2024年中考数学一轮复习专题讲义：一次函数（含答案）

2024年中考数学一轮复习专题讲义：一次函数
知识点梳理
1、定义
定义1：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
定义2：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
2、一次函数的图象及其性质
正比例函数的图象及性质：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx。
y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性
k＞0 三、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大
k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小
一次函数的图象及性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y=kx+b。当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，即y随着x的增大而减小。
y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性
k＞0，b＞0 三、二、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大
k＞0，b＜0 三、四、一
k＜0，b＞0 二、一、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小
k＜0，b＜0 二、三、四
3、待定系数法
定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。
4、一次函数与方程(组)及不等式(组)
方程(组)的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程(组)的解，反之一样。对于不等式(组)的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。
配套练习
一、单选题
1．若正比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线经过第一、二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．关于函数y=2x，下列结论中正确的是（　　）
A．函数图象经过点（2，1） B．函数图象经过第二、四象限
C．y随x的增大而增大 D．不论x取何值，总有y＞0
4．，是一次函数图象上的两点，则下列正确的是（ ）．
A． B．
C．当时， D．当时，
5．对于正比例函数，它的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B． C．D．
6．一次函数分别交轴、轴于，两点，在轴上取一点，使为等腰三角形，则这样的点最多有几个（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．一天，小亮从家出发匀速步行去图书馆借书．几分钟后，在家休假的爸爸发现小亮忘带借书卡，于是爸爸骑自行车去追小亮，爸爸追上小亮以后以原速的一半回家．小亮拿到卡后以原速继续赶往图书馆，并从家出发后32分钟到达图书馆（小亮与爸爸交接时间忽略不计）．两人相距的距离（米）与小亮步行所用时间（分钟）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．小亮的步行速度是40米/分
B．小亮爸爸回家的速度80米/分
C．小亮出发了10分后爸爸才出发
D．当爸爸回到家时，小亮离图书馆的距离是320米
8．如图，在矩形 ABCD 中，AB=2a，AD=a，矩形边上一动点 P 沿 A→B→C→D 的路径移动．设点 P 经过的路径长为 x，PD2=y，则下列能大致反映 y 与 x 的函数关系的图象是（ ）

A． B．
C． D．
9．已知一次函数y=ax+b（a、b是常数），x与y的部分对应值如下表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -4 -2 0 2 4 6 8
下列说法中，正确的是（ ）
A．图象经过第二、三、四象限
B．函数值y随自变量 x的增大而减小
C．方程ax+b=0的解是x=2
D．不等式ax+b＞0的解集是x＞-1
10．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣3，1），B（1，2），若直线y＝kx﹣1与线段AB有交点，则k的值不能是（ ）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
二、填空题
11．已知函数y＝2xm﹣1+1是一次函数，则m＝ ．
12．平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，﹣3）和点B（1，﹣2），则直线AB的解析式为 ．
13．函数：中，自变量x的取值范围是 ．
14．在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，若，则点A的坐标是 ．
15．如图，一次图数与一次函数图象交于点，则关于的不等式组解集为 ．

16．把直线y=-x-1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式是 ．
17．直线y=mx+2m-1不经过第二象限，则m的取值范围是
18．已知直线y＝x+2与函数y＝的 图象交于A，B两点（点A在点B的左边）．
（1）点A的坐标是 ；
（2）已知O是坐标原点，现把两个函数图象水平向右平移m个单位，点A，B平移后的对应点分别为A′，B′，连结OA′，OB′．当m＝ 时，|OA'﹣OB'|取最大值．
三、解答题
19．已知：是的函数，函数关系式为．
(1)当m为何值时，该函数是一次函数
(2)当m、n为何值时，该函数是正比例函数
(3)当m、n为何值时，该函数经过第一、二、三象限
20．如图，直线l：y1＝﹣x﹣1与y轴交于点A，一次函数y2＝x+3图象与y轴交于点B，与直线l交于点C，
(1)画出一次函数y2＝x+3的图象；
(2)求点C坐标；
(3)如果y1＞y2，那么x的取值范围是______．
21．某汽车制造公司计划生产A、B两种新型汽车共40辆投放到市场销售．已知A型汽车每辆成本34万元，售价39万元；B型汽车每辆成本42万元，售价50万元．若该公司对此项计划的投资不低于1536万元，不高于1552万元．请解答下列问题：
(1)该公司有哪几种生产方案？
(2)该公司按照哪种方案生产汽车，才能在这批汽车全部售出后，所获利润最大
(3)在（2）的情况下，公司决定拿出利润的全部用于生产甲乙两种钢板（两种都生产），乙钢板每吨6000元，共有多少种生产方案？
22．小亮、小明两人星期天8：00同时分别从A，B两地出发，沿同一条路线前往新华书店C．小明从B地步行出发，小亮骑自行车从