2023-2024学年山东省德州市云天高级中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省德州市云天高级中学高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知两正数， 满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
2.若，为非零向量，则“”是“，共线”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设正实数，满足，，不等式恒成立，则的最大值为
( )
A. B. C. D.
4.已知集合，，若，则实数的取值范围为
( )
A. B. C. D.
5.若且，则的值与的大小关系是( )
A. B. C. D.
6.已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
8.已知函数，下列结论正确的是( )
A. 函数图像关于对称
B. 函数在上单调递增
C. 若，则
D. 函数的最小值为
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，以下结论正确的是( )
A.
B. 在区间上是增函数
C. 若方程恰有个实根，则
D. 若函数在上有个零点，则为
10.已知函数，现将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数在区间上有个零点
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 若函数对任意的恒成立，则
11.已知函数，则方程的根的个数可能为( )
A. B. C. D.
12.已知，且，那么下列不等式中，恒成立的有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知集合，则______．
14.已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，求的最小值______．
15.当生物死亡后，它机体内原有的碳会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳含量作为一个单位大约每经过年，一个单位的碳衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”当死亡生物组织内的碳的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳，那么死亡生物组织内的碳至少经过了 个“半衰期”【提示：】
16.如图，在扇形中，半径，圆心角，矩形内接于扇形，其中点，都在弧上，则矩形的面积的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设命题：实数满足，其中，命题：实数满足．
若，且，均为真命题，求实数的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
若函数对任意实数都有成立，求函数的解析式；
若函数在区间上的最小值为，求实数的值．
19.本小题分
已知是定义在上的奇函数，当时，．
求出函数的解析式并画出的简图不必列表；
若函数在区间上单调，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
当时，求函数在上的值域；
若函数在实数集上存在零点，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知函数的图象在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称．
求函数的解析式；
若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围．
22.本小题分
设，，，且函数是奇函数．
求的值；
若方程有实数解，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：
；
令，则；
由在上单调递减，故当时 有最小值，
即：时有最小值．
故选B．
展开，并根据可以得到，可令，并求出，而根据的单调性即可求出的最小值，进而求出的最小值．
考查基本不等式的应用，注意等号成立的条件，要熟悉函数的单调性．
2.【答案】
【解析】解：由分别表示方向上的单位向量，
当，即，共线，充分性成立，
当与共线，若同向共线时，不成立，必要性不成立，
“”是“与共线”的充分不必要条件．
故选：．
由为单位向量，根据向量共线的性质、充分必要性定义判断推出关系，即可得结果．
本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
令，，则，，将原式转化为关于，的不等式，两次使用基本不等式即可得到结论．
本题考查了基本不等式的使用，换元是解决本题的关键，本题属于中档题．
【解答】
解：设，，，
，
当且仅当，即，时取等号，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的包含关系判断及应用，属于基础题．
对是否为空集讨论，求出的范围．
【解答】
解：当时，满足，此时，可得；
当时，要使，
则，可得，
综上所述：．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：且，，
则，
．
故选：．
利用作差法，得出，
从而得出与的大小．
本题主要考查了用作差法比较两个数的大小问题，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为是定义在上的偶函数，
所以，解得．
则定义域为
由偶函数性质，不等式可化为，
又时，单调递减，所以，
由定义域为，可得不等式组，
解得，
故不等式的解集为
故选：．
具有奇偶性的函数定义域关于原点对称可求得值，由偶函数性质，可化为，根据的单调性可得，结合定义域即可解出不等式．
本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查抽象不等式的求解，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：令，
在上单调递减，
在内递增，且恒大于，且，．
故选：．
令，则函数在内递增，且恒大于，可得不等式，从而可求得的取值范围．
本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
的图像如图所示．
对于，因为，所以对；
对于，根据图像知错；
对于，当，，，但，，所以错；
对于，根据图像知错．
故选：．
根据对称条件判断；根据图像判断；举反例判断；根据图像判断．
本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的基本性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：当时，，
当时，，是周期为的周期函数，
故函数的图象如图所示：
，
，，，故选项A正确；
由函数的图象可知，在区间上是增函数，故选项B正确；
