初三数学练习 1答案
1 2 3 4 5 6 7 8
D A A B C B B C
9.k>2
10.(-1,-4)
11.10cm
12. 4
13.40
14.三至五个月
15. 5 1
16. a 0 1或a
3
2
17.解：原式 1 2 2 2 2
2
1 2 2 .
x 1＞7-2x，
18. 解：原不等式组为 4 2x
x≤ . 3
解不等式①，得 x 2.
解不等式②，得 x 4.
∴ 原不等式组的解集为 2 x 4.
19. 已知 m是方程 x2 3x 1 0的一个根，求 (m 3)2 (m 2)(m 2)的值.
m是方程 x2 3x 1 0的一个根，
m2 3m 1 0.
m2 3m 1.
原式 m2 6m 9 m2 4
2m2 6m 5
2 5
3
20.
21.
（2）同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半； BAC
1
22.（1）
2
（2）黑桃 2 红心 3 梅花 4 黑桃 5
红心 3 梅花 4 黑桃 5 黑桃 2 梅花 4 黑桃 5 黑桃 2 红心 3 黑桃 5 黑桃 2 红心 3 梅花 4
由树状图可以看出，所有可能出现的结果有 12种，并且这些结果出现的可能性相等.
抽取的两张牌牌面数字之和大于 7（记为事件 A）的结果有 4种，
4 1
所以，P（A） .
12 3
k
23. 解：（1）∵直线 y x与双曲线 y 相交于点 P(2，m) .
x
∴ m 2 . ………….………..……….2 分
k
把点 P(2，2)代入 y 得
x
k
2 .
2
∴ k 4. ………….………..……….3 分
4
∴ y .
x
y x，
∴
y
4
.
x
x 2， x 2，
∴ 或
y 2 . y 2 .
∴点Q的坐标为 ( 2， 2) . ………….………..……….4 分
（2） n的取值范围是 n 2或 2 n 0. ………….………..……….6分
24.解：根据题意，得 AB⊥BC，EF⊥BC，DC⊥BC，DG⊥AB.
∴BG=CD=1.5m，DE=CF=7m，
∠AEG==45°，∠ADG=37°，
在 Rt△AGE中，∠AEG=45°，
∴∠GAE=45°，
∴AG=GE. ………………………………………………………………………………………1 分
设 AG为 xm，则 GE=x，GD=x+7
AG
在 Rt△AGD中，tan∠ADG= ，
GD
∴ 4AG 3GD
4x 3(x 7) ………………………………………………………………………………4 分
25. (1) 证明：如图 1，连接 OD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∵CD平分∠ACB ，
∴∠ACD=∠BCD=45°. ---------------1 分
∴∠ABD=∠ACD=45°.
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD=45°. --------------2分
∵DE∥AB，
∴∠BDE=∠OBD=45°.
∴∠ODE=∠ODB+∠BDE=90°.
∴OD⊥DE.
∵OD为⊙O的半径，
∴直线 DE是⊙O的切线. ------------------3分
（2）如图 2，过点 B作 BF⊥DE于点 F.
∴∠BFE=∠BFD=90°.
∴四边形 ODFB是正方形. ------------------4分.
