黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈工大附中高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x| 212}，则A∩B=( )
A. ( 2, 1) B. ( 1,4) C. ( 2,1) D. (1,4)
2.将圆x2+y2 2x 4y+1=0平分的直线方程是
A. x+y 1=0 B. x+y+3=0 C. x y+1=0 D. x y+3=0
3.命题p：方程x25 m+y2m 1=1表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立的充分必要条件是( )
A. 44.两条平行线l1：x+2y 2=0，l2：ax+6y 9=0间的距离等于( )
A. 55 B. 3 55 C. 5 D. 7 55
5.已知平面向量a=(0,1),b=( 1,1)，则向量a在向量b上的投影向量是( )
A. ( 22, 22) B. ( 22, 22) C. (12, 12) D. ( 12,12)
6.已知a=log0.60.5，b=0.90.4，c=log0.31.2，则( )
A. c>a>b B. a>b>c C. b>a>c D. a>c>b
7.椭圆y24+x2=1上的动点P到定点A( 3,0)距离的最大值为( )
A. 3 1 B. 3+1 C. 2 2 D. 3
8.椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点F1，F2为椭圆C的左、右焦点，在椭圆C上存在点P，使PF1 PF2=2c2，则椭圆的离心率范围是( )
A. [12,+∞) B. [ 33, 22] C. [12, 33] D. (1, 33]
二、多选题：本题共4小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以直角边长为2的等腰直角三角形的一边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的体积可以为( )
A. 4 2π B. 83π C. 43π D. 4 23π
10.已知函数f(x)=sin(2x+π3)，下列结论中正确的是( )
A. 函数f(x)的周期为π
B. 直线x= π6是函数f(x)图象的一条对称轴
C. 函数f(x)的单调递增区间为[ 8π1+kπ,π2+kπ](k∈Z)
D. 函数f(x+π12)是偶函数
11.已知双曲线C：x2a2 y2=1(a>0)的左，右焦点分别是F1，F2，左，右顶点分别是A，B，点P在C上，l是C的一条渐近线，O是坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 焦点F2到l的距离为1
B. 若|OP|=|OF1|，则△F1PF2的面积为1
C. 若l的倾斜角为30°，则其实轴长为 3
D. 若直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2=1a2
12.已知抛物线C：y= 18x2的焦点为F，点P(x0,y0)为抛物线C上一动点，点A(1, 3)，则( )
A. 抛物线C的准线方程为y=2
B. |PA|+|PF|的最小值为6
C. 当x0=4时，则抛物线C在点P处的切线方程为x+y 4=0
D. 过AF的直线交抛物线C于M，N两点，则弦MN的长度为16
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.复数z=1+2ii的虚部为______(其中i为虚数单位)．
14.已知y=f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=ex 1，则f( 2)= ______．
15.设椭圆C：y216+x212=1的焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆相交于A，B两点，则△ABF1的周长为______．
16.已知双曲线C：x2a2 y2b2=1,(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C与直线y=x有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得∠PF2F1=3∠PF1F2，则双曲线离心率取值范围范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.且满足b=acosC+ 33csinA．
(1)求角A的大小；
(2)若边长a=2，求△ABC面积的最大值．
18.(本小题12分)
舟山某校组织全体学生参加了海洋文化知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，将数据按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，求x；
(2)根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩；