若方程恰有个实根，则函数与函数有个交点，当过点时，，此时函数与函数有个交点，当过点时，，此时函数与函数有个交点，所以若函数与函数有个交点，则，故选项C正确；
若函数在上有个零点，则函数与在上有个交点，交点横坐标为，由函数的图象可知，，且，，，则为，故选项D正确，
故选：．
画出函数的图象，利用函数的周期性判断选项A，B正确，利用数形结合法得到若函数与函数有个交点，则，故选项C正确，利用函数的图象的对称性可得选项D正确．
本题主要考查了函数的周期性和对称性，以及函数的零点与方程的根的关系，是中档题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，参数的取值范围的确定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用及参数的取值范围确定、、、的结论．
【解答】
解：对于：函数，现将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，故A错误；
对于：令，整理得，当，，，，，，时，，故函数有个零点，故B正确；
对于：当时，，故C正确；
对于：函数，对任意的上恒成立，故，
由于，所以
故，故D错误；
故选：．
11.【答案】
【解析】解：画出的图象如图，
由，
．
若或，则不存在，方程的根的个数为；
若，则化为，即，
方程的根的个数为；
若或，则，或，
则方程的根的个数为个；
若，则或，方程的根的个数为个；
若，则，或，
方程的根的个数为个．
结合选项可知，方程的根的个数可能为个或个或个．
故选：．
画出函数的图象，对分类可得关于的一元二次方程根的情况，数形结合可得方程的根的个数的可能取值．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：，且，
，即，当且仅当时，等号成立，即选项A正确；
令，则，
在上单调递减，
当时，取得最小值，为，即，故选项B正确；
，
，即选项C正确；
，当且仅当时，等号成立，即选项D错误．
故选：．
选项A，由，得解；
选项B，令，则，再结合对勾函数的图象与性质，可得解；
选项C，由，再根据选项A的推导，得解；
选项D，由“乘法”，可得解．
本题考查基本不等式的应用，熟练掌握“乘法”和对勾函数的图象与性质是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：集合，，
，
，
故答案为：．
先求出集合，，再利用集合间的基本运算求解．
本题主要考查了函数的定义域，考查了集合间的基本运算，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：幂函数在上单调递减，
，解得，
正数，满足，
，
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为．
故答案为：．
结合幂函数性质求出，利用基本不等式能求出的最小值．
本题考查幂函数的性质、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指数的简单计算，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
设生物组织内原有的碳含量为，需要经过个“半衰期”才不能被测到碳，则，即，再根据参考数据即可得解．
【解答】
解：设生物组织内原有的碳含量为，需要经过个“半衰期”才不能被测到碳，
则，即，
由参考数据可知，，，
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：连接，，过于，
可得，可得，
因为四边形为矩形，所以，
由题意可得，
可得≌，
可得，
而，
所以为等边三角形，所以，
设，则，在中，则，，
，，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以矩形的面积的最大值为．
故答案案为：．
连接，，过于，可证得≌，可得，可得为等边三角形，设，由题意可得，用的代数式，进而可得矩形的面积，由的范围，可得矩形的面积的最大值．
本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：由，
当时，，
即为真命题时，
实数的取值范围是．
又为真命题时，
实数的取值范围是，
所以，当，均为真命题时，
有，解得，
所以实数的取值范围是．
是的充分不必要条件，
即且推不出．
设或，或，
所以且，即．
所以实数的取值范围是．
【解析】由，当时，根据，均为真命题，利用交集运算性质即可得出范围．
是的充分不必要条件，即且推不出利用集合之间的关系即可得出．
本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：函数对任意实数都有成立，
函数关于对称，
，解得，
．
函数，对称轴为，
当，即时，函数在上单调递增，
，即，
解得，符合题意，
当，即时，函数在上先减后增，
，即，
解得，
又，不符合题意，舍去，
当，即时，函数在上单调递减，
，即，
解得，符合题意，
综上所述，实数或．
【解析】由题意可知函数关于对称，即可求出的值．
由题意可得函数的对称轴为，分别讨论，，，结合题目条件即可求出的值．
本题主要考查了二次函数的性质，属于基础题．
19.【答案】解：设，则，
所以，
又为奇函数，所以，
综上：，函数的简图如下图所示：
由图象可得在，上单调递减，在上单调递增，
所以有：或或，解得或或．
所以的取值范围为：．
【解析】根据奇函数的定义求解即可；
根据中函数的图象确定单调区间，再求解即可．
本题考查了函数的定义及性质，属于基础题．
20.【答案】解：根据题意，当时，，
设，则，
，；
，即
令，所以有正根，设的两根为，
当时，即可，即，解得；
当时，符合；
当时，，显然符合题意，
故实数的取值范围．
【解析】根据题意，当时求出函数的解析式，设，利用换元法分析可得答案；
根据题意，令，则原问题转化为有正根，结合二次函数的性质分析可得答案．
本题考查函数与方程的关系以及函数值域的计算，注意换元法的应用，属于基础题．
21.【答案】解：函数的图象在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和，
，，即，则，即，
若将函数的图象向左平移个单位后所得函数图象关于原点对称，
即是奇函数，，，
则，则，即，
则函数的解析式为，；
函数，
函数的周期为，，解得，
则，即，
设
若，则，，
则当时，，
则要使方程恰有两个不同的根，则，即．
【解析】本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数性质的考查，根据条件求出，和的值是解决本题的关键，属于中档题．
根据函数的图象坐标求出函数的周期和振幅，结合函数是奇偶性进行求解即可．
根据函数是周期求出的值，利用函数与方程之间的关系进行求解即可．
22.【答案】解：因为是奇函数，所以，即，
．
所以，
，故．
由题意得方程有实数解，则有解，
故，
，即，
又有，
，即．
又所以故．
【解析】由是奇函数可得，化简计算即可；
方程有实数解，则有解，转化为恒成立问题，计算即可．
本题考查函数的奇偶性，属于基础题．
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