黑龙江省大庆外国语学校2023-2024学年高二下学期开学质量检测数学试卷(含答案)

大庆外国语学校高二年级寒假开学质量检测
数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一项符合要求）
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2. 下列有关复数的四个命题中，是假命题的为（ ）
A．两个共轭复数的模相等 B．
C． D．
3．已知命题p：，是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知向量，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
5. 已知实数，，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6. 已知为奇函数，为偶函数，且满足，则=（ ）
A. B.
C. D.
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小值是2
B. 函数的最小值等于4
C. 若，，则的最小值2
D. 函数的最小值是2
8．双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左 右焦点分别为，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，则E的离心率为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题（共4小题，每题5分，共20分。全部选对5分，部分选对2分，有选错0分）
9. 在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
10. 已知数列中，，则能使的可以为（ ）
A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数为偶函数
D．若函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则可以为
12．如图所示，棱长为3的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A． B．与所成的角可能是
C．是定值 D．当时，点到平面的距离为2.
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知分别为三个内角的对边，若，，则= .
14．若圆与圆有且仅有一条公切线，则 .
15. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别相交于点两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则___________.
16．已知正三棱锥，底面是边长为2的正三角形，若，且，则正三棱锥外接球的半径为 ．
四、解答题（共6道大题，共70分）
17．（10分）已知等差数列的公差，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18．（12分）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们(书籍的作者)一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了 100位年轻人，对这些人每天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本每天阅读时间的第 75 百分位数；
(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50，60)，[70，80)和[90，100)的年轻人中抽取 5人，再从中任选3 人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[70，80)的概率．
19．（12分）已知函数的最小正周期为2，的一个零点是．
(1)求的解析式；
(2)当时，的最小值为，求的取值范围．
20．（12分）已知数列的前项和为，且，数列是首项为1，公差为2的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
21．（12分） 如图，在四棱锥中，，，，平面平面.
（1）求证：面；
（2）点在棱上，设，若二面角余弦值为，求.
22．（12分）．如图所示：已知椭圆的短轴长为2，A是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于两点，交轴于点.记的面积为.

(1)若离心率，求椭圆的标准方程；
(2)在（1）的条件下
①求证：为定值；
②求的取值范围．
大庆外国语学校高二年级寒假开学质量检测
数学参考答案
1.ACAD 5.BDDB 9.ABC 10.AD 11.ABD 12.AC
13. 14. 36 15. 2 16.
17．（1）；（2）.
【详解】（1）成等比数列，，即，
，解得：，
.
（2）由（1）得：，，，
数列是首项为，公比为的等比数列，
．
18．【详解】（1）解：，解得；
（2）因为，，
所以样本每天阅读时间的第 75 百分位数在内，所以，解得；
（3）由图知：[50，60)，[70，80)和[90，100)的比例为，所以分别抽取1人，3人，1人，分别记为a，b，c，d，e，从中任选3 人的基本事件为：共10种，则其中恰好有2人每天阅读时间位于[70，80)的基本事件为，共6种，所以恰好有2人每天阅读时间位于[70，80)的概率．
19. 【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题知，所以．
又因为，所以，，即：，
又，则，
所以．
（2）
因为，，令，
因为在上的最小值为，如图，
可知须使，解得，
所以的取值范围是．
20. 【答案】(1)， (2)
【详解】（1）当时，，解得．
当时，，两式相减得，
即，所以是首项、公比均为2的等比数列，故．
又，故．
（2）因为，所以①，②，
①②得:．
所以．
不等式对一切恒成立，转化为对一切恒成立．
令，
单调递减，
所以实数的取值范围为.
21. 【小问1详解】
取中点，连接，，
，，四边形为平行四边形，，
又，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
，即，又，平面，
平面.
【小问2详解】
取中点，连接，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
以为坐标原点，正方向为轴正方向，作轴平行于直线，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
平面轴，平面的一个法向量，
，解得：，满足，
.
22. 【详解】（1）由题意可知，，
所以，
故椭圆方程为：
（2）由（1）得，依题意，直线不垂直于坐标轴，
①设直线，设，

由消去并整理得：，
则，
由得，即，
而，同理，
因此，，
所以为定值.
②，
由，则有，
令，显然函数在上单调递增，，则，
所以的取值范围是.