(3)用分层抽样的方法在[60,70)，[70,80)这两组学生内抽取5人，再从这5人中选2人进行问卷调查，求所选的两人恰好都在[70,80)的概率．
19.(本小题12分)
已知圆C：x2+(y 1)2=4，直线l过点M( 2,4)．
(1)若直线l的斜率为 2，求直线l被圆C所截得的弦长；
(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程．
20.(本小题12分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)上一点M到其焦点的距离为3，到y轴的距离为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若不过原点O的直线l：y=x+m与抛物线C交于A，B两点，且OA⊥OB，求实数m的值．
21.(本小题12分)
椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(2,0)，(0, 3)．
(1)求椭圆的离心率；
(2)过点(12,0)且斜率不为0的直线l与椭圆交于M，N两点，椭圆的左顶点为A，求直线AM与直线AN的斜率之积．
22.(本小题12分)
已知点A( 1,0)，B(1,0)，动点P(x,y)满足直线PA与PB的斜率之积为3，记动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F(2,0)的直线与曲线C交于M，N两点，直线AM与BN相交于Q.求证：点Q在定直线上．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵集合A={x| 212}={x|x> 1}，
∴A∩B={x| 1故选：B．
由题意，解指数不等式求出B，再根据集合的交集的定义，求出A∩B．
本题主要考查指数不等式的解法，集合的交集，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由所求直线要将圆平分，得到所求直线过圆心，故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程中检验，即可得到满足题意的直线方程．
此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，其中根据题意得出将圆x2+y2 2x 4y+1=0平分的直线即为过圆心的直线是解本题的关键．
【解答】
解：将圆的方程化为标准方程得：(x 1)2+(y 2)2=4，
可得出圆心坐标为(1,2)，
将x=1，y=2代入A选项得：x+y 1=1+2 1=2≠0，故圆心不在此直线上；
将x=1，y=2代入B选项得：x+y+3=1+2+3=6≠0，故圆心不在此直线上；
将x=1，y=2代入C选项得：x y+1=1 2+1=0，故圆心在此直线上；
将x=1，y=2代入D选项得：x y+3=1 2+3=2≠0，故圆心不在此直线上，
则直线x y+1=0将圆平分．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：若命题p为真命题，则方程x25 m+y2m 1=1表示焦点在y轴上的椭圆，
所以，m 1>5 m5 m>0，解得3因此，使命题p成立的充分必要条件是3故选：B．
求出当命题p为真命题时实数m的取值范围，再结合充要条件的定义可得出结论．
本题主要考查椭圆的性质和计算能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由题意知l1：x+2y 2=0，l2：ax+6y 9=0，
因为两直线平行，所以a1=62≠ 9 2，解得a=3，
即直线l2的方程为：x+2y 3=0，
所以两条直线间的距离为| 2+3| 12+22= 55．
故选：A．
利用两平行线间的距离公式求解即可．
本题考查两条直线平行的充要条件的应用，平行线间的距离公式的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为a=(0,1),b=( 1,1)，
所以a b=1，|b|= ( 1)2+12= 2，
所以向量a在向量b上的投影向量是a b|b| b|b|=12b=( 12,12)．
故选：D．
由投影向量的定义计算即可求得．
本题考查平面向量的投影向量，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：因为a=log0.60.5>1，b=0.90.4∈(0,1)，c=log0.31.2<0，
故c故选：B．
由已知结合指数及对数函数的单调性即可比较大小．
本题主要考查了指数函数及对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由椭圆的定义可设P(cosθ,2sinθ)，θ∈[0,2π)，
则|PA|= (cosθ 3)2+(2sinθ)2= 4+3sin2θ 2 3cosθ
= 7 (3cos2θ+2 3cosθ)= 8 ( 3cosθ+1)2≤2 2，
当cosθ= 33时取等号．
故选：C．
设点P的参数坐标，由两点间的距离公式可得|PA|的最大值．
