湘潭县一中2024届高三月考试卷
数学科目
班级________ 姓名________ 考号________
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抽样统计某位学生8次的数学成绩分别为，则该学生这8次成绩的分位数为（ ）
A. 85 B. 85.5 C. 87 D. 88.5
2. 设椭圆的离心率为，则“”，是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知等差数列满足，前项和，则（ ）
A 6 B. 10 C. 12 D. 14
4. 已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（ ）
A 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5. 已知、、是单位圆上的三个动点，则的最小值是（ ）
A B. C. D.
6. 若某地区一种疾病流行，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.0688，则该地区疾病的患病率是（ ）
A. 0.02 B. 0.98 C. 0.049 D. 0.05
7. 已知函数，设，则等于（ ）
A. B. C. D.
8. 若是函数的一个零点，则（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列满足，则下列结论成立的有（ ）
A.
B. 数列是等比数列
C. 数列为递增数列
D. 数列的前项和的最小值为
10. 某企业协会规定：企业员工一周7天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过4小时，且其余5天的工作时间均不超过8小时（每天的工作时间以整数小时计），则认为该企业“达标”．请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有（ ）
A. 甲企业：均值为5，中位数为8
B. 乙企业：众数为6，中位数为6
C. 丙企业：众数和均值均5，下四分位数为4，上四分位数为8
D. 丁企业：均值为5，方差为6
11. 已知函数满足：①对任意，；②若，则.则（ ）
A. 的值为2 B.
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若与所成的角为锐角，则实数的取值范围为________.
13. 在正四面体中，为边的中点，过点作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面积，最小的截面面积为，则__________；若记该正四面体内切球和外接球的体积分别为和，则__________．
14. “完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数：，为n的所有正因数之和，如，则_______；_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直求的值；
（2）若函数有两个极值点，求的取值范围.
16. 盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球．不放回．
（1）若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次．记摸出的红球个数为．求随机变量的分布列和数学期望．
（2）若盒中有4个红球和4个白球，盒中在2个红球和2个白球．现甲、乙、丙三人依次从号盒中摸出一个球并放入号盒，然后丁从号盒中任取一球．已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率．
17. 如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台，其中，．
（1）求证：；
（2）若，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值．
18. 已知椭圆的两焦点，且椭圆过.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左 右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与均不重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，设，的面积分别为，求的取值范围
19. 已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为（约定空集的元素个数为0）.
（1）若，求及；
（2）若，求证：互不相同；
（3）已知，若对任意的正整数都有或，求的值.湘潭县一中2024届高三月考试卷
数学科目
班级________ 姓名________ 考号________
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抽样统计某位学生8次的数学成绩分别为，则该学生这8次成绩的分位数为（ ）
A. 85 B. 85.5 C. 87 D. 88.5
【答案】D
【解析】
【分析】将题设中的数据按由小到大排列后可求分位数.
【详解】8次的数学成绩由小到大排列为：，
因，故分位数为，
故选：D.
2. 设椭圆的离心率为，则“”，是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分、必要性定义，结合椭圆方程，讨论判断充分性，由离心率定义判断必要性，即可得答案.
【详解】因为椭圆的离心率为，
当时，，则；
当时，，则；
所以推不出，即充分性不成立；
当时，则，即必要性不成立；
综上，“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3. 已知等差数列满足，前项和为，则（ ）
A. 6 B. 10 C. 12 D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】先利用等差数列的性质求出，再利用等差数列的性质及求和公式即可求解.
【详解】因为等差数列 满足，
所以由等差数列的性质可得，即.
所以.
故选：C.
4. 已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
【详解】因为，
对于A，若，则与有可能异面，故A错误；
对于B，若，则，又，则，故B正确；
对于C，若，则有可能，故C错误；
对于D，若，则与有可能相交，故D错误．
故选：B．
5. 已知、、是单位圆上的三个动点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设出，，表达出，结合，求出最小值.
【详解】以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，，
则，
故，
当时，取得最小值，最小值为，
由于，故当时，最小，故最小值为，
此时，满足要求，
故选：D.
6. 若某地区一种疾病流行，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.0688，则该地区疾病的患病率是（ ）
A. 0.02 B. 0.98 C. 0.049 D. 0.05
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件概率以及对立事件的概率，结合题意写出对应概率，利用全概率公式，可得答案.
【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件，
则
故所求概率，解得.
故选：A.
7. 已知函数，设，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式得到最大值，即得到关于的关系式，代入利用诱导公式即可.
【详解】，
，
，
，
，
，
.
