(共15张PPT)
21.2 解一元二次方程（第1课时）
九年级 上册
学习目标： 1．会用直接开平方法解一元二次方程，理解配方的 基本过程，会用配方法解一元二次方程； 2．在探究如何对比完全平方公式进行配方的过程中， 进一步加深对化归的数学思想的理解．
学习重点： 理解配方法及用配方法解一元二次方程．
课件说明
问题1 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以 上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全 身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕 像的高为 2 m，那么它的下部应设计为多高？
解：设雕像的下部高为 x m，
据题意，列方程得
整理得 x 2 + 2x - 4 = 0．
A
C
B
1．创设情境，导入新知
x 2 = 2 2 - x ，
（ ）
你会解哪些方程，如何解的？
二元、三元一次方程组
一元一次方程
一元二次方程
消元
降次
思考：如何解一元二次方程．
1．创设情境，导入新知
问题2 解方程 x 2 = 25，依据是什么？
解得 x 1 = 5，x 2 = - 5．
平方根的意义
请解下列方程： x 2 = 3，2x 2 - 8=0，x 2 = 0，x 2 = - 2… 这些方程有什么共同的特征？
结构特征：方程可化成 x 2 = p 的形式，
平方根的意义
降次
（当 p≥0 时）
问题3 解方程：（x + 3）= 5．
2
2．推导求根公式
问题4 怎样解方程 x 2 + 6x + 4 = 0 ①？
x 2 + 6x + 9 = 5 ②
（x + 3）= 5
2
2．推导求根公式
试一试：与方程 x2 + 6x + 9 = 5 ② 比较，
怎样解方程 x2 + 6x + 4 = 0 ① ？
怎样把方程①化成方程②的形式呢？
怎样保证变形的正确性呢？
即
由此可得…
解：
左边写成平方形式
移项
x2 + 6x = -4 ③
两边加 9
= -4 + 9
x2 + 6x + 9
2．推导求根公式
（x + 3）= 5
2
回顾解方程过程：
两边加 9，左边 配成完全平方式
移项
左边写成完全 平方形式
降次
解一次方程
x2 + 6x + 4 = 0
x2 + 6x = -4
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
，或
，
2．推导求根公式
（x + 3）= 5
2
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
两边加 9
一般地，当二次项系数为 1 时，二次式加上一次项系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式．
x2 + 6x = -4 ③
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
2．推导求根公式
（x + 3）= 5
2
9，即 2 = 3 2 = 9
（ ）
议一议：结合方程①的解答过程，说出解一般二次 项系数为 1 的一元二次方程的基本思路是什么？具体步 骤是什么？
配成完全平方形式
通过 来解一元二次方程的方法， 叫做配方法．
配方
具体步骤：
（1）移项；
（2）在方程两边都加上一次项系数一半的平方．
2．推导求根公式
平方根的意义
降次
（当 p≥0 时）
问题5 通过解方程 x 2 + 6x + 4=0 ，请归纳这类方程是怎样解的？
3．归纳配方法解方程的步骤
结构特征：方程可化成 的形式，
（x + n）= p
2
（2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些
3．归纳配方法解方程的步骤
（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？ 把方程配方为 的形式，运用开平方法， 降次求解．
（x + n）= p
2
解一元二次方程的一般步骤：
两边加 9，左边 配成完全平方式
移项
左边写成完全 平方形式
降次
x2 + 6x + 4 = 0
x2 + 6x = -4
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
，或
3．归纳配方法解方程的步骤
（x + 3）= 5
2
解一次方程
，
4．归纳小结
（2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些
（3）在配方法解一元二次方程的过程中应该注意 哪些问题
（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？ 把方程配方为 的形式，运用开平方法， 降次求解．
（x + n）= p
2
1．教科书第 6 页 练习；第 9 页 练习．
2．思考：利用本节课的知识，试解关于 x 的方程 x 2 + px + q = 0．
5．布置作业(共13张PPT)
九年级 上册
21.2 解一元二次方程（第4课时）
本课是在学生已经学习了一元二次方程求根公式的基 础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再 探究，通过本课的学习，使学生进一步了解一元二次 方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间 的关系．
课件说明
学习目标： 1．了解一元二次方程的根与系数关系，能进行简单 应用． 2．在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感 受由特殊到一般的认识方法．
学习重点： 一元二次方程根与系数的关系的探究及简单应用．
课件说明
问题1 一元二次方程的根与方程中的系数之间有 怎样的关系？
1．复习知识，回顾方法
2．小组合作，类比探究
问题2 方程 （x1、x2 为已知数） 的两根是什么？将方程化为 x 2 + px + q = 0 的形式，你能 看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
（ ）
（ ）
x - x1 x - x2 = 0
归纳：
2．小组合作，类比探究
x1+x2 = -p
x1 x2 = q
问题3
一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 中，二次项系数 a 未必 是 1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
2．小组合作，类比探究
问题3
