2022-2023学年云南省保山市腾冲八中高二（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年云南省保山市腾冲八中高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，且，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
4.函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为 ( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.春运期间，小明和小华两位同学报名参加了去本地客运站疏导乘客的公益活动，若两人分别被随机分配到、、三个客运站中的一个，则两人被分在同一个客运站的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知数列满足，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆：，的左、右顶点分别为，，以线段为直径的圆与直线相切，则离心率为( )
A. B. C. D.
8.若为所在平面内一点，且满足，且，则为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论错误的是( )
A. 过点，的直线的倾斜角为
B. 若直线与直线垂直，则
C. 直线与直线之间的距离是
D. 已知，，点在轴上，则的最小值是
10.下列关于抛物线的说法正确的是( )
A. 焦点在轴上
B. 焦点到准线的距离等于
C. 抛物线上横坐标为的点到焦点的距离等于
D. 由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为
11.已知曲线：，、为实数，则下列说法错误的是( )
A. 曲线可能表示两条直线
B. 若，则是椭圆，长轴长为
C. 若，则是圆，半径为
D. 若，则是双曲线，渐近线方程为
12.如图，棱长为的正方体中，为线段上动点包括端点则以下结论正确的为( )
A. 三棱锥体积为定值
B. 异面直线，成角为
C. 直线与面所成角的正弦值
D. 当点为中点时，三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，，若，则______．
14.一组数据，，，，，，，，，，第百分位数是______．
15.已知圆的圆心在轴正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，则圆的方程为 ．
16.年月日，在庆祝新中国成立周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以千米小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西的方向上，分钟后第二次观测到该飞机在北偏东的方向上，仰角为，则直升机飞行的高度为 结果保留根号．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，的周长为，求的面积．
18.本小题分
某市为了解疫情期间本地居民对当地防疫工作的满意度，从本市居民中随机抽取若干人进行满意度测评测评分满分为分根据测评的数据制成频率分布直方图如下：
根据频率分布直方图，回答下列问题：
估计本次测评分数的中位数精确到和平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
估计本次测评分数的第百分位数精确到；
若该市居民约为万人，估计全市居民对当地防疫工作满意度测评分数在分以上的人数．
19.本小题分
已知数列是单调递增的等差数列，且，．
求数列的通项公式及前项和；
设，求数列的前项和．
20.本小题分
如图，已知平面，为矩形，，，分别为，的中点，求证：
平面；
求与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
已知过点且斜率为的直线与圆：交于点、两点．
求的取值范围；
若，其中为坐标原点，求．
22.本小题分
若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．
求椭圆的方程；
不过原点的直线：与椭圆交于、两点，求面积的最大值以及此时直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，
，，
，解得，
．
故选：．
根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设，
，
由得，
而，
，
，得，
，则在复平面内对应的点为．
故选：．
设出，求得，利用复数的运算进行化简，求得的实部和虚部即可得出答案．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：双曲线的焦距为，，
由双曲线的一条渐近线与直线垂直，得，
又，，即，则．
双曲线的方程为．
故选：．
由已知可得与的值，结合隐含条件求解与，则双曲线方程可求．
本题考查双曲线的标准方程与几何性质，是基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，属于基础题．
由周期求出，由最低点求出，可得的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得的减区间．
【解答】
解：由函数的部分图象，
可得函数的最小正周期为，
，．
根据图象知点在图象上，
则可得，
即，
则
由，，
求得，，
故的单调递减区间为，，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：两人被随机分到三个客运站，一共有种分法，其中，两人被分到同一个客运站的分法有种，所以所求概率为．
故选：．
利用古典概型计算公式计算即可．
本题主要考查古典概型，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：数列满足，，，
，可得，
，可得，
，可得，
故选：．
直接把，，分别代入递推关系式即可求解．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，．
以线段为直径的圆与直线相切，
，化为：，
椭圆的离心率．
故选：．
，由以线段为直径的圆与直线相切，可得，化简利用椭圆的离心率，即可得出．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：如图，
设的中点为，则，
由，
得，即，可得，是等腰三角形；
由，可得，即，即为直角三角形．
则为等腰直角三角形．
故选：．
由题意画出图形，设的中点为，由，整理可得，再由得为直角三角形，则答案可求．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查数形结合思想，是中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线方程的综合应用，两点间斜率公式、两条平行直线间的距离公式的应用，直线的倾斜角与斜率关系的运用，两条直线垂直的充要条件，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
利用直线的斜率与倾斜角的关系判断选项A，由两条直线垂直的充要条件判断选项B，利用两条平行直线间的距离判断选项C，由三点共线，距离之和最小即可判断选项D．
【解答】
解：过点，的直线的斜率为，
又直线倾斜角的取值范围为，
所以直线的倾斜角为，
故选项A错误；
若直线与直线垂直，
则，解得，
故选项B错误；
直线，即，
所以直线与直线之间的距离是，
故选项C错误；
因为点关于轴的对称点为，
则，
所以的最小值是，
故选项D正确．
故本题选ABC．
10.【答案】
【解析】解：由抛物线，可得焦点在轴上；
，解得，焦点到准线的距离等于；
抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为；
由焦点，，因此由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为．
综上只有ACD正确．
故选：．
利用抛物线的标准方程及其性质即可得出结论．
本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：当，时，曲线：即为，表示两条直线，选项A正确；
当，曲线：可化为，此时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，长轴长为，选项B错误；
若，曲线：可化为，表示半径为的圆，选项C正确；
若，则是双曲线，其渐近线方程为，选项D错误．
故选：．
根据曲线的方程，结合直线，椭圆，双曲线的标准方程及其性质判断即可．
本题考查曲线与方程，考查椭圆以及双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，且，四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面，又为线段上动点，
到平面距离为定值，故三棱锥体积为定值，
当点与重合时，，故A正确；
，与所成角等价于与所成角，
又为等边三角形，异面直线，成角为，故B项错误；
以方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，取，
设直线与面所成角为，
则，故C项正确；
当点为中点时，，易得，平面，又平面，
，又，，平面，
平面，即平面，又，，
，，
的外接圆半径为，
故所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积，
设三棱锥的外接球半径为，
则，
故三棱锥的外接球表面积为，故D项正确．
故选：．
易证平面，故三棱锥体积为定值；易得，为等边三角形，故B错误；由向量法可判断C正确；转化顶点，易证平面，利用正、余弦定理求出的外接圆半径，将所求问题转化为圆柱外接球问题，进而判断项．
本题考查线面平行的判定定理，线线角的求解问题，向量法求解线面角问题，三棱锥的外接球问题，属难题．
13.【答案】
【解析】解：因为，所以．
所以，
解得，
所以．
故答案为：
根据空间共线向量的坐标表示计算即可得出结果．
本题主要考查了向量共线的坐标的坐标表示，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：把，，，，，，，，，，进行从小到大排序可得：
，，，，，，，，，，
共个数据，，
故第百分位数是第个和第个数据的平均数，
即，
故答案为：．
根据百分位的定义可得第百分位数是第个和第个数据的平均数，计算即可得解．
本题主要考查百分位数的计算，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的标准方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是中档题．
由题意设出圆的方程，把点的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式求解．
【解答】
解：由题意设圆的方程为，圆心，
由点在圆上，且圆心到直线的距离为，
得，解得，，
圆的方程为：，
故答案为．
16.【答案】千米
【解析】【分析】
本题考查正弦定理的应用，对基本知识的考查，本题的关键在于构建立体图形．
先根据已知条件在中求出，再在直角 中利用正切即可求出结论．
【解答】
解：如图由题上条件可得线平行于东西方向，，；
；
；；
在中，．
如图
平面，在直角 中，
千米．
故答案为：千米．
17.【答案】解：已知．
则：，
整理得：，
解得：，
由于：，
所以：．
的周长为，
则：，
由于：，
则：．
由于：，
解得：．
故：．
【解析】直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，求出的值．
利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．
本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用．
18.【答案】解：在频率分布直方图中，由，，
所以中位数位于内，设中位数为，则，
解得，即本次测评分数的中位数约为，
由频率分布直方图可知，
本次测评分数的平均数为
即本次测评分数的平均数约为．
在频率分布直方图中，前组频率之和为，小于，故第百分位数位于第组，
所以，
即第百分位数约为，
由频率分布直方图知测评分在分以上的频率为，
所以估计该市居民测评分在分以上的人数约为万人．
【解析】利用频率分布直方图以及样本数字特征知识可解．
本题主要考查频率分布直方图、平均数、方差、中位数、分位数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识、创新意识等；考查统计与概率思想、分类与整合思想、化归与转化思想等；考查数据分析、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性．属于中档题．
19.【答案】解：因为数列是等差数列，所以，即，
所以，
又，即，解得或，
由数列递增，知，
所以，
所以，．
，
所以，
所以，
两式相减得，，
所以．
【解析】根据等差数列的中项公式与通项公式，可求得公差和首项，再由等差数列的通项公式与前项和公式，得解；
根据错位相减法，即可得解．
本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握等差数列的通项公式与前项和公式，以及错位相减法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】证明：取中点，连接，，则，，
又因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面；
解：建立空间直角坐标系如图，因为，
所以，，，，，，．
设平面法向量为：，
则，，解得，，令，
则．
设与平面所成角为，则．

【解析】取中点，连接，，说明四边形为平行四边形，然后证明平面；
建立空间直角坐标系求出平面法向量，与平面所成角为，然后利用向量的数量积求解即可．
本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
21.【答案】由题意可得，直线的斜率存在，
设过点的直线方程：，即：．
由已知可得圆的圆心的坐标，半径．
故由，
故当，过点的直线与圆：相交于，两点．
设；，
由题意可得，经过点、、的直线方程为，代入圆的方程，
可得，
，，
，
由，解得，
故直线的方程为，即．
圆心在直线上，长即为圆的直径．
所以．
【解析】由题意可得，直线的斜率存在，用点斜式求得直线的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得的值，可得满足条件的的范围．
由题意可得，经过点、、的直线方程为，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．
本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．
22.【答案】解：抛物线的焦点为，所以，
因为双曲线的焦点坐标为，
所以则，
所以椭圆的方程为；
设，，
联立可得，
因为直线：与椭圆交于、两点，
所以，解得，
由韦达定理可得，
由弦长公式可得，
点到直线的距离为，
所以，
当且仅当即时取得等号，
所以面积的最大值为，此时直线的方程为．
【解析】根据抛物线和双曲线的性质结合椭圆的，，的关系求解；
利用韦达定理求出弦长，再利用点到直线距离公式为三角形的高即可求解．
本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
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