2023-2024学年黑龙江省哈尔滨重点大学附中高二（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨重点大学附中高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.将圆平分的直线方程是
A. B. C. D.
3.命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分必要条件是( )
A. B. C. D.
4.两条平行线：，：间的距离等于( )
A. B. C. D.
5.已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.椭圆上的动点到定点距离的最大值为( )
A. B. C. D.
8.椭圆，点，为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以直角边长为的等腰直角三角形的一边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的体积可以为( )
A. B. C. D.
10.已知函数，下列结论中正确的是( )
A. 函数的周期为
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 函数的单调递增区间为
D. 函数是偶函数
11.已知双曲线的左，右焦点分别是，，左，右顶点分别是，，点在上，是的一条渐近线，是坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 焦点到的距离为
B. 若，则的面积为
C. 若的倾斜角为，则其实轴长为
D. 若直线，的斜率分别为，，则
12.已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一动点，点，则( )
A. 抛物线的准线方程为
B. 的最小值为
C. 当时，则抛物线在点处的切线方程为
D. 过的直线交抛物线于，两点，则弦的长度为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.复数的虚部为______其中为虚数单位．
14.已知是奇函数，且当时，，则 ______．
15.设椭圆：的焦点分别为，，过的直线与椭圆相交于，两点，则的周长为______．
16.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若与直线有交点，且双曲线上存在不是顶点的，使得，则双曲线离心率取值范围范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，且满足．
求角的大小；
若边长，求面积的最大值．
18.本小题分
舟山某校组织全体学生参加了海洋文化知识竞赛，随机抽取了名学生进行成绩统计，将数据按照，，，，分成组，制成如图所示的频率分布直方图：
根据频率分布直方图，求；
根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩；
用分层抽样的方法在，这两组学生内抽取人，再从这人中选人进行问卷调查，求所选的两人恰好都在的概率．
19.本小题分
已知圆：，直线过点．
若直线的斜率为，求直线被圆所截得的弦长；
若直线与圆相切，求直线的方程．
20.本小题分
已知抛物线：上一点到其焦点的距离为，到轴的距离为．
求抛物线的方程；
若不过原点的直线：与抛物线交于，两点，且，求实数的值．
21.本小题分
椭圆：过点，．
求椭圆的离心率；
过点且斜率不为的直线与椭圆交于，两点，椭圆的左顶点为，求直线与直线的斜率之积．
22.本小题分
已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过点的直线与曲线交于，两点，直线与相交于求证：点在定直线上．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
，即．
故选：．
由题意，解指数不等式求出，再根据集合的交集的定义，求出．
本题主要考查指数不等式的解法，集合的交集，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由所求直线要将圆平分，得到所求直线过圆心，故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程中检验，即可得到满足题意的直线方程．
此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，其中根据题意得出将圆平分的直线即为过圆心的直线是解本题的关键．
【解答】
解：将圆的方程化为标准方程得：，
可得出圆心坐标为，
将，代入选项得：，故圆心不在此直线上；
将，代入选项得：，故圆心不在此直线上；
将，代入选项得：，故圆心在此直线上；
将，代入选项得：，故圆心不在此直线上，
则直线将圆平分．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：若命题为真命题，则方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，，解得，
因此，使命题成立的充分必要条件是．
故选：．
求出当命题为真命题时实数的取值范围，再结合充要条件的定义可得出结论．
本题主要考查椭圆的性质和计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意知：，：，
因为两直线平行，所以，解得，
即直线的方程为：，
所以两条直线间的距离为．
故选：．
利用两平行线间的距离公式求解即可．
本题考查两条直线平行的充要条件的应用，平行线间的距离公式的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量是．
故选：．
由投影向量的定义计算即可求得．
本题考查平面向量的投影向量，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，，，
故．
故选：．
由已知结合指数及对数函数的单调性即可比较大小．
本题主要考查了指数函数及对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由椭圆的定义可设，，
则
，
当时取等号．
故选：．
设点的参数坐标，由两点间的距离公式可得的最大值．
本题考查椭圆上的点到椭圆外的点的距离的求法，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设，则，，点在以原点为圆心，为半径的圆上，．
故选：．
通过向量的数量积求出的轨迹方程，然后列出不等式转化求解椭圆的离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，轨迹方程的求法，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：当以直角边所在直线为旋转轴时，得到一个底面圆半径为，高为的圆锥，
圆锥的体积为；
当以斜边所在直线为旋转轴时，得到两个同样的圆锥，圆锥底面是以为半径的圆，高为，
旋转体的体积为．
故选：．
分两种情况，以直角边所在直线为旋转轴时和以斜边所在直线为旋转轴时，求出答案．
本题考查了旋转体的体积计算问题，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于函数，它的周期为，故A正确；