如何探究这两者之间的关系呢？
利用一元二次方程的一般形式和求根公式．
2．小组合作，类比探究
归纳：
一元二次方程的两个根 x1，x2 和系数 a，b，c 有如 下关系：
2．小组合作，类比探究
例 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： （1） x 2 - 6x - 15 = 0
（2）3x 2 + 7x - 9 = 0
（3）5x - 1 = 4x 2
3．运用性质，巩固练习
x1 + x2 = 6
x1 x2 = -15
x1 + x2 =
x1 x2 = -3
x1 + x2 =
x1 x2 =
练习 不解方程，求下列方程两个根的和与积：
（1） x 2 - 3x = 15
（2） 3x 2 + 2 = 1- 4x
（3） 5x 2 - 1 = 4x 2 + x
（4） 2x 2 - x + 2 = 3x + 1
x1 + x2 = 3
x1 x2 = -15
x1 + x2 =
x1 x2 =
x1 +x2 = 1
x1 x2 = -1
x1 + x2 = 2
x1 x2 =
3．运用性质，巩固练习
（1）一元二次方程根与系数的关系是什么？
（2）我们是如何得到一元二次方程根与系数关系 的？
4．小结知识，梳理方法
教科书习题 21.2 第 7 题．
5．课后反思，布置作业(共11张PPT)
九年级 上册
21.2 解一元二次方程（第3课时）
本课是在学习配方法、公式法的基础上，进一步学习 解一类特殊的一元二次方程的方法——因式分解法．
课件说明
学习目标： 1．会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次 方程； 2．在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降 次的数学思想．
学习重点： 因式分解法解一元二次方程．
课件说明
1．探究因式分解法
问题1 解一元二次方程的基本思路是什么？我们 已经学过哪些解一元二次方程的方法？
配方法，求根公式法．
问题2 根据物理学规律，如果把一个物体从地面 以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的 高度（单位：m）为
10x - 4.9x 2．
你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗（精确到 0.01 s）？
1．探究因式分解法
你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这 个方程？
配方法
公式法
降次
？
1．探究因式分解法
10x - 4.9x 2 = 0
x 1 = 0，x 2 =
问题3 观察方程 10x - 4.9x 2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
两个因式的积等于零
至少有一个因式为零
1．探究因式分解法
10x - 4.9x 2 = 0
x 1 = 0，x 2 =
x = 0
或 10 - 4.9x = 0
x 10 - 4.9x = 0
（ ）
例 解下列方程： （1）
（2）
2．应用举例
归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：
（1）化方程为一般形式；
（2）将方程左边因式分解；
（3）至少有一个因式为零，得到两个一元一次方 程；
（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．
x x - 2 + x - 2 = 0
（ ）
3．练习巩固
教科书第 14 页 练习第 1 题．
问题4 请回答以下问题：
（1）因式分解法的依据是什么？解题步骤是什么？
（2）回顾配方法、公式法和因式分解法，你能说 出它们各自的特点吗？
4．归纳小结
教科书习题 21.2 第 6，10 题．
5．布置作业(共14张PPT)
九年级 上册
21.2 解一元二次方程（第2课时）
通过配方法推导一元二次方程求根公式，公式法解一 元二次方程，一元二次方程根的判别式．
课件说明
学习目标： 1．会用公式法解一元二次方程，理解用根的判别式 判别根的情况； 2．经历探究一元二次方程求根公式的过程，初步了 解从具体到抽象、从特殊到一般的认识规律．
学习难点： 推导求根公式的过程，理解根的判别式的作用．
课件说明
1．复习配方法，引入公式法
问题1 什么叫配方法？配方法的基本步骤是什么？
（1）将方程二次项系数化成 1；
（2）移项；
（3）配方；
（4）化为（x + n）= p（n，p 是常数，p≥0）的形 式；
（5）用直接开平方法求得方程的解．
2
问题2 能否用公式法解决一元二次方程的求根问 题呢？
1．复习配方法，引入公式法
问题3 我们知道，任意一个一元二次方程都可以 转化为一般形式
ax 2 + bx + c = 0 （a≠0）
你能用配方法得出它的解吗？
2．推导求根公式
此时可以用开平方法求解吗？
2．推导求根公式
一般地，一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0（a≠0）的根 由方程的系数 a，b，c 确定．将 a，b，c 代入式子就得 到方程的根：
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．
2．推导求根公式
你能总结一下推导求根公式的基本步骤吗？推导过 程中要注意那些问题？
当 时，方程有两个不相等的实根； 当 时，方程有两个相等的实根； 当 时，方程没有实根.
2．推导求根公式
b 2 - 4ac＞0
b 2 - 4ac = 0
b 2 - 4ac＜0
例1 用公式法解下列方程： （1） x 2 - 4x - 7 = 0； （2） ；
（3）5x 2 - 3x = x + 1；
（4）x 2 + 17 = 8x．
3．归纳公式法解方程的步骤
问题4：你能总结用公式法解一元二次方程的步骤 吗？应用公式时要注意什么问题？
3．归纳公式法解方程的步骤
回到本章引言中的问题，雕像下部高度 x（m）满 足方程
x 2 + 2x - 4 = 0．
用公式法解这个方程：
4．练习巩固公式法
（1）如果雕像的高度设计为 3 m，那雕像的下部 应是多少？4 m 呢？
（2）进而把问题一般化，这个高度比是多少？
问题5：请大家思考并回答以下问题：
（1）本节课学了哪些内容？
（2）我们是用什么方法推导求根公式的？
（3）你认为判别式有哪些作用？
（4）应用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
5．归纳小结
教科书习题 21.2 第 4，5 题．
6．布置作业
