．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
知识点15．反证法
（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．
（2）反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
知识点16．四种命题及其关系
四种命题及其关系．
1、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
2、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题．
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题．
练习卷
一．直角三角形全等的判定（共3小题）
1．（2023春 泗县期中）如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当 5或10 时，和全等．
【分析】当或10时，和全等，根据定理推出即可．
【解答】解：当或10时，和全等，
理由是：，，
，
①当时，
在和中
，
②当时，
在和中
，
故答案为：5或10．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，．
2．（2023秋 和县期末）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，若添加一个条件后，添加的条件可以是
A． B． C． D．
【分析】利用“”判断直角三角形全等的方法解决问题．
【解答】解：，，
，
当添加时，
得到，
即，
根据“”可判定．
故选：．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“” ．
3．（2023春 于洪区期中）求证：一条直角边相等且另一条直角边上中线相等的两个直角三角形全等．
【分析】先根据题意画出几何图形，写出已知、求证；先证明得到，则，然后根据“”证明．
【解答】已知：如图，和中，，，为的中线，为的中线，且，
求证：．
证明：在和中
，
，
，
为的中线，为的中线，
，
在和中
，
．
即一条直角边相等且另一条直角边上中线相等的两个直角三角形全等．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“” ．
二．角平分线的性质（共4小题）
4．（2023秋 龙山区校级期末）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是
A．点 B．点 C．点 D．点
【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点、、、中的哪一点在的平分线上．
【解答】解：从图上可以看出点在的平分线上，其它三点不在的平分线上．
所以点到两边的距离相等．故选．
【点评】本题主要考查平分线的性质，根据正方形网格看出平分线上的点是解答问题的关键．
5．（2023秋 保定期末）如图，在中，，的平分线交于点，若，，则的面积是
A．30 B．15 C．20 D．27
【分析】过作于，由角平分线的性质推出，而，即可求出的面积．
【解答】解：过作于，
，平分，
，
，
的面积．
故选：．
【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到．
6．（2023秋 和县期末）如图，在三角形中，，，若的面积为6，则到的距离为 2 ．
【分析】过作于，于，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到，即可求出，得到到的距离为2．
【解答】解：过作于，于，
，
，
的面积的面积的面积，
，
，
，
，，
，
到的距离为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到．
7．（2023春 驿城区期末）已知：如图，，，是的角平分线，若，求的面积．
【分析】根据三角形内角和等于求出的度数，再根据角平分线得到和的度数，从而得到，在直角三角形中求出和的长度即可得到答案．
【解答】解：，，
，
是的角平分线，
，
又，
，，
，
的面积．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质以及勾股定理的运用，求出和的长度是解决问题的关键．
三．线段垂直平分线的性质（共5小题）
8．（2023秋 交口县期末）如图，的斜边的垂直平分线与交于点，，，则的面积为
A．1 B．2 C．4 D．5
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出，，再根据三角形外角的性质求出的度数，根据含角的直角三角形的性质求出的长，根据三角形的面积公式进而可得出结论．
【解答】解：的斜边的垂直平分线与交于点，，，
，，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
9．（2022秋 长安区校级期末）某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在
A．三条高线的交点处
B．三条中线的交点处
C．三个角的平分线的交点处
D．三条边的垂直平分线的交点处
【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处，
故选：．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质的应用，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．（2023春 安源区期中）已知为三边垂直平分线交点，，则 ．
【分析】由点为三边垂直平分线交点，得到点为的外心，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到结果．
【解答】解：已知点为三边垂直平分线交点，
点为的外心，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外心的性质，解答本题关键熟练掌握圆周中同一弧线所对应的圆周角是圆心角的一半．
11．（2023 长沙一模）如图，中，，直线是边的垂直平分线，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的面积．
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质得出，求出，再求出答案即可；
（2）根据勾股定理求出，求出，再根据三角形的面积公式求出的面积即可．
【解答】解：（1），，
，
是的垂直平分线，
，
，
；
（2）在中，，，，
由勾股定理得：，
，，
，