故选：B.
8. 若是函数的一个零点，则（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由利用正余弦的二倍角公式计算可得，再由得，根据求出，代入即可.
【详解】因为，
所以
，
可得，，
即，解得，
由，
可得，即，
，
因为，所以，解得，
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的解题的关键点是根据利用正余弦的二倍角公式求出的值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列满足，则下列结论成立的有（ ）
A.
B. 数列是等比数列
C. 数列为递增数列
D. 数列的前项和的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】变形给定的等式，利用等比数列的定义判断并求出的通项，再逐项判断即得.
【详解】在数列中，由，得，而，
因此数列是首项为1，公比为2的等比数列，则，即，B正确；
显然，A正确；
显然，，当时，，因此数列不是单调数列，C错误；
当时，，即数列从第2项起单调递增，而，
因此数列的前6项均为负数，从第7项起均为正数，所以数列的前项和的最小值为，D正确.
故选：ABD
10. 某企业协会规定：企业员工一周7天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过4小时，且其余5天的工作时间均不超过8小时（每天的工作时间以整数小时计），则认为该企业“达标”．请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有（ ）
A. 甲企业：均值为5，中位数为8
B. 乙企业：众数为6，中位数为6
C. 丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8
D. 丁企业：均值为5，方差为6
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据每个企业所给数字特征，找出满足数字特征但不达标的一个特例即可判断ABD，对C中满足条件的数据分析，确定工作时长数据达标.
【详解】甲企业每周7天的工作时间可以为：9,8,8,8,2,0,0，满足均值为5，中位数为8，故不达标，故A正确；
乙企业：众数为6，中位数为6，满足条件的7天工作时间可以为：6,6,6,6,6,6,6,故不达标，故B正确；
丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8，
设7天的工作时间为：4,5,5,8,a,b,c,,与众数矛盾，，为使众数为5，成立，故丙企业达标，故C错误；
丁企业：均值为5，方差为6，7天的工作时间可以为，故D正确.
故选：ABD
11. 已知函数满足：①对任意，；②若，则.则（ ）
A. 的值为2 B.
C. 若，则 D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，令，结合“若，则”即可判断；对于B，由基本不等式相关推理结合即可判断；对于C，令得，，由此即可判断；对于D，令，即可判断.
【详解】对于A，令，得，解得或，
若，令，得，即，
但这与②若，则矛盾，
所以只能，故A正确；
对于B，令，结合得，，
解得或，
又，所以，
所以只能，故B正确；
对于C，若，令得，，
所以，所以，
所以，故C正确；
对于D，取，
则
且单调递增，
满足，但，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点睛：判断D选项的关键是构造，由此即可证伪.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若与所成的角为锐角，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据数量积为正可求参数的取值范围，注意与不共线同向.
【详解】因为与所成角为锐角，故且不共线同向.
故即.
若共线，则即，
故实数的取值范围为.
故答案为：.
13. 在正四面体中，为边的中点，过点作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面积，最小的截面面积为，则__________；若记该正四面体内切球和外接球的体积分别为和，则__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】将正四面体放置于正方体中，则正方体的外接球就是正四面体的外接球．由外接球的直径等于正方体的对角线长，求出外接球的半径，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值T、最大值S，可得；用等体积法求出正四面体内切球的半径，进而得出其体积，再求出外接球的体积，即可得出．
【详解】将正四面体放置于正方体中，如图所示，可得正方体的外接球就是正四面体的外接球，外接球的球心O为正方体的体对角线DF的中点，
设正四面体的棱长为，则正方体的棱长为，
因为外接球的直径等于正方体的对角线长，
所以外接球的半径为，
E为BC边的中点，过E作该正四面体外接球的截面，
当截面过球心O时，截面面积最大，最大值，
当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积取最小值，
此时球心O到截面距离为，可得截面圆的半径为，
从而截面面积的最小值为．所以；
设正四面体内切球的球心为G，半径为，
取底面BCD的中心H，连接AH，则AH为正四面体的高，G在AH上，H在DE上，
正四面体的每个面的面积为，
，正四面体的高，
故正四面体的体积为，
连接G与正四面体的4个顶点可以得到4个的正三棱锥，每个正三棱锥体积为，则，
所以，求得，
故正四面体内切球的体积，
正四面体外接球的半径为，外接球的体积为，
．
故答案为：；27．
14. “完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数：，为n的所有正因数之和，如，则_______；_______．
【答案】 ①. 42 ②.
【解析】
【分析】根据为n的所有正因数之和，直接计算，分析的正因数的特点，利用等比数列求和求解.