∵BC=OA= 3
∴ △OCB 是等边三角形------------------5分
∴在 Rt△BFE 中 BF=BC= 3 , ∠E=∠ABC=60° 图 2
∴BE=2-----------------6分
26.【小问 1 详解】
解：由题意知， 4 4m 3 3．
m 1． ………………………2 分
【小问 2 详解】
由题意可知，当 x m时， y随 x的增大而增大；当 x m时， y随 x的增大而减小．
设抛物线上的四个点的坐标为 A m,nA ，B m 1,nB ，C 2,nC ，D 3,nD ．
点 B 关于对称轴 x m '的对称点为 B m 1,nB ．
m 1 3或m 1 2
综上所述m的取值范围是m 1或m 4． ………………………6 分
27. 【答案】(1)①见解析；②45；
(2)图见解析， 2 = + ，证明见解析．
【解析】【分析】(1)①利用等腰直角三我 ∠ = ∠ = 45 ，再由角平分线的定义得 ∠ =
∠ .然后由三角形外角性质得 ∠ = ∠ + ∠ ， ∠ = ∠ + ∠ ，从而
得 ∠ = ∠ ，即可由等角对等边得出结论；
②过点 作 ⊥ 于点 ，交 的延长线于点 .则 ∠ = ∠ = 45 ，即可得 = ，
再证明 ≌ .即可得 ∠ = ∠ = 45 ．
(2)过点 作 ⊥ 于点 ，交 的延长线于点 .由可证得 = .则 = 2 .再证
明 ≌ ，得 = ，即可由 = + .得出结论 2 = + ．
【详解】(1)①证明：∵在 中， ∠ = 90 ， = ，
∴ ∠ = ∠ = 45 ，
∵ 是 边上的高，
∴ ∠ = ∠ = 45 ．
∵ 是 ∠ 的角平分线，
∴ ∠ = ∠ ．
∵ ∠ = ∠ + ∠ ， ∠ = ∠ + ∠ ．
∴ ∠ = ∠ ．
∴ = ．
②过点 作 ⊥ 于点 ，交 的延长线于点 ．
∵ ∠ = 45
∴ ∠ = 45 ．
∴ = ．
∴ = 2 ．
∵ ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 ．
∵ ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 ．
∴ ∠ = ∠ ．
∵ = ，
∴ ≌ ．
∴ ∠ = ∠ = 45 ．
(2)解：依题意补全图形．
数量关系： 2 = + ．
证明：过点 作 ⊥ 于点 ，交 的延长线于点 ．
∵ ∠ = 45
∴ ∠ = 45 ．
∴ = ．
∴ = 2 ．
∵ ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 ．
∵ ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 ．
∴ ∠ = ∠ ．
∵ = ，
∴ ≌ ．
∴ = ．
∴ = + ．
∴ 2 = + ．
28. 【分析】（1）①运用新定义“关联距离”，即可求得答案；
②根据新定义“关联距离”，分别求出 d (E, O) 2， d (F , O) 3，即可得出答案；
（2）设ON d，可得 p d 1， q d 1，运用新定义“关联距离”，可得 d (N , O) d ，
S 1再利用 AOB OA OB
1
AB ON ，即可求得答案；
2 2
（3）如图 2，找出特殊位置，分别画出图形，即可得出答案．
【解答】解：（1）① D(0,2)到 O的距离的最小值 p 1，最大值 q 3，
d (D, O) 1 3 2，
2
故答案为：2；
②当M 在点 E处， d (E, O) 2，
当M 在点 F 2 4处， d (F , O) 3，
2
2 d(M , O) 3；
（2）设ON d，
p d r d 1， q d r d 1，
d (N , O) p q d 1 d 1 d，
2 2
点 N在直线 y 3x 2 3上，
设直线交 x轴于点 B，交 y轴于点 A，如图 1，
则 x 0时， y 2 3， y 0时， x 2，
A(0， 2 3)， B( 2,0)，
OA 2 3，OB 2，
AB OA2 OB2 4，
当ON AB时， d (N , O)最小，
S 1 1 1 1 AOB OA OB AB ON，即 2 3 2 4ON ，2 2 2 2
ON 3，
ON 无最大值，
d(N , O) 3；
（3）如图 2， d (P, O)的最小值为 1，最大值为 10 ，
两个同心圆中，小圆的半径为 1，大圆的半径为 10 ，
KL 10 1，
m 10 1的最小值是 5 2 ，
2 2
在Rt OMH中，OM 1 10，OH m 1，MH m，
2
(m 1 1)2 ( m)2 ( 10)2 ，
2
解得：m 2 18（舍去）或m ；
5
m的最小值为 5 2 18 ，最大值为 ．
2 52024.02 练习 1
初三数学练习 1 姓名：
一、选择题（共 16分，每题 2分）第 1 - 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2.若 x 3是一元二次方程 x2 2x m 0的一个根，则m的值是（ ）
A． 3 B． 15 C． 3 D．15
