2023-2024学年江西省赣州市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省赣州市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.某学校高一、高二、高三分别有人、人、人，现采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取人参加全市主题研学活动，则应从高三抽取( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
3.已知函数的定义域为，若：，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数的部分图象如图所示其中为自然对数的底数，则可以为( )
A.
B.
C.
D.
5.函数的零点属于区间( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.实验开始时某物质的含量为，每经过小时，该物质的含量都会减少若该物质的含量不超过，则实验进入第二阶段实验进入第二阶段至少需要小时需要的小时数取整数，参考数据：，( )
A. B. C. D.
8.函数图象上总存在两点关于直线对称其中为自然对数的底数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 命题“，”的否定为“，”
B. 若函数在区间上单调递减，则
C. 一组样本数据为，，，，若将该组的每个数据都减，得到一组新数据，，，则新数据与原数据的众数一样
D. 随机数表第行为某工厂利用随机数表对生产的个零件进行抽样测试，先将个零件进行编号：，，，，，若从表中第行第列开始向右读取数据抽取个样本，则得到的第个样本编号为
10.已知正数，满足，则( )
A. B.
C. D.
11.有个相同的球，分别标有数字，，，，从中不放回的随机取两次，每次取个球，事件表示“第一次取出的球的数字是”，事件表示“第二次取出的球的数字是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则( )
A. 与互斥 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与相互独立
12.已知偶函数的定义域为，函数，，，，，则( )
A. 的图象关于对称 B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，则 ______．
14.已知幂函数在单调递减，则的值为______．
15.已知，是相互独立事件，但不是互斥事件，若，则事件的概率为______．
16.已知函数，若对任意，，都有恒成立，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
若，求；
若_____，求实数的取值范围．
请从中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题．
；“”是“”充分不必要条件；．
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．
18.本小题分
设函数．
在平面直角坐标系中画出它的图象；
解不等式．
19.本小题分
我省从年开始，高考不分文理科，实行“”模式，其中“”指的是语文、数学，外语这门必选科目，“”指的是考生需要在物理、历史这门首选科目中选择门，“”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这门再选科目中选择门已知某高校临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少门．
从所有选科组合中任意选取个，求该选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率；
假设甲、乙两人每人选择任意个选科组合是等可能的且相互独立，求这两人中恰好有一人的选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率．
20.本小题分
已知函数是定义域为的奇函数．
求实数的值，判断函数的单调性并说明理由；
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
为了监控生产线上某种零件的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其尺寸单位：记样本平均数为，样本标准差为下面是检验员在一天内抽取的个零件的尺寸：
经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，，，，．
计算该组数据的分位数；
一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线，在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查根据以上信息判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据组成一个新样本，计算新样本的平均数与方差精确到
22.本小题分
已知定义在上的函数、满足，且为偶函数，为奇函数．
求函数和的解析式；
函数，若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，则．
故选：．
根据集合运算的定义计算即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据分层随机抽样法知，应从高三抽取人．
故选：．
根据分层随机抽样原理求解即可．
本题考查了分层随机抽样原理应用问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，
，解得或，
故A或，
，解得或，
故是的充分不必要条件．
故选：．
根据已知条件，结合真数大于，不等式的解法，即可求解．
本题主要考查不等式的解法，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：时，，排除、；
由函数的图象可知函数是增函数，排除选项C．
故选：．
利用特殊值排除选项，利用函数的单调性，判断即可．
本题考查函数的图象的判断，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由于幂函数为上的增函数，指数函数为上的减函数，
则，，
故，
根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为，
故答案为：
由函数的解析式可得，，可得，根据函数零点的判定定理可得函数零点所在的区间．
本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，由函数的解析式求函数的值，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
则．
故选：．
利用指数函数、对数函数的单调性求解．
本题考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：依题意，需要的小时数为，有，即，
两边取为底的对数，得，得，
所以实验进入第二阶段至少需要小时．
故选：．
由已知列不等式，利用对数式的运算求解．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为时，关于对称的函数为，
若图象上总存在两点关于直线对称，
