2023-2024学年山东省济宁重点中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省济宁重点中学高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，是无理数”的否定是( )
A. ，不是无理数 B. ，是无理数
C. ，不是无理数 D. ，是无理数
3.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4.已知幂函数在上单调递增，则( )
A. B. C. D.
5.函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
10.已知，，则下列结论正确的是
( )
A. B. C. D.
11.已知，，，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
12.若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则( )
A.
B. 在上单调递增
C.
D. 在上的实数根之和为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设角的终边经过点，那么______．
14.已知，，则 ______．
15.已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为______．
16.已知函数若对，恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知是第三象限的角，且
求的值；
化简并求的值．
18.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
求在上的解析式；
解方程．
19.本小题分
已知一扇形的中心角为，所在圆的半径为．
若，，求该扇形的弧长；
若扇形的周长为，问当多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积．
20.本小题分
已知函数且的图象恒过定点，且点在函数的图象上．
求函数的解析式；
若存在互不相等的实数，使，求的值．
21.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
求函数在区间上的值域；
求满足的的取值范围．
22.本小题分
已知函数．
判断的单调性，并用单调性的定义证明；
若对，都有成立，求实数的取值范围；
是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：全集，，，
，
则．
故选：．
求出与的交集，找出交集的补集即可．
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：命题“，是无理数”为全称量词命题，
该命题的否定为“，不是无理数”．
故选：．
利用全称量词命题的否定形式判定选项即可．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，得，即．
函数的定义域为．
故选：．
由根式内部的代数式大于等于，求解指数不等式得答案．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为幂函数在上单调递增，
所以，解得．
故选：．
根据幂函数的定义与性质，列出方程求解即可．
本题考查了幂函数的定义与性质应用问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，
即，，
故函数的单调性增区间为，
故选：．
由正切函数的单调性的性质即可得到结论．
本题主要考查正切函数的单调性的求解，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：因为，
，，且，
所以，
所以．
故选：．
由已知结合指数函数及对数函数的单调性即可比较，，的大小．
本题主要考查了指数函数及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由题可得：，作出的图像如下：
由，且，则，，即，解得：，
所以
由，则，
所以，故当，
即时，取最小值为．
故选：．
根据题意得，作出图像分析时，有，即可求最值．
本题考查函数的性质，考查对数的运算，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：若“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集，
因此可得，对照各个选项，可知、两项符合题意．
故选：．
根据题意，集合是集合的真子集，由此判断即可得到本题的答案．
本题主要考查集合的包含关系、充要条件的定义及其判断等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了同角的三角函数关系，属于基础题．
先对两边平方求出的值，即可判断出所在的象限，再求出的值，从而求出，，的值．
【解答】
解：，
两边平方得：，
，
与异号，
又，
，
，
，
，
又，
，，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：根据，，且，可得，
当且仅当时，的最大值为，所以项不正确；
，
当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为，故B项正确；
由，得，所以，
因此，当且仅当时，的最小值为，
所以的最小值为，故C项正确；
．
当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为，故D项正确．
故选：．
根据题意，利用基本不等式与“的代换”，对各项中的结论逐一加以验证，即可得到本题的答案．
本题主要考查不等式的性质、利用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，由于函数是定义在上的奇函数，故，
由，令，则，，
则，A正确；
对于，由，得，即，
故，即为函数的一个周期，
由，可知函数的图象关于直线对称，
又当时，，故可作出函数的图象如图：
由图象可知在上单调递减，B错误；
对于，由于函数是定义在上的奇函数，且满足，
故，C正确；
对于，当时，显然不满足，故的根即的根，
也即函数的图象的交点的横坐标，
作出的图象如图：
由于均为奇函数，因此结合图象可知，二者在上图象的交点也两两关于原点对称，
因此交点的横坐标之和等于，即在上的实数根之和为，D正确．
故选：．
根据函数的奇偶性结合已知条件可用赋值法求得，判断；结合题意推出函数的周期以及对称轴，结合当时，，可作出函数的图象，即可判断；利用函数的奇偶性可判断；将在上的实数根问题转化为函数的图象的交点的横坐标问题，数形结合，即可判断．
本题考查了函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，综合性较强，解答本题的关键在于要根据函数的奇偶性结合已知条件，推出函数的周期性以及对称性，从而可作出函数图象，数形结合，解决问题．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，，
所以．
故答案为：．
由已知结合三角函数的定义即可直接求解．
本题主要考查了三角函数的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，，所以，，
故．
故答案为：．
根据指数式和对数式化简得到，，结合换底公式和指数，对数运算法则得到答案．
本题主要考查了指数对数的转化公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为函数是定义在上的偶函数，在上单调递增，
所以在上单调递减，
因为，
所以，
则不等式可转化为，
即，
解得．
故答案为：．
由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：当时，由题意得，由题意得，，
故，
令，由对勾函数的性质可得在上单调递减，
故，
所以，解得，
当时，，
故，
因为，
所以，
综上，．
故答案为：．
分和两种情况，参变分离，结合函数单调性求出答案．
本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：由题意得：是第三象限的角，，．
原式．
【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得的值．
由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
18.【答案】解：因为是奇函数，
当时，，
当时，，，
所以，
所以；
由题意知，，
得，
令，则，即，
解得或，
即或，
解得或．
【解析】由已知时的函数解析式，结合奇函数的定义及性质可求时的函数解析式即可求解；
由已知结合对数函数及二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了函数奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了对数函数及二次函数性质的应用，属于中档题．
19.【答案】解：，故扇形的弧长为；
依题意得：，即，
，
由二次函数可得，当时，有最大值，
此时，得．
当时，扇形有最大面积．
【解析】直接利用弧长公式求解；
由，得，把扇形面积表示为的二次函数，再由二次函数求最值．
本题考查扇形的弧长公式与面积公式的应用，考查计算能力，是基础题．
20.【答案】解：由题意得，函数的图象恒过定点，
所以，解得，
所以；
由，
得，所以或，
当时，由单调性知，，不符合题意；
当时，，
所以．
【解析】根据函数且恒过定点代入求解即可；
由分两种情况，再根据对数运算法则求解即可．
本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
21.【答案】解：函数；
故函数的最小正周期为；
由于，所以，
故．
即函数的值域为．
由于，
所以，，
故，，
故的取值范围为，．
【解析】首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期；
利用函数的定义域求出函数的值域；
利用函数的性质求出的取值范围．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
22.【答案】解：在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
那么，
，
因为，所以，可得，又，
所以，即，
所以在上单调递增．
因为，所以，
所以，
由第问知在上单调递增，所以，
所以，即对恒成立．
令，，只需，
令，则，，
因为在上单调递增，
所以当时，，所以
由第问知，在上单调递增，
所以，
所以，为方程的两个实数根，
即方程有两个不等的实数根，
令，即方程有两个不等的正根，
所以即，
且，解得且，
所以存在实数满足题意，且．
【解析】直接由指数函数单调性，单调性的定义证明即可．
将原问题转换为不等式对恒成立．通过换元法以及对勾函数性质即可得解．
由函数单调性以及换元法转换为一元二次方程根的分布问题即可得解．
本题主要考查了函数单调性的判断，还考查了由不等式恒成立与存在性问题求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
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