3. 如图，在Rt△ACB中， C 90°， AC 3BC，则 tan A为（ ）
1
A 2． B．
3 4
10 3 10
C． D．
10 10
4．如果将抛物线 y x2向上平移 3个单位长度，向左平移 1各单位，得到新的抛物线的表达式是（ ）
A y x 1 2 3 B y x+1 2． ． +3 C． y x 1 2 3 D y x 1 2． +3
5.如图，四边形 ABCD内接于⊙O， AB是直径，D是 AC的中点．若 B 40°，则 A的
大小为（ ）
A. 50° B. 60° C. 70° D.80°
6.《2024年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海
内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”。截至 2月 10日 2时， 总台春晚全媒体累计触达 142
亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量 4.2亿次. 据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看 2亿次，
设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为 x，则可列出关于 x的方程( )
A. 4.2 1 x 2 142 B. 2 1 x 2 4.2 C. 2 1 2x 4.2 D. 4.2 1 x 2 2
7 2．在平面直角坐标系 xOy中，若点 (0,y1)， (4,y2 )在抛物线 y a(x 3) 1(a 0)上，则下列结论正确的是（ ）
A. 1 y1 y2 B. 1 y2 y1 C. y2 y1 1 D. y1 y2 1
8．如图，正方形 ABCD的边长为 2，点 E是 AB上一动点（点 E与点 A，B不重合），点 F在 BC延长线上，AE = CF，
以 BE，BF为边作矩形 BEGF．设 AE的长为 x，矩形 BEGF的面积为 y，则 y与 x满足的函数关系的图象是
A B C D
1
2024.02 练习 1
二、填空题（共 16分，每题 2分）
9. 已知反比例函数 = 2 ( 是常数，且 ≠ 2)的图象有一支在第三象限，那么 的取值范围是 ．
10.抛物线 y x2 2x 3的顶点坐标是_________________
11.一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽 AB为 8cm，水的深度 CD为
2cm，则此管件的直径为_______.
12.如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O， AB 12，则 AB的长为 ．
第 11题图 第 12题图 第 13题图 第 15题图
13.如图， 、 是⊙ 的切线，点 、 为切点， 是⊙ 的直径，∠ = 20°，则∠ 的大小是______度．
14. 咖啡树种子的发芽能力会随着保存时间的增长而减弱．咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为 95％；从三个
月到五个月，发芽率会逐渐降到 75％；从五个月到九个月，发芽率会逐渐降到 25％．农科院记录了某批咖啡树种
子的发芽情况，结果如下表所示：
种子数量 n 10 50 150 300 500 800
发芽数量m 9 41 133 261 431 689
m
发芽率 0.9 0.82 0.887 0.87 0.862 0.861
n
据此推测，下面三个时间段中，这批咖啡树种子的保存时间是 （填“三个月内”、“三至五个月”或“五至
九个月”）．
15．如图， E是正方形 ABCD内一点，满足 AEB 90°，连接CE .若 AB 2，则CE长的最小值为 ．
16.已知函数 y1 kx 2k （1 k是常数，k 0）， y
2
2 ax 2ax 3a（a是常数，a 0），在同一平面直角坐标系中，
若无论 k为何值，函数 y1和 y2图象总有公共点，则 a的取值范围是 .
三、解答题（共 68分，第 17-19 题，每题 5 分，20题 6 分，第 21-23 题，每题 5 分，第 24-26 题，每题 6 分，第
27-28题，每题 7分）解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 3 0 2sin 45o 2 8 ．
2
2024.02 练习 1
x 1＞7-2x，
18．解不等式组： x 4 2x ≤ . 3
19. 已知 m是方程 x2 3x 1 0的一个根，求 (m 3)2 (m 2)(m 2)的值.
20. 如图，在 ABCD中，对角线 AC，BD交于点 O，OA＝OB，过点 B作 BE⊥AC于点 E．
(1)求证： ABCD是矩形；
(2)若 AD 2 5， cos ABE 2 5 ，求 AC的长．
5
3
2024.02 练习 1
21. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求作： 射线 BP，使得 ABP 1 BAC .