本题考查椭圆上的点到椭圆外的点的距离的求法，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：设P(x,y)，则PF1 PF2=x2+y2 c2，∴x2+y2=3c2，∴点P在以原点为圆心， 3c为半径的圆上，∴b≤ 3c≤a,12≤e≤ 33．
故选：C．
通过向量的数量积求出P的轨迹方程，然后列出不等式转化求解椭圆的离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，轨迹方程的求法，是中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：①当以直角边所在直线为旋转轴时，得到一个底面圆半径为2，高为2的圆锥，
圆锥的体积为V=13×4π×2=83π；
②当以斜边所在直线为旋转轴时，得到两个同样的圆锥，圆锥底面是以 2为半径的圆，高为 2，
旋转体的体积为V=2×(13×2π× 2)=4 23π．
故选：BD．
分两种情况，以直角边所在直线为旋转轴时和以斜边所在直线为旋转轴时，求出答案．
本题考查了旋转体的体积计算问题，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于函数f(x)=sin(2x+π3)，它的周期为T=2π2=π，故A正确；
将x= π6代入解析式可得f( π6)=sin[2×( π6)+π3]=0，
所以x= π6不是函数f(x)图象的对称轴，故B错误；
令 π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ(k∈Z)，解得 5π12+kπ≤x≤π12+kπ(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为[ 5π12+kπ,π11+kπ](k∈Z)，故C错误；
f(x+π12)=sin[2(x+π12)+π3]=sin(2x+π2)=cos2x，
所以函数f(x+π12)=cos2x是偶函数，故 D正确．
故选：AD．
由题意，利用诱导公式，正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查诱导公式，正弦函数的图象和性质，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：因为F2焦点(c,0)到渐近线x+ay=0的距离是|c| 12+a2=1，故A正确；
|OP|=|OF1|时，则PF1⊥PF2，故∠F1PF2=90°，
由勾股定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，得4c2=(||PF1| |PF2||)2 2|PF1||PF2|，
所以4c2=4a2+2|PF1||PF2|，所以|PF1||PF2|=2b2，
由三角形的面积公式可得S△PF1F2=b2=1，故B正确；
若l的倾斜角为30°，则1a=tan30°= 33，则a= 3，所以实轴长为2 3，故C不正确，
由题意可得A( a,0)，B(a,0)，设P(x,y)，
k1=yx+a，k2=yx a，则k1k2=yx+a yx a=y2x2 a2，
则由P在椭圆上可得x2a2 y2=1，所以y2x2 a2=1a2，
所以k1k2=1a2，故D正确．
故选：ABD．
根据点到直线的距离公式即可判断A；根据勾股定理结合双曲线的定义，即可利用面积公式求解判断B；由已知可得1a=tan30°= 33，计算可判断C；由题意可得A( a,0)，B(a,0)，设P(x,y)，计算可判断D．
本题考查了双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：选项A，将抛物线C：y= 18x2化成标准方程为x2= 8y，
所以焦点F(0, 2)，准线方程为y=2，即选项A正确；
选项B，过点P作PQ垂直准线于点Q，连接AQ，如图所示，
由抛物线的定义知，|PF|=|PQ|，
所以|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|≥|AQ|=3+2=5，当且仅当A，P，Q三点共线时，等号成立，
所以|PA|+|PF|的最小值为5，即选项B不正确；
选项C，当x0=4时，y0= 2，所以点P(4, 2)，
由y= 18x2，知y′= 14x，
所以点P处的切线斜率为 14×4= 1，切线方程为y+2= (x 4)，即x+y 2=0，故选项C错误；
选项D，由A(1, 3)，F(0, 2)，知直线AF的方程为y+2= 3+21 0(x 0)，即y= x 2，
联立y= x 2x2= 8y，消去y得x2 8x 16=0，
所以xM+xN=8，yM+yN= (xM+xN) 4= 8 4= 12，
所以|MN|= (yM+yN)+p=12+4=16，即选项D正确．
故选：AD．
选项A，由抛物线的几何性质，即可判断；
选项B，过点P作PQ垂直准线于点Q，连接AQ，结合抛物线的定义求解即可；
选项C，先求出点P坐标，再求导，可得切线的斜率，然后由直线的点斜式方程写出切线方程即可；
选项D，写出直线AF的方程，将其与抛物线方程联立，结合韦达定理与焦点弦长公式，求解即可．
