2024年中考数学总复习课件：专题五 以二次函数为主体的探究题

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2024年中考数学总复习课件
第二部分 专题提升
专题五 以二次函数为主体的探究题
类型一 二次函数中面积及最值求法
例 1 如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与轴交于点．
（1） 求抛物线的函数解析式；
（2） 求直线的函数解析式；
（3） 若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求面积的最大值．
（1） 求抛物线的函数解析式；
解：由抛物线过点，，得
解得
故抛物线的解析式为.
（2） 求直线的函数解析式；
[答案] 设直线的解析式为， 直线过点，，则
解得
故直线的解析式为.
（3） 若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求面积的最大值．
[答案] 如图，过点作轴，交于点.
直线的解析式为，
可设，则.
.

.
面积的最大值为.
解法归纳
解答本例一类问题，必须要熟悉用待定系数法求函数解析式的步骤，及二次函数最值的求法；也要会用“铅直高，水平宽”的方法求二次函数中三角形的面积；更要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，进而解决相应的问题.
类型二 对抛物线问题中是否“存在”的探究
例 2 [2023· 南丰县二模] 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且，对称轴为直线．
（1） 求该抛物线的解析式.
（2） 若直线过点，与抛物线的另一交点为，当 时，求点的坐标.
（3） 在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1） 求该抛物线的解析式.
解：设.把点的坐标代入，得.
解得.
.
抛物线的解析式为.
（2） 若直线过点，与抛物线的另一交点为，当 时，求点的坐标.
[答案] 过点作轴于点，如图.
设，则.
，.
，，
即或.
当时，解得，（不合题意，
舍去）.
当时，解得，（不合题意，舍去）.
点的坐标是或.
（3） 在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
[答案] 在抛物线的对称轴上存在一点，使得是直角三角形.
在中，令，得，令，得或.
，.
设.
，，.
当为斜边时，，.
解得或.
此时点的坐标为或.
当为斜边时，，
.解得.
此时点的坐标为.
当为斜边时，，
.解得.
此时点的坐标为.
存在点，使是直角三角形，此时点的坐标为或或或．
解法归纳
解决本例一类问题，①需要会灵活运用抛物线的三种解析式（顶点式、两根式、一般式）及顶点、对称轴、增减性等二次函数的基本知识.②需要会将相关点的坐标转化为线段的长，即理解、运用数形结合的数学思想方法.存在性问题的探求方法一般是先假设存在，再根据假设和已知条件推理，最后下结论.若假设成立，则存在；若假设不成立，则不存在.
在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，它的对称轴与轴交于点，直线经过，两点，连接．
（1） 求，两点的坐标及直线的函数解析式.
（2） 探索直线上是否存在点，使为直角三角形.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1） 求，两点的坐标及直线的函数解析式.
解：令，则.
解得或，.
令，则，.
，
抛物线的对称轴为直线.
设直线的函数解析式为，则
解得.
（2） 探索直线上是否存在点，使为直角三角形.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
[答案] 存在点，使为直角三角形.
设.
，，.
①当 时，，
.
.
②当 时，，
，
（舍去）.
③当 时，，
.
（舍去）或.
.
存在点，使为直角三角形，此时点的坐标为或．
类型三 对抛物线与几何图形综合问题的探究
例 3 [2023·江西] 综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在中， ，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形.设点的运动时间为，正方形的面积为，探究与的关系.
初步感知
（1） 如图1，当点由点运动到点时，
① 当时，________；
② 关于的函数解析式为________.
延伸探究
（3） 若存在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等.
① ________；
② 当时，求正方形的面积.
（2） 当点由点运动到点时，经探究，发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长.
（1） 如图1，当点由点运动到点时，
① 当时，___；
② 关于的函数解析式为___________.
3
（2） 当点由点运动到点时，经探究，发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长.
解：由图2可得：当点运动到点处时，，当点运动到点处时，，
抛物线的顶点坐标为，
，.
设，将代入，得，解得.
.
，
.
延伸探究
（3） 若存在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等.
① ___；
4
提示：由（1）（2）可得

在图2中补全的图象.
根据图象可知内的图象与内的图象关于直线对称，
因此.
② 当时，求正方形的面积.
[答案] 根据二次函数的对称性，可知.
由①可知，.
又，
，得，
此时正方形的面积.
解法归纳
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数的图象和性质、勾股定理等.解题的关键是会运用数形结合思想，将几何问题与代数问题相互转化，真正理解题中正方形、直角三角形与二次函数的内在联系.
谢谢大家