的面积是．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，三角形的面积等知识点，能熟记线段垂直平分线的性质是解此题的关键．
12．（2024 道里区校级开学）如图，中，，点在边上，连接，点是的中点，交于点，交于点，，若，，则的长为 ．
【分析】延长到，使，连接，，过点作于，则为线段的垂直平分线，，证，由此得和相似，由相似三角形的性质得，，则，，，，进而得，证为线段的垂直平分线，则，，设，则，，在中由勾股定理求出，在中由勾股定理可求出，再证和相似，由相似三角形的性质得，，则，然后证和相似，由相似三角形的性质得，据此可得的长．
【解答】解：延长到，使，连接，，过点作于，如图所示：
，
为线段的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
，，
，
，
，，
在中，，，
由勾股定理得：，
点为的中点，，
为线段的垂直平分线，
，，
设，则，，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
在中，，，
由勾股定理得：，
，，
，
又，
，
，
即，
，，
，
，，
，
，
，
即：，
，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
四．等腰三角形的性质（共3小题）
13．（2023秋 殷都区期末）如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为，交于点．若的周长为25，的长为7，则的周长为
A．14 B．16 C．17 D．18
【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质求出，再根据周长定义求解即可．
【解答】解：的周长为25，的长为7，，
，
又垂直平分，
，
的周长为：，
故选：．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
14．（2023秋 儋州期末）在等腰中，三边长分别是，，，并且满足，求的周长．
【分析】首先将已知转化为，再利用非负数的性质求出，，然后在分两种情况讨论即可得出的周长．
【解答】解：，
，
，，
，，
，，
等腰三边长分别是，，，
有以下两种情况，
①当为底边时，，为腰，此时，
，
，，不能构成三角形，
此种情况不存在；
②当为底边时，，为腰，此时，
，
，，能构成三角形，
的周长为：．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，三角形的周长，熟练掌握非负数的性质，等腰三角形的性质，理解三角形三边之间的关系是解决问题的关键．
15．（2023秋 夏津县期末）一等腰三角形的一个角是50度，则这个等腰三角形其它两个角的度数是 ， 或， ．
【分析】分底角为和顶角为两种情况，再结合三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求得答案．
【解答】解：当底角为时，则顶角为：，此时三角形的另外两个角的度数为，；
当顶角为时，则底角为：，此时三角形的另外两个角的度数为，；
综上可知其他两个角的度数为，或，．
故答案为：， 或，．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
五．等腰三角形的判定（共3小题）
16．（2023秋 淅川县期末）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点，，在两个格点上，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点的个数为
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】可以是底边，也可以是腰，因此即可解决问题．
【解答】解：如图，成为等腰三角形，则满足条件的点的个数为8个．
故选：．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定方法．
17．（2023秋 株洲期中）如图，在中，，为边上一点，，．求证：是等腰三角形．
【分析】由，根据等腰三角形的两底角相等得到，再根据三角形的内角和定理可计算出，而，则，再根据三角形外角性质得到，于是，再根据等腰三角形的判定可得．
【解答】证明：，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：等腰三角形的两底角相等；有两个角相等的三角形为等腰三角形．也考查了三角形的内角和定理．
18．（2024 西城区校级开学）在平面直角坐标系中，点，点的坐标分别为，．若是以为顶角的等腰三角形，点在轴上，则点的坐标为 或 ．
【分析】根据题意画出图形，根据勾股定理求出的长，再根据即可得出结论．
【解答】解：点、点的坐标分别为、，
．
，
或．
故答案为：或．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定，熟知等腰三角形的判定定理是解答此题的关键．
六．等腰三角形的判定与性质（共3小题）
19．（2023秋 安康期末）如图，在中，，平分，，，下列结论中：①，②，③，④．正确的是
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】据平行线的性质、角平分线的定义、余角的性质等来判断即可．
【解答】解：，，
①正确；
平分，
，
，
，
②正确；
，
和互余，和互余，而，
③正确．
，而与不一定垂直，
不一定平行，
与不一定全等，
故与不一定相等，故④错误；
故选：．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义以及余角的性质等的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
20．（2023秋 翠屏区期末）如图，平分且于，，若，的周长为20，则的长为 8 ．
【分析】证明，从而可得，再利用等角对等边证明，这样的周长就转化为与的和．
【解答】解：，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
的周长为20，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：8．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，注意结合图形分析各边之间的关系是解题的关键．
21．（2023秋 青原区期末）如图，平分，，在的延长线上截取，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，等量代换得到，根据平行线的判定定理得到；
（2）根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到．
