10.1-10.3二元一次 二元一次方程组 解二元一次方程组讲义（无答案）　苏科版数学七年级下册

10.1-10.3二元一次方程 二元一次方程组
解二元一次方程组
教学目标：
理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；
能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；
会对一些特殊的方程组进行特殊的求解.
知识梳理：
知识要点：
要点一、二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
要点二、二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．
要点诠释：
(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：．
(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
要点三、二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如 也是二元一次方程组.
要点四、二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
要点诠释：
（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．
(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．
要点五、代入消元法
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．
要点诠释：
(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．
(2)代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；
③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．
要点五、加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
例题精讲：
题型一：二元一次方程
☆【例1】已知下列方程，其中是二元一次方程的有________．
(1)2x-5＝y； (2)x-1＝4； (3)xy＝3； (4)x+y＝6； (5)2x-4y＝7；
(6)；(7)；(8)；(9)；(10)．
【变式训练】
☆☆变式1-1.下列各方程中，是二元一次方程的是（　　）
A．=y+5x B．3x+2y=2x+2y C．x=y2+1 D．
☆☆☆变式1-2．已知方程是二元一次方程，则m= ，n= .
题型二：二元一次方程的解
☆【例2】下列数组中，是二元一次方程x+y=7的解的是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练】
☆☆变式2-1.若方程的一个解是，则a= .
☆☆☆变式2-2．已知方程2x-y+m-3=0的一个解是，求m的值.
题型三：二元一次方程组及方程组的解
☆【例3】下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式训练】
☆☆变式3-1.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
☆☆☆变式3-2．已知关于的二元一次方程组 ，求
题型四：用代入法解二元一次方程组
☆【例4】用代入法解方程组： 的解为　 　．
【变式训练】
☆☆变式4-1.用代入消元法解方程组：
； (2) ．
☆☆☆变式4-2．对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组：
解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1．
把x=1代入②得，y=0．
所以方程组的解为
请用同样的方法解方程组：．
题型五：加减法解二元一次方程组
☆【例5】．用加减消元法解下列方程组：
（2）
【变式训练】
☆☆变式5-1.用加减消元法解下列方程组：
（2）
（4）
☆☆☆变式5-2．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y=a，求该方程组的解．
题型六：由解确定方程组中的相关量
☆【例6】．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求k的值．
【变式训练】
☆☆变式6-1.已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是　　．
☆☆☆变式6-2．已知和方程组的解相同，求的值．
题型七：解二元一次方程组纠错问题
☆【例7】小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c，解得已知小文除抄错了c外没有发生其他错误，求a+b+c的值．
【变式训练】
☆☆变式7-1.用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：
（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”.
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答.
☆☆☆变式7-2．【变式】用加减法解方程组其解题过程如下：，得，解得.把号代入①，得，解得.所以这个方程组的解为.上述解题过程是否正确？若不正确，请写出正确的解题过程.
题型八：整体代入法解二元一次方程组
☆【例8】先阅读，再解方程组.
解方程组时，设，，
则原方程组变为，整理，得，解这个方程组，得，即.
解得. 请用这种方法解下面的方程组：.
【变式训练】
☆☆变式8-1.若关于x、y的二元一次方程组的解为，求关于x、y的方程组的解．
☆☆☆变式8-2．阅读探索 解方程组
解：设a-1=x，b+2=y，原方程组可变为
解方程组得，即，所以．此种解方程组的方法叫换元法．
（1）拓展提高
运用上述方法解下列方程组：
（2）能力运用
已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为_______．
强化训练
选择题
1．（江苏泰州·七年级泰兴市洋思中学阶段练习）下列方程中，二元一次方程有（　　）
①x＝y；②3x+＝4；③2x+3y＝0；④x2+y2＝3；⑤7﹣x（x+1）＝8y+x（2﹣x）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（江苏·七年级校考期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是
A． B． C． D．
3．（七年级单元测试）若与是同类项，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（七年级单元测试）已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（　　　）
A． B． C． D．
5．（江苏镇江·七年级统考期末）若方程组，的解满足x－y＝－2，则a的值为(　)
A．－1 B．1 C．－2 D．不能确定
6．（江苏无锡·七年级校考期末）方程5x+3y=54共有( )组正整数解．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（江苏宿迁·七年级统考期末）解方程组时，某同学把c看错后得到，而正确的解是，那么，，的值分别是（ ）
A．，， B．，不能确定，
C．，， D．，，的值不能确定
8．（七年级统考课时练习）“若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题
9．（江苏扬州·七年级校联考期中）若是关于，的二元一次方程，则____.