将代入解析式可得，
所以不是函数图象的对称轴，故B错误；
令，解得，
所以函数的单调递增区间为，故C错误；
，
所以函数是偶函数，故 D正确．
故选：．
由题意，利用诱导公式，正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查诱导公式，正弦函数的图象和性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为焦点到渐近线的距离是，故A正确；
时，则，故，
由勾股定理得，得，
所以，所以，
由三角形的面积公式可得，故B正确；
若的倾斜角为，则，则，所以实轴长为，故C不正确，
由题意可得，，设，
，，则，
则由在椭圆上可得，所以，
所以，故D正确．
故选：．
根据点到直线的距离公式即可判断；根据勾股定理结合双曲线的定义，即可利用面积公式求解判断；由已知可得，计算可判断；由题意可得，，设，计算可判断．
本题考查了双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：选项A，将抛物线：化成标准方程为，
所以焦点，准线方程为，即选项A正确；
选项B，过点作垂直准线于点，连接，如图所示，
由抛物线的定义知，，
所以，当且仅当，，三点共线时，等号成立，
所以的最小值为，即选项B不正确；
选项C，当时，，所以点，
由，知，
所以点处的切线斜率为，切线方程为，即，故选项C错误；
选项D，由，，知直线的方程为，即，
联立，消去得，
所以，，
所以，即选项D正确．
故选：．
选项A，由抛物线的几何性质，即可判断；
选项B，过点作垂直准线于点，连接，结合抛物线的定义求解即可；
选项C，先求出点坐标，再求导，可得切线的斜率，然后由直线的点斜式方程写出切线方程即可；
选项D，写出直线的方程，将其与抛物线方程联立，结合韦达定理与焦点弦长公式，求解即可．
本题主要考查抛物线的定义与几何性质，熟练掌握切线方程的求法，焦点弦长的计算方法等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
的虚部为．
故答案为：．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由是奇函数，且当时，，
则．
故答案为：．
利用奇函数的性质代入求值即可．
本题主要考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：椭圆：的长半轴长，
由椭圆的定义可知：的周长为．
故答案为：．
因为，利用椭圆定义可求出的周长．
本题考查椭圆的定义的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：双曲线与直线有交点，则，，解得，
双曲线上存在不是顶点的，使得，则点在右支上，
设与轴交于点，由对称性，所以，
所以，，
所以，由得，所以，
又中，，，
所以，即，
综上，．
故答案为：．
由直线与双曲线有交点，得在一三象限的渐近线的斜率大于，得出的一个范围．双曲线上存在不是顶点的，使得，与轴交于点，由平面几何的知识及双曲线定义得，在直角三角形中由边的关系得不等式，得出的范围，同时由的范围又是一个不等关系，从而得出离心率范围．
本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率取值范围的求解等知识，属于中等题．
17.【答案】解：由于．
利用正弦定理：，
整理得：，
由于：，
解得：
则：．
根据余弦定理得：，
则：，
解得：，
则：
【解析】直接利用正弦定理的三角函数关系式的恒等变换求出的值．
利用的结论和余弦定理及基本不等式求出三角形面积的最大值．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理得余弦定理得应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题．
18.【答案】解：由频率分布直方图得：
，
解得．
根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩为：
．
用分层抽样的方法在，这两组学生内抽取人，
则内抽取人，内抽取人，
再从这人中选人进行问卷调查，
基本事件总数，
所选的两人恰好都在包含的基本事件个数，
所选的两人恰好都在的概率为．
【解析】由频率分布直方图列方程能求出．
根据频率分布直方图，能估计样本的平均成绩．
用分层抽样的方法在，这两组学生内抽取人，则内抽取人，内抽取人，再从这人中选人进行问卷调查，基本事件总数，所选的两人恰好都在包含的基本事件个数，由此能求出所选的两人恰好都在的概率．
本题考查频率分布直方图、平均数、概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：由题设，直线：，可得：，
圆：的圆心，半径，
则到直线的距离，
所以直线被圆所截得的弦长为；
由，即在圆外，
当直线斜率存在时，设：，即，
要使直线与圆相切，则，
可得，
所以直线的方程为，
当直线斜率不存在时，：与圆相切；
故直线的方程为：或．
【解析】由题意得：，应用点线距离公式、圆弦长的几何求法求弦长；
根据点圆关系，分直线斜率存在和不存在两种情况，根据相切关系即可得切线方程．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
20.【答案】解：由题意知，点到准线的距离为，
所以，解得．
故C的方程为；
设，，由得，
所以，，
由题意得，，，
因为，所以，
即，解得或．
又直线不过原点，所以．
又满足要求，所以．
【解析】点到准线的距离为，从而得到方程，求出，得到抛物线方程；
联立直线与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据根的判别式得到不等式，求出，根据向量垂直得到方程，求出．
本题主要考查了抛物线的定义在抛物线方程求解中的应用，还考查了直线与抛物线位置关系的应用，属于中档题．
21.【答案】解：由椭圆：过点，，
可得，，，
离心率；
由可得椭圆方程为，
设过点且斜率不为的直线的方程为，，
联立直线和椭圆的方程，可得，
设，，
则，，
，
，
所以直线与直线的斜率之积为．
【解析】求得椭圆的，，，由离心率公式可得所求值；
联立椭圆方程和直线的方程，，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，可得所求值．
本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，
所以，
整理得，
则曲线的方程为；
证明：易知过点的直线的斜率存在，
不妨设该直线方程为，
联立，消去并整理得，
不妨设，，
由韦达定理得，，
易知，，
所以直线的方程为，
直线的方程为，
因为直线与相交于，
所以，
又，，
此时，
整理得，
因为，，
所以，
此时，
解得，
故点在定直线上．
【解析】由题意，根据动点满足直线与的斜率之积为，结合斜率公式进行求解即可．
将过点的直线与曲线联立，结合韦达定理求出相关信息，列出直线与的方程，根据与相交于，列出等式求解即可．
本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
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