【解答】（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，，
．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
七．等边三角形的性质（共3小题）
22．（2023秋 邹平市期末）如图，等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、．如果测得，那么 ．
【分析】首先根据等边三角形的性质得，再根据得，由翻折的性质得，，然后根据三角形的内角和定理可得，则，最后根据邻补角的定义可得的度数．
【解答】解：为等边三角形，
，
，
，
由翻折的性质得：，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了图形的翻折及其性质，等边三角形的性质，熟练掌握图形的翻折及其性质，理解等边三角形的三个内角都等于是解决问题的关键．
23．（2023春 大埔县期中）如图，是等边的一条中线，若在边上取一点，使得，则的度数为
A． B． C． D．
【分析】由等边三角形的性质可得，，结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解的度数，进而可求解．
【解答】解：为等边三角形，
，
是等边的一条中线，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，求解的度数是解题的关键．
24．（2023春 永兴县校级期末）等边，边长为，点从点出发以向点运动，同时点以向点运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．
（1）求当为直角三角形时的时间；
（2）的面积能否为？若存在求时间，若不存在请说明理由．
【分析】（1）根据题意有，，即，即可得，分当为直角三角形，且时和当为直角三角形，且时，两种情况讨论，根据含角的直角三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可求解；
（2）过点作于点，先求出，即有，进而有，即，令，可得，解方程即可求解．
【解答】解：（1）根据题意有，，即，
，
，
当为直角三角形，且时，如图，
等边中，，
，
，
，
解得：；
当为直角三角形，且时，如图，
等边中，，
，
，
，
解得：；
即的值为或者3；
（2）存在，理由如下：
过点作于点，如图，
，，，
，
，
，
，
，
令，
，
整理得：，
解得：，或者，
，
，
即的值为2．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，一元一次方程的应用，一元二次方程的应用等知识，明确题意，根据含角的直角三角形的性质正确列式，是解答本题的关键．
八．等边三角形的判定（共3小题）
25．（2023秋 固镇县期末）根据下列条件，不能得到等边三角形的是
A．有两个角是的三角形
B．有一个角是的等腰三角形
C．有两个角相等的等腰三角形
D．腰长和底边长相等的等腰三角形
【分析】根据等边三角形的定义和判定定理，即可解答．
【解答】解：、有两个角是的三角形，那么第三个角也是，故是等边三角形，正确；
、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，正确；
、有两个角相等的等腰三角形，不一定是等边三角形，故错误；
、腰长和底边长相等的等腰三角形是等边三角形，正确；
故选：．
【点评】本题考查了等边三角形的判定，解决本题的关键是熟记等边三角形的定义和判定定理．
26．（2023春 尤溪县期中）若，，请添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是 （答案不唯一） ．（写出一个即可）
【分析】由等边三角形的判定，即可解决问题．
【解答】解：，，添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查等边三角形的判定，关键是掌握等边三角形的判定方法．
27．（2023秋 前郭县期中）如图，中，为边上一点，于，的延长线交的延长线于，且．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）当 30 度时，是等边三角形？请证明你的结论．
【分析】（1）由，得到，由垂直的定义得到，，由余角的性质得到，即可证明问题；
（2）由垂直的定义得到，由（1）知是等腰三角形，于是证明是等边三角形．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
，，
，
是等腰三角形；
（2）解：当度时，是等边三角形，理由如下：
，
，
，
由（1）知是等腰三角形，
是等边三角形．
故答案为：30．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，余角的性质，关键是由余角的性质证明，
九．等边三角形的判定与性质（共3小题）
28．（2023春 芝罘区期末）一艘轮船由海平面上地出发向南偏西的方向行驶40海里到达地，再由地向北偏西的方向行驶40海里到达地，则、两地相距
A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
【分析】由已知可得是等边三角形，从而不难求得的距离．
【解答】解：由题意得，，
是等边三角形，
海里．
故选：．
【点评】本题主要考查了解直角三角形中的方向角问题，能够证明是等边三角形是解题的关键．
29．（2023春 郫都区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设．且，点与点关于轴对称，点为的中点，连接，过点作，且，连接交于点，则的值为 ．
【分析】过点作轴交的延长线于点，证，得，，再证，得，进而得出答案．
【解答】解：过点作轴交的延长线于点，如图所示：
则，
，
，
在和中，
，
，
，，
由（1）可知，是等边三角形，
，
，
点与点关于轴对称，
，
，
又是的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，轴对称的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
30．（2023春 榆阳区期末）如图，在中，，，是的垂直平分线，交、于点、连接、．求证：
（1）是等边三角形；
（2）点在线段的垂直平分线上．
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据是的垂直平分线，可得，即可证明是等边三角形；
（2）根据垂直平分线的性质可得，进而可得平分，根据角平分线的性质可得，根据等边三角形的性质可得，即可得证．
【解答】（1）证明：在中，，，
，，
是的垂直平分线，
，
，
是等边三角形；
（2）证明：是的垂直平分线，
，，
，则，
，
平分，
，，
，
是等边三角形，
，