本题主要考查抛物线的定义与几何性质，熟练掌握切线方程的求法，焦点弦长的计算方法等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】 1
【解析】解：∵z=1+2ii=(1+2i)( i) i2=2 i，
∴z=1+2ii的虚部为 1．
故答案为： 1．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
14.【答案】1 e2
【解析】解：由y=f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=ex 1，
则f( 2)= f(2)= (e2 1)=1 e2．
故答案为：1 e2．
利用奇函数的性质代入求值即可．
本题主要考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
15.【答案】16
【解析】解：椭圆C：y216+x212=1的长半轴长a=4，
由椭圆的定义可知：△ABF1的周长为|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF2|+|BF1|=4a=16．
故答案为：16．
因为|AB|=|AF2|+|BF2|，利用椭圆定义可求出△ABF1的周长．
本题考查椭圆的定义的应用，属于基础题．
16.【答案】( 2,2)
【解析】解：双曲线C与直线y=x有交点，则ba>1，b2a2=c2 a2a2>1，解得e=ca> 2，
双曲线上存在不是顶点的P，使得∠PF2F1=3∠PF1F2，则P点在右支上，
设PF1与y轴交于点Q，由对称性|QF1|=|QF2|，所以∠QF1F2=∠QF2F1，
所以∠PF2Q=∠PF2F1 ∠QF2F1=2∠PF1F2=∠PQF2，|PQ|=|PF2|，
所以|PF1| |PF2|=|PF1| |PQ|=|QF1|=2a，由|QF1|>|OF1|得2a>c，所以e=ca<2，
又△PF1F2中，∠PF1F2+∠PF2F1=4∠PF1F2<180°，∠PF1F2<45°，
所以c2a=cos∠PF1F2> 22，即e=ca> 2，
综上， 2故答案为：( 2,2)．
由直线y=x与双曲线有交点，得在一三象限的渐近线的斜率大于1，得出e的一个范围．双曲线上存在不是顶点的P，使得∠PF2F1=3∠PF1F2，PF1与y轴交于点Q，由平面几何的知识及双曲线定义得|QF1|=2a，在直角三角形QF1O中由边的关系得不等式，得出e的范围，同时由∠PF1F2的范围又是一个不等关系，从而得出离心率范围．
本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率取值范围的求解等知识，属于中等题．
17.【答案】解：(1)由于b=acosC+ 33csinA．
利用正弦定理：sinB=sinAcosC+ 33sinCsinA=sin(A+C)，
整理得：cosAsinC= 33sinCsinA，
由于：sinC≠0，
解得：tanA= 3(0则：A=π3．
(2)根据余弦定理得：a2=b2+c2 2bccosA，
则：4=b2+c2 bc≥2bc bc=bc，
解得：bc≤4，
则：S△ABC=12bcsinA≤ 3
【解析】(1)直接利用正弦定理的三角函数关系式的恒等变换求出A的值．
(2)利用(1)的结论和余弦定理及基本不等式求出三角形面积的最大值．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理得余弦定理得应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题．
18.【答案】解：(1)由频率分布直方图得：
(0.005+0.010+0.015+x+0.040)×10=1，
解得x=0.03．
(2)根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩为：
x =55×0.005×10+65×0.010×10+75×0.015×10+85×0.030×10+95×0.040×10=84．
(3)用分层抽样的方法在[60,70)，[70,80)这两组学生内抽取5人，
则[60,70)内抽取5×0.0100.010+0.015=2人，[70,80)内抽取5×0.0150.010+0.015=3人，
再从这5人中选2人进行问卷调查，
基本事件总数n=C52=10，
所选的两人恰好都在[70,80)包含的基本事件个数m=C32=3，
∴所选的两人恰好都在[70,80)的概率为P=mn=310．
【解析】(1)由频率分布直方图列方程能求出x．
(2)根据频率分布直方图，能估计样本的平均成绩．
(3)用分层抽样的方法在[60,70)，[70,80)这两组学生内抽取5人，则[60,70)内抽取2人，[70,80)内抽取3人，再从这5人中选2人进行问卷调查，基本事件总数n=C52=10，所选的两人恰好都在[70,80)包含的基本事件个数m=C32=3，由此能求出所选的两人恰好都在[70,80)的概率．
本题考查频率分布直方图、平均数、概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：(1)由题设，直线l：y 4= 2(x+2)，可得l：2x+y=0，