【详解】根据新定义可得，，
因为正因数，
所以
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直求的值；
（2）若函数有两个极值点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求导，再利用导数的几何意义得到关于的方程，解之即可得解；
（2）将问题转化为有两个不同的实根，再构造函数，利用导数研究其图象，从而得解.
【小问1详解】
因为，
所以，则，
因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，即，所以.
【小问2详解】
因为函数有两个极值点，
所以有两个左右异号的不等零点，
即有两个不同的实根，
故只需有两个不同的实根即可，
令，则.
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又，当时，恒成立，
所以函数的大致图象如下，
从而只需，即.
所以的取值范围为.
16. 盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球．不放回．
（1）若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次．记摸出红球个数为．求随机变量的分布列和数学期望．
（2）若盒中有4个红球和4个白球，盒中在2个红球和2个白球．现甲、乙、丙三人依次从号盒中摸出一个球并放入号盒，然后丁从号盒中任取一球．已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率．
【答案】（1）分布列见解析；期望为
（2）
【解析】
【分析】（1）列出的所有可能的值，求出对应的概率，可得分布列，并求期望.
（2）用条件概率公式求解.
【小问1详解】
可取0，1，2.且：，，.
所以的分布列为：
0 1 2
则：.
【小问2详解】
设事件“丁取到红球”，事件“甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”.
当甲、乙、丙三人取得1个白球，则丁取到红球的概率为；
当甲、乙、丙三人取得2个白球，则丁取到红球的概率为；
当甲、乙、丙三人取得3个白球，则丁取到红球的概率为；
当甲、乙、丙三人取得3个红球，则丁取到红球的概率为；
则所求概率为：.
17. 如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台，其中，．
（1）求证：；
（2）若，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图，取AB的中点G，连接DG，BD，DE，设，由勾股定理的逆定理可得，同理可得，结合线面垂直的判定定理和性质即可证明；
（2）由（1）和勾股定理的逆定理可得，又，根据线面、面面垂直的判定定理可得面面ABE，如图，则为题意所求的线面角，解三角形即可.
【小问1详解】
连接BD，DE，设，则，
取AB的中点G，连接DG，则四边形BCDG为正方形，故，
得，∴，∴
同理可得，，又面BDE，
∴面BDE，又面BDE，；
【小问2详解】
由（1）知，
又∵，∴，
由，得．
又∵，面ABCD，∴面ABCD，
过点D作交AB于点M，连接EM．
因为面ABCD，所以，又因为，且面DEM，
则面DEM，又面ABE，∴面面ABE．
过点D作交EM于点N，连接AN．
∴就是直线AD与面ABE所成的线面角．
∵面面ADE，∴就是直线AD与面CDF所成的线面角．
∵，又，，∴，
又，∴，
即直线AD与平面CDF所成线面角的正弦值为.
18. 已知椭圆的两焦点，且椭圆过.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左 右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与均不重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，设，的面积分别为，求的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得：，求解即可；
（2）先确定直线的斜率必不为0，设其方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理，结合题意可得直线恒过轴上一定点.从而可求得，进而可求解.
【小问1详解】
由题意可得：，解得，所以椭圆的方程为：；
【小问2详解】
依题意，，设，直线斜率为.
若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意.
所以直线的斜率必不为0，设其方程为，
与椭圆的方程联立得，
所以，且
因为是椭圆上一点，满足，
所以，
则，即.
因为
所以，此时，
故直线恒过轴上一定点.
因此，
所以
，
令，
当即时，取得最大值.
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为（约定空集的元素个数为0）.
（1）若，求及；
（2）若，求证：互不相同；
（3）已知，若对任意的正整数都有或，求的值.
【答案】（1），.
（2）证明见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）观察数列，结合题意得到及；
（2）先得到，故，再由得到，从而证明出结论；
（3）由题意得或，令，得到或，当时得到，当时，考虑或两种情况，求出答案.
【小问1详解】
因为，所以，则；
【小问2详解】
依题意，
则有，
因此，
又因为，
所以
所以互不相同.
【小问3详解】
依题意
由或，知或.
令，可得或，对于成立，
故或.
①当时，
，
所以.
②当时，
或.
当时，由或，有，
同理，
所以.
当时，此时有，
令，可得或，即或.
令，可得或 令，可得.
所以.
若，则令，可得，与矛盾.
所以有.
不妨设，
令，可得，因此.
令，则或.
故.
所以.
综上，时，.
时，.
时，.
【点睛】数列新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.