点在线段的垂直平分线上．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质与判定，角平分线的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
一十．直角三角形的性质（共3小题）
31．（2023春 汨罗市期中）、为的高，、相交于点，，求．
【分析】根据同角的余角相等求出，从而得解．
【解答】解：是的高，
，
是的高，
，
，
，
．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
32．（2023秋 德州期中）在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
【解答】解：①因为，则，，所以是直角三角形；
②因为，设，则，，，所以是直角三角形；
③因为，所以，则，所以是直角三角形；
④因为，所以，则，所以是直角三角形；
⑤因为，，，所以为钝角三角形．
所以能确定是直角三角形的有①②③④共4个，
故选：．
【点评】解答此题要用到三角形的内角和为，若有一个内角为，则是直角三角形．
33．（2023春 阎良区校级期中）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有 ②④⑤ ．
【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的概念判断即可．
【解答】解：①时，不能判定为直角三角形；
②，
，，，能判定为直角三角形；
③设，则，
，
解得：，
，则，不是直角三角形；
④设，则，，
，
解得：，
，，，能判定为直角三角形；
⑤，
，，能判定为直角三角形；
故答案为：②④⑤．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形的判定定理是解题的关键．
一十一．含30度角的直角三角形（共3小题）
34．（2023春 白银期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，且，则的长是
A． B． C． D．
【分析】利用线段垂直平分线的性质得，利用等腰三角形的性质得且，再利用外角的性质得，解直角三角形即可得的值．
【解答】解；边的垂直平分线交于，交于（已知），
（线段垂直平分线的性质），
且（等腰三角形的性质），
（外角的性质），
．
故选：．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含角的直角三角形的性质等知识；得到是正确解答本题的关键．
35．（2023秋 高安市期末）如图所示，已知，点在边上，，点，在边上，且，若，则的长为 4 ．
【分析】作于，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
【解答】解：作于，
，
，
，
，
，
，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
36．（2023秋 叙州区期末）请回忆华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容，该内容阐述了垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端钓距离相等；并给出了证明的方法．
定理证明：根据教材的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在中，直线、分别是边、的垂直平分线，直线、交于点，过点作于点．求证：．
（2）如图③，在中，，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若，，求的值是多少？
【分析】定理证明：由证得，即可得出结论；
定理应用：（1）连接、、，利用线段的垂直平分线的性质得，，再证是等边三角形，得，即可得出结论；
（2）连接，，证是等边三角形，即可解决问题．
【解答】定理证明：
证明：，
，
在和中，
，
，
；
定理应用：
（1）证明：如图②，连接、、，
直线是边的垂直平分线，
，
直线是边的垂直平分线，
，
，
，
；
（2）解：如图③中，连接，，
，，
，
边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，
，，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
．
【点评】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
一十二．勾股定理（共3小题）
37．（2023秋 遂川县期末）一等腰三角形的底边长是12，腰长为10，则底边上的高是
A．15 B．13 C．10 D．8
【分析】由等腰三角形的性质得，再由勾股定理求出的长即可．
【解答】解：如图，在中，，，，
，
在中，由勾股定理得：，
即底边上的高是8，
故选：．
【点评】本题主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
38．（2023春 天等县期中）在中，，，，求的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作于，设，用含的代数式表示根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程模型求出利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积．
【分析】设，由表示出，分别在直角三角形与直角三角形中，利用勾股定理表示出，列出关于的方程，求出方程的解得到的长，即可求出三角形面积．
【解答】解：如图，在中，，，，
设，则有，
由勾股定理得：，，
，
解之得：，
，
．
【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
39．（2023春 沈河区校级月考）如图，在四边形中，，，，，，则对角线的长是 ．
【分析】把绕顺时针旋转得到△，过作垂足为，得，，，再根据四边形内角和为，得，从而得点、、三点在同一条直线上，再通过等量代换得，进一步得，再根据三角函数求出对角线的长．
【解答】解：把绕顺时针旋转得到△，过作垂足为，
△，
，，，
四边形内角和为，
，
，，
，
，
点、、三点在同一条直线上，
，
，
，
，，，
，
在中，，
；
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握四边形内角和、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角函数这四者知识点的综合应用，其中把绕顺时针旋转得到△，是解题关键．
一十三．勾股定理的证明（共3小题）