2
作法：①以点 A为圆心，AB长为半径画圆；
②延长 BA交⊙A于点 D，以点 D为圆心，BC长为半径
画弧，与⊙A交于点 P（点 C， P在线段 BD的同侧）；
③作射线 BP.
射线 BP即为所求.
21
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：连接 AP，DP.
∵AB=AC，
∴点 C在⊙A上.
∵D P D P，
∴∠ABP 1 ∠DAP（ ）（填推理依据）.
2
∵ DP=BC,
∴∠DAP ________ .
∴∠ABP 1 ∠BAC .
2
22. 魔术师刘谦在今年央视春晚中表演的纸牌魔术让我们感受到魔术的神奇，他创造的“奇迹”给我们带来了很多快
乐。很多对此感兴趣的学者很快就解开了扑克牌魔术背后的数学秘密。
下面请你尝试用数学知识解答下面的问题：把一副普通扑克牌中的 4张：黑桃 2，红心 3，梅花 4，黑桃 5，洗
匀后正面朝下放在桌面上。
（1）从中随机抽取一张牌是黑桃的概率是多少？
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张． 请用树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现
的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于 7的概率．
4
2024.02 练习 1
23. k在平面直角坐标系 xOy中，直线 y x与双曲线 y 相交于点 P(2，m)和点Q .
x
（1）求m的值及点Q的坐标；
k
（2）已知点 N (0，n) , 过点 N作平行于 x轴的直线交直线 y x与双曲线 y 分别为点 A(x1，y1)和 B(x2 ，y2 ) .当x
x1 x2 时，根据函数图象，直接写出 n的取值范围是 ．
24.某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度 AB，其中一个数学
兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点 C处用高 1.5m的测角仪 CD测得塔顶 A的仰角为 37°，然后沿 CB方向前
行 7m到达点 F处，在 F处测得塔顶 A的仰角为 45°．请根据他们的测量数据求塔高 AB的长度大约是多少．（参考
数据： sin 37
3 4 3 4
， cos37 ， tan37 ， sin53 ，cos53
3
， tan53
4
．）
5 5 4 5 5 3
23 题图 23 题图
25．如图， AB为⊙O的直径，点C在⊙O 上，∠ACB 的平分线 CD交⊙O于点 D. 过点 D作 DE∥AB，交 CB
的延长线于点 E．
(1)求证：直线 DE是⊙O的切线；
(2)若 BC=OA= 3，求 BE的长．
5
2024.02 练习 1
26. 在平面直角坐标系 xOy中，点 x1, y1 , x2 , y2 在抛物线 y x2 2mx 3上，m x1 m 1， 2 x2 3 .
（1）若点 (2, 3)在抛物线上，求m的值.
（2）若对于任意的 x1， x2，总有 y2 y1，求m的取值范围．
6
2024.02 练习 1
27.如图，在△ABC中， BAC 90。，AB AC ， AD是 BC边上的高，点 E是边 AB上的一动点(不与点 A,B
重合)，连接 CE交 AD于点 F ，将线段CF 绕点 顺时针旋转90 得到线段 ，连接 ．
(1)如图 1，当 是∠ 的角平分线时，
①求证： = ；
②直接写出∠ = _______°.
(2) 依题意补全图 2，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
7
2024.02 练习 1
28．（7分）在平面直角坐标系 xOy中， O的半径为 1， A为任意一点，B为 O上任意一点．给出如下定义：记
A，B p q两点间的距离的最小值为 p（规定：点 A在 O上时，p 0)，最大值为 q，那么把 的值称为点 A与 O
2
的“关联距离”，记作 d (A, O)．
（1）如图，点 D， E， F 的横、纵坐标都是整数．
① d (D, O) ；
②若点M 在线段 EF 上，求 d (M , O)的取值范围；
（2）若点 N在直线 y 3x 2 3上，直接写出 d (N , O) 的取值范围；
（3）正方形的边长为m，若点 P在该正方形的边上运动时，满足 d (P, O)的最小值为 1，最大值为 10 ，直接写
出m的最小值和最大值．
8
