2024年中考数学一轮复习专题讲义　二次函数（含答案）

2024年中考数学一轮复习专题讲义：二次函数
一、单选题
1．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，则抛物线的函数表达式为（　　）
A． B．
C． D．
2．若抛物线 （为常数）与 轴有两个交点，则此抛物线的顶点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过点和，则该函数图象的对称轴（ ）
A．只能是 B．可能在y轴右侧且在直线的左侧
C．可能是y轴 D．可能在y轴左侧且在直线的右侧
4．二次函数的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．3
5．已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
B．
C． D．
6．如图，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长为（ ）
A． B． C． D．
7．，分别为抛物线与轴的两个交点，且为顶点．当的面积最大时，（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
8．抛物线交x轴点于，，交y轴的负半轴于点C，顶点为D．下列结论：①；②；③当m为任意实数时，；④方程的两个根为，；⑤抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．抛物线经过点，则它的对称轴是 ．
10．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为 ．
11．二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是 ．
12．如图，抛物线交轴于两点（在的右侧），交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是 ．

13．如图，抛物线的对称轴为直线，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，则图中的两条抛物线、直线与轴所围成的图形（阴影部分）的面积为 ．
三、解答题
14．已知二次函数的图象以为顶点，且过点，
(1)求该函数的关系式；
(2)若点，点在该函数图象上，求和的值．
15．已知二次函数中的x，y满足如表：
x … 0 1 m 3 4 …
y … n 1.5 2 1.5 0 …
(1)补全表格，______，______；
(2)利用上表，在平面直角坐标系中画出这条抛物线的图象；
(3)当时，y的取值范围为，则a的取值范围为______．
16．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米（即）．现以点O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求出这条抛物线的函数解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”，使点C，D在抛物线上，点A，B在地面上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
17．某水果销售店在试销售成本为每千克2元的某种水果，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克4元．经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)设水果销售店试销该种水果期间每天获得的利润为W元，求W的最大值．
18．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线经过两点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为直线上方的抛物线上的一动点（点不与点重合），连接，设四边形的面积为，求的最大值；
(3)若点在平面直角坐标系内一点，则在抛物线上是否存在一点，使得以四点为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
2．D
3．D
4．D
5．A
6．C
7．A
8．B
9．直线
10．
11．或
12．
13．
14．（1）解：设抛物线解析式为：，把的坐标代入得：
，解得：，
该函数的关系式为：.
（2）点在函数的图象上，
；
点在函数的图象上，
解得，，
∴或．
15．（1）解：根据题意将代入得：
，
解得：，
分别将代入函数解析式中得：
，
解得：
故答案为：2，0；
（2）这条抛物线的图象如图；
（3）由图象可得，当时，y的取值范围为，则a的取值范围为，
故答案为：
16．（1）由题意得：
；
（2）由顶点设此函数解析式为：，
将点代入得，
∴；
（3）（3）设设，则
∴“支撑架”总长
∵此二次函数的图象开口向下．
∴当时，有最大值为18．
17．（1）解：设y与x的函数解析式为，
由图可知，函数过，，
，解得：，
y与x的函数解析式为；
（2）由题意可知，
，
时，随x的增大而增大，
，
当时，W取的值最大，此时，
故W的最大值为520元．
18．（1）解：将代入，
，
解得：，
；
（2）解：过作轴于点，与交于点，
，，
，
当时，，
，
，
设，则，
，
，
，
当时，的最大值为；
（3）解：存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
，，
∴，，作轴于点，设点的横坐标为t，
①当为边，点在上方时，如图，作于点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴点的坐标为，
∴，
解得（舍去），，
∴点的坐标为；
②当为边，点在上方时，如图，
同理，，
∴点的坐标为，
∴，
解得（舍去），，
∴点的坐标为；
③当为对角线时，如图，作于点，
∴，，，，∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得（舍去），（舍去），，
∴点的坐标为或，
综上所述：点坐标为或或或．