圆C：x2+(y 1)2=4的圆心C(0,1)，半径r=2，
则C(0,1)到直线l的距离d=1 5= 55，
所以直线l被圆C所截得的弦长为2 r2 d2=2 955；
(2)由( 2)2+32>4，即M在圆外，
当直线l斜率存在时，设l：y 4=k(x+2)，即kx y+2k+4=0，
要使直线l与圆C相切，则|2k+3| 1+k2=2，
可得k= 512，
所以直线l的方程为5x+12y 38=0，
当直线l斜率不存在时，l：x= 2与圆C相切；
故直线l的方程为：x= 2或5x+12y 38=0．
【解析】(1)由题意得l：2x+y=0，应用点线距离公式、圆弦长的几何求法求弦长；
(2)根据点圆关系，分直线l斜率存在和不存在两种情况，根据相切关系即可得切线方程．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意知，点M到准线的距离为3，
所以3=p2+2，解得p=2．
故C的方程为y2=4x；
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由y=x+my2=4x得y2 4y+4m=0，
所以Δ=16 16m>0，m<1，
由题意得，y1+y2=4，y1y2=4m，
因为OA⊥OB，所以OA OB=0，
即x1x2+y1y2=y124 y224+y1y2=m2+4m=0，解得m= 4或0．
又直线l不过原点O，所以m≠0．
又m= 4满足要求，所以m= 4．
【解析】(1)点M到准线的距离为3，从而得到方程，求出p=2，得到抛物线方程；
(2)联立直线与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据根的判别式得到不等式，求出m<1，根据向量垂直得到方程，求出m= 4．
本题主要考查了抛物线的定义在抛物线方程求解中的应用，还考查了直线与抛物线位置关系的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(2,0)，(0, 3)，
可得a=2，b= 3，c= 4 3=1，
离心率e=ca=12；
(2)由(1)可得椭圆方程为x24+y23=1，
设过点(12,0)且斜率不为0的直线l的方程为y=k(x 12)，k≠0，
联立直线l和椭圆的方程，可得(3+4k2)x2 4k2x+k2 12=0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则x1+x2=4k23+4k2，x1x2=k2 123+4k2，
y1y2=k2(x1 12)(x2 12)=k2[x1x2+14 12(x1+x2)]=k2[k2 123+4k2+14 12×4k23+4k2]= 45k24(3+4k2)，
(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=k2 123+4k2+8k23+4k2+4=25k23+4k2，
所以直线AM与直线AN的斜率之积为y1x1+2 y2x2+2=y1y2(x1+2)(x2+2)= 920．
【解析】(1)求得椭圆的a，b，c，由离心率公式可得所求值；
(2)联立椭圆方程和直线l的方程y=k(x 12)，k≠0，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，可得所求值．
本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)已知点A( 1,0)，B(1,0)，动点P(x,y)满足直线PA与PB的斜率之积为3，
所以yx+1 yx 1=3，
整理得x2 y23=1(x≠±1)，
则曲线C的方程为x2 y23=1(x≠±1)；
(2)证明：易知过点F(2,0)的直线的斜率存在，
不妨设该直线方程为x=my+2，
联立x2 y23=1x=my+2，消去x并整理得(3m2 1)y2+12my+9=0，
不妨设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由韦达定理得y1+y2= 12m3m2 1，y1y2=93m2 1，
易知kAM=y1x1+1，kBN=y2x2 1，
所以直线AM的方程为y=y1x1+1(x+1)，
直线BN的方程为y=y2x2 1(x 1)，
因为直线AM与BN相交于Q，
所以y1x1+1(x+1)=y2x2 1(x 1)，
又x1=my1+2，x2=my2+2，
此时y1my1+3(x+1)=y2my2+1(x 1)，
整理得x+1x 1=my1y2+3y2my1y2+y1，
因为y1+y2= 12m3m2 1，y1y2=93m2 1，
所以my1y2= 34(y1+y2)，
此时x+1x 1= 34(y1+y2)+3y2 34(y1+y2)+y1= 3，
解得x=12，
故点Q在定直线x=12上．
【解析】(1)由题意，根据动点P(x,y)满足直线PA与PB的斜率之积为3，结合斜率公式进行求解即可．
(2)将过点F的直线与曲线C联立，结合韦达定理求出相关信息，列出直线AM与BN的方程，根据AM与BN相交于Q，列出等式求解即可．
本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．