40．（2023春 黔西南州期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为、且，则图中大正方形的边长为 5 ．
【分析】根据大正方形的面积小正方形的面积加上4个直角三角形的面积求解即可．
【解答】解：直角三角形的两直角边分别为、且，
直角三角形的面积，
大正方形的面积小正方形的面积，
大正方形的面积，
图中大正方形的边长为5．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确得出大正方形的面积的表示方法是解题的关键．
41．（2023春 漳平市期末）意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图1的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图2的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为．
（1）请用含，，的代数式分别表示，；
（2）请利用达芬奇的方法证明勾股定理．
【分析】（1）根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得，图1中空白部分的面积，
图2中空白部分的面积；
（2）由得，
．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
42．（2023春 涧西区期中）在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形（直角边长分别为，，斜边长为构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为，的两个正方形和长为，宽为的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是
A．甲 B．乙
C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以
【分析】由图形中的面积关系，应用完全平方公式即可解决问题．
【解答】解：甲同学的方案：
大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，
，
，
，
因此甲同学的方案可以证明勾股定理；
乙同学的方案：
大正方形的面积矩形的面积两个小正方形的面积，
，
得不到，
因此乙同学的方案不可以证明勾股定理．
故选：．
【点评】本题考查勾股定理的证明，关键是应用面积法，完全平方公式．
一十四．勾股定理的逆定理（共3小题）
43．（2023春 和平区校级期末）一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为 ．
【分析】根据已知先判定其形状，再根据直角三角形斜边上中线的性质求得其中线长．
【解答】解：三角形的三边长分别为5，12，13，符合勾股定理的逆定理，
此三角形为直角三角形，则13为直角三角形的斜边，
三角形斜边上的中线是斜边的一半，
三角形最长边上的中线为．
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理的逆用，解答此题的关键是先判断出三角形的形状，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半判断．
44．（2023春 和平区期末）如图，在四边形中，，，，．
（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
【分析】（1）连接，在中，利用勾股定理求出的长，，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后进行计算即可解答；
（2）根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）连接，
，，
，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
的度数为；
（2）由题意得：
四边形的面积的面积的面积
，
四边形的面积为．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
45．（2023春 鞍山期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是
A． B． C． D．
【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：连接，
，，，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积的面积的面积
，
这块菜地的面积为，
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
一十五．反证法（共3小题）
46．（2022秋 长安区期末）用反证法证明“若，则”，应假设
A． B． C． D．
【分析】根据反证法的一般步骤：先假设结论不成立进行解答．
【解答】解：用反证法证明“若，则”的第一步是假设，
故选：．
【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
47．（2023秋 高安市期末）用反证法证明：“在中，若，则”，则应先假设 ．
【分析】根据反证法证明命题的步骤求解即可．
【解答】解：由反证法的定义可知，假设需要否定结论，
所以先假设
故答案为：．
【点评】本题考查了反证法的概念，牢记反证法先假设否定结论是解题的关键．
48．（2023 五华县校级开学）请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．
【分析】首先假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为，另一个奇数为，利用多项式乘以多项式得出，进而得出矛盾，则原命题正确．
【解答】证明：假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为，另一个奇数为，、为整数），
则，
无论、取何值，都是奇数，这与已知中两个奇数的乘积为偶数相矛盾，
所以假设不成立，
这两个整数中至少一个是偶数．
【点评】此题主要考查了反证法的证明以及多项式乘以多项式以及数的奇偶性，熟练掌握反证法证明步骤是解题关键．
一十六．四种命题及其关系（共2小题）
49．（2020春 盐都区期末）命题“若，则”的逆命题是 若，则 ．
【分析】根据命题的逆命题进行解答即可．
【解答】解：命题“若，则”的逆命题是若，则，
故答案为：若，则
【点评】此题考查命题问题，关键是根据命题的题设和结论进行颠倒得出逆命题即可解答．
50．（2022 西城区校级模拟）命题：“如果，那么”的逆命题是 如果，那么 ，该逆命题是 （填“真”或“假” 命题．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可．