10．（江苏盐城·七年级校考阶段练习）已知方程，用含的式子表示，则 __________．
11．（江苏苏州·七年级星海实验中学校考期中）已知方程组，那么____________.
12. （七年级单元测试）小明解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两数■和★，请你帮她找回这两个数，■= ______ ，★= ______ ．
13．给出下列程序：若输入的值为1时，输出值为1；若输入的值为时，输出值为；则当输入的值为8时，输出值为______．
14．已知关于x、y的二元一次方程组有正整数解，则k=______．
15．（江苏·七年级专题练习）若方程组的解是，请求出方程组中m，n的值，m＝_____，n＝_____．
16．（七年级统考课时练习）方程有______个解，正整数解是______．
17．（江苏常州·七年级统考期末）在平面内，已知与的一组边平行，另一组边垂直，且则的度数为_______________________．
18．三个同学对问题“若方程组的解是，
求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是： ．
三．解答题
19．解方程组：（1）； （2）.
(3) (4)
（5） （6）
20．已知，关于、二元一次方程组的解满足方程2x-y=13，求的值．
21．（江苏·七年级期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为．
(1)甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？
(2)求出原方程组的正解．
22．（江苏泰州·七年级统考期末）已知二元一次方程（、均为常数，且）
（1）当时，用的代数式表示；
（2）若 是该二元一次方程的一个解；
①探索关系，并说明理由；
②若该方程有一个解与的取值无关，请求出这个解．
23．（江苏·七年级专题练习）对于一个三位数，若其十位上的数字是3、各个数位上的数字互不相等且都不为0，则称这样的三位数为“太极数”；如235就是一个太极数．将“太极数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，将这6个两位数的和记为D（m）例如：D（235）＝23+25+32+35+52+53＝220．
（1）最小的“太极数”是 　 　，最大的“太极数”是 　 　；
（2）求D（432）的值；
（3）把D（m）与22的商记为F（m），例如F（235）＝＝10．若“太极数”n满足n＝100x+30+y（1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y均为整数），即n的百位上的数字是x、十位上的数字是3、个位上的数字是y，且F（n）＝8，请求出所有满足条件的“太极数”n．
24．【阅读材料】
小明同学遇到下列问题：
解方程组，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的看作一个数，把看作一个数，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，
这时原方程组化为，解得
把代入
得解得
所以，原方程组的解为
【解决问题】
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
解方程组
25．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．而采用下面的解法则比较简单：
①﹣②得2x+2y=2，所以x+y=1③．
③×35﹣①得3x=﹣3．
解得x=﹣1，从而y=2．
所以原方程组的解是
（1）请你运用上述方法解方程组：；
（2）猜测关于x、y的方程组（a≠b）的解是什么？并用方程组的解加以验证．
（3）请你用类似方法解方程组：．
课后作业
☆1.（2021-2022梅苑七下期中） 方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为 （ 　　）
A. 5，2 B. 1，3 C. 2，3 D. 4，2
☆2.（2021-2022梅苑七下期中）解二元一次方程组：
(1) (2)
☆☆3.（2022-2023江都区邵樊片七下第二次月考）已知关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解为( )
A． B． C． D．
☆☆4.（2021-2022梅岭七下第二次月考）