则在时有两个零点，
即在时有两个零点，
令，，
则，，
所以在上单调递增，
所以，
所以在上单调递减，，
所以．
故选：．
先求出关于对称的函数为，若图象上总存在两点关于直线对称，则在时有两个零点，分离参数后，构造函数，结合导数与单调性关系及函数性质可求．
本题主要考查了由函数零点个数求解参数范围，还考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，命题“，”的否定为“，”，选项A正确；
对于，二次函数在区间上单调递减，则对称轴，选项B正确；
对于，样本数据为，，，的每个数据都减，得到一组新数据，，，，
新数据比原数据的众数小，所以选项C错误；
对于，从表中第行第列开始向右读取数据抽取个样本，依次为：
，，，，，，，则得到的第个样本编号为，选项D错误．
故选：．
选项A，根据全称量词命题的否定判断即可；
选项B，根据二次函数的图象与性质判断即可；
选项C，根据样本数据的众数定义即可判断正误；
选项D，根据随机数表法求解即可．
本题考查了命题真假的判断问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为正数，满足，
所以，当且仅当时取等号，
所以，A错误；
，当且仅当时取等号，B正确；
因为，当且仅当时取等号，
所以，C正确；
，当且仅当时取等号，D正确．
故选：．
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，
全部的基本事件有：，，，，，，，，，，
，，共个，
事件发生包含的基本事件有：，，有个，
事件发生包含的基本事件有：，，，，，有个，
事件发生包含的基本事件：，，，有个，
事件发生包含的基本事件：，，，，，，，有个，
显然当出现，时事件、同时发生，故事件与不互斥，故A错误；
事件与不可能同时发生，即事件与互斥，又事件与包含所有的结果，
所以与对立，故B正确；
又，，，所以，
所以事件与相互独立，故C正确；
又，，，所以，
所以事件与相互独立，故D正确．
故选：．
利用列举法列出所有可能结果，再根据互斥事件及相互独立事件的概念判断即可．
本题考查互斥事件与相互独立事件的概念，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项，因为，
所以，又，
所以，
又，所以，
即，所以的图象关于对称，故A正确；
对于选项，因为为偶函数，
所以，
所以，即，故B正确；
对于选项，因为为偶函数，
所以，又，，
所以，故C错误；
对于选项，因为为偶函数，，，
所以，，，
所以，
所以，故D正确．
故选：．
根据，，从而得到，判断；
结合为偶函数，，得，判断；
根据周期性并赋值，判断；
由判断．
本题考查了用赋值法求抽象函数的值，考查了抽象函数的奇偶性及周期性，关键得到函数的周期性，利用函数的周期性求值，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
则．
故答案为：．
由已知先求出，进而可求．
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：幂函数在单调递减，
，
解得．
故答案为：．
利用幂函数的定义和性质列方程组，能求出结果．
本题考查幂函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：，是相互独立事件，
则，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，以及和事件的公式，即可求解．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，以及和事件的公式，属于基础题．
16.【答案】或
【解析】解：设，则，当且仅当时取等号，
函数可化为，
对任意，，都有恒成立，即对任意，，都有恒成立，
因为，所以，即，因
为，所以，即，解得或，
因为，所以，
整理得，，
解得，或，
所以或，
故答案为：或．
设，转化为对任意，，都有恒成立，根据，可得，即，再由的范围得，再解不等式可得答案．
本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：当时，，，
则或，或；
若选；则，
因为，，
所以，解得，
故的范围为；
若选“”是“”充分不必要条件，则，
所以两等号不能同时取得，解得，
故的范围为；
若选，则或，
解得或，
故的范围为或．
【解析】由已知结合集合的交集及补集运算即可求解；
结合所选条件，结合集合的交集及并集运算及集合的包含关系分别进行求解即可．
本题主要考查了集合的交集及补集运算，还考查了集合包含关系的应用，属于中档题．
18.【答案】解：函数的图象如图．
不等式，即，
可得或，
解：，可得，
解：，可得．
不等式的解集为：，．
【解析】在平面直角坐标系中画出函数的图象即可．
通过去掉绝对值符号，转化求解即可．
本题考查绝对值不等式的解法，函数的图象的作法，是中档题．
19.【答案】解：根据题意，考生需要在物理、历史这门首选科目中选择门，在思想政治、地理、化学、生物这门再选科目中选择门，
则所有的选科组合有种，
其中首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少门的选法有种，
则该选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率；
根据题意，由的结论，甲、乙两人中任意一人合某高校临床医学类招生选科要求的概率都为，
则两人中恰好有一人符合要求的概率．
【解析】根据题意，由组合数公式计算“所有的选科组合”和“符合要求的组合”的数目，由古典概型公式计算可得答案；
根据题意，由互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得答案．
本题考查概率的应用，涉及古典概型、相互独立事件概率的计算，属于基础题．
20.【答案】解：因为为奇函数，所以，
所以，
整理可得，
解得，所以，则在上单调递减，证明如下：
因为函数在上单调递增且，
所以函数在上单调递减，所以在上单调递减．
因为为奇函数，在上单调递减，
由得
则，原问题转化为对恒成立，
根据二次函数的性质可知，当 时，取最小值，
所以，即实数的取值范围为．
【解析】函数为奇函数，利用求实数的值，定义法判断并证明函数的单调性；
利用单调性和奇偶性解不等式，求最值解决恒成立问题．
本题主要考查了奇函数定义的应用，还考查了函数的单调性的判断及函数的奇偶性及单调性在求解不等式中的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
21.【答案】解：根据题意，将个数据从小到大排列为：、、、、、、、、
、、、、、、、；
由于，则该组数据的分位数为；
根据题意，由于，，
则，，
出现了在之外的零件，需要对当天的生产过程进行检查；
剔除数据后，新数据的平均数，
其方差．
【解析】根据题意，将数据从小到大排列，由百分位数的计算公式计算可得答案；
根据题意，计算和的值，可知出现了在之外的零件，需要对当天的生产过程进行检查，剔除数据后，由平均数、方差的计算公式分析可得答案．
本题考查数据的方差、平均数的计算，涉及百分位数的计算，属于基础题．
22.【答案】解：、满足，且为偶函数，为奇函数，
，
，
，
在区间上恰有两个不同的实数解，
的图象如图所示，
当即时，或，
则，
实数的取值范围为．
【解析】根据函数的奇偶性列出方程组，然后求解；
将方程解的问题转化为零点问题，分析函数的图像，得取两个零点时的限定条件，获得的取值范围．
本题考查了函数的奇偶性，分段函数零点问题，属于中档题．
第1页，共1页