【解答】解：根据题意得：命题“如果，那么”的条件是如果，结论是，故逆命题是如果，那么，该命题是真命题．
故答案为：如果，那么，真．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．也考查了命题的真假判断．第01章 三角形的证明 章节复习卷（16个知识点+50题练习）
知识点
知识点1．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
知识点2．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
知识点3．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
知识点4．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
知识点5．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
知识点6．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
知识点7．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
知识点8．等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
知识点9．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
知识点10．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
知识点11．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
知识点12．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
知识点13．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
知识点14．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
知识点15．反证法
（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．
（2）反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
知识点16．四种命题及其关系
四种命题及其关系．
1、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
2、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题．
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题．
练习卷
一．直角三角形全等的判定（共3小题）
1．（2023春 泗县期中）如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当 时，和全等．
2．（2023秋 和县期末）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，若添加一个条件后，添加的条件可以是
A． B． C． D．
3．（2023春 于洪区期中）求证：一条直角边相等且另一条直角边上中线相等的两个直角三角形全等．
二．角平分线的性质（共4小题）
4．（2023秋 龙山区校级期末）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是
A．点 B．点 C．点 D．点
5．（2023秋 保定期末）如图，在中，，的平分线交于点，若，，则的面积是
A．30 B．15 C．20 D．27
6．（2023秋 和县期末）如图，在三角形中，，，若的面积为6，则到的距离为 ．
7．（2023春 驿城区期末）已知：如图，，，是的角平分线，若，求的面积．
三．线段垂直平分线的性质（共5小题）
8．（2023秋 交口县期末）如图，的斜边的垂直平分线与交于点，，，则的面积为
A．1 B．2 C．4 D．5
9．（2022秋 长安区校级期末）某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在
A．三条高线的交点处
B．三条中线的交点处
C．三个角的平分线的交点处
D．三条边的垂直平分线的交点处
10．（2023春 安源区期中）已知为三边垂直平分线交点，，则 ．
11．（2023 长沙一模）如图，中，，直线是边的垂直平分线，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的面积．
12．（2024 道里区校级开学）如图，中，，点在边上，连接，点是的中点，交于点，交于点，，若，，则的长为 ．
四．等腰三角形的性质（共3小题）
13．（2023秋 殷都区期末）如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为，交于点．若的周长为25，的长为7，则的周长为
A．14 B．16 C．17 D．18
14．（2023秋 儋州期末）在等腰中，三边长分别是，，，并且满足，求的周长．
15．（2023秋 夏津县期末）一等腰三角形的一个角是50度，则这个等腰三角形其它两个角的度数是 ．
五．等腰三角形的判定（共3小题）
16．（2023秋 淅川县期末）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点，，在两个格点上，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点的个数为
A．10 B．8 C．6 D．4
17．（2023秋 株洲期中）如图，在中，，为边上一点，，．求证：是等腰三角形．
18．（2024 西城区校级开学）在平面直角坐标系中，点，点的坐标分别为，．若是以为顶角的等腰三角形，点在轴上，则点的坐标为 ．
六．等腰三角形的判定与性质（共3小题）
19．（2023秋 安康期末）如图，在中，，平分，，，下列结论中：①，②，③，④．正确的是
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
20．（2023秋 翠屏区期末）如图，平分且于，，若，的周长为20，则的长为 ．
21．（2023秋 青原区期末）如图，平分，，在的延长线上截取，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
七．等边三角形的性质（共3小题）
22．（2023秋 邹平市期末）如图，等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、．如果测得，那么 ．
23．（2023春 大埔县期中）如图，是等边的一条中线，若在边上取一点，使得，则的度数为
A． B． C． D．
24．（2023春 永兴县校级期末）等边，边长为，点从点出发以向点运动，同时点以向点运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．
（1）求当为直角三角形时的时间；
（2）的面积能否为？若存在求时间，若不存在请说明理由．
八．等边三角形的判定（共3小题）
25．（2023秋 固镇县期末）根据下列条件，不能得到等边三角形的是
A．有两个角是的三角形
B．有一个角是的等腰三角形
C．有两个角相等的等腰三角形
D．腰长和底边长相等的等腰三角形
26．（2023春 尤溪县期中）若，，请添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可）
27．（2023秋 前郭县期中）如图，中，为边上一点，于，的延长线交的延长线于，且．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）当 度时，是等边三角形？请证明你的结论．
九．等边三角形的判定与性质（共3小题）
28．（2023春 芝罘区期末）一艘轮船由海平面上地出发向南偏西的方向行驶40海里到达地，再由地向北偏西的方向行驶40海里到达地，则、两地相距
A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
29．（2023春 郫都区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设．且，点与点关于轴对称，点为的中点，连接，过点作，且，连接交于点，则的值为 ．
30．（2023春 榆阳区期末）如图，在中，，，是的垂直平分线，交、于点、连接、．求证：
（1）是等边三角形；
（2）点在线段的垂直平分线上．
一十．直角三角形的性质（共3小题）
31．（2023春 汨罗市期中）、为的高，、相交于点，，求．
32．（2023秋 德州期中）在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
33．（2023春 阎良区校级期中）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有 ．
一十一．含30度角的直角三角形（共3小题）
34．（2023春 白银期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，且，则的长是
A． B． C． D．
35．（2023秋 高安市期末）如图所示，已知，点在边上，，点，在边上，且，若，则的长为 ．
36．（2023秋 叙州区期末）请回忆华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容，该内容阐述了垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端钓距离相等；并给出了证明的方法．
定理证明：根据教材的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在中，直线、分别是边、的垂直平分线，直线、交于点，过点作于点．求证：．
（2）如图③，在中，，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若，，求的值是多少？
一十二．勾股定理（共3小题）
37．（2023秋 遂川县期末）一等腰三角形的底边长是12，腰长为10，则底边上的高是
A．15 B．13 C．10 D．8
38．（2023春 天等县期中）在中，，，，求的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作于，设，用含的代数式表示根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程模型求出利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积．
39．（2023春 沈河区校级月考）如图，在四边形中，，，，，，则对角线的长是 ．
一十三．勾股定理的证明（共3小题）
40．（2023春 黔西南州期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为、且，则图中大正方形的边长为 ．
41．（2023春 漳平市期末）意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图1的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图2的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为．
（1）请用含，，的代数式分别表示，；
（2）请利用达芬奇的方法证明勾股定理．
42．（2023春 涧西区期中）在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形（直角边长分别为，，斜边长为构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为，的两个正方形和长为，宽为的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是
A．甲 B．乙
C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以
一十四．勾股定理的逆定理（共3小题）
43．（2023春 和平区校级期末）一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为 ．
44．（2023春 和平区期末）如图，在四边形中，，，，．
（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
45．（2023春 鞍山期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是
A． B． C． D．
一十五．反证法（共3小题）
46．（2022秋 长安区期末）用反证法证明“若，则”，应假设
A． B． C． D．
47．（2023秋 高安市期末）用反证法证明：“在中，若，则”，则应先假设 ．
48．（2023 五华县校级开学）请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．
一十六．四种命题及其关系（共2小题）
49．（2020春 盐都区期末）命题“若，则”的逆命题是 ．
50．（2022 西城区校级模拟）命题：“如果，那么”的逆命题是 ，该逆命题是 （填“真”或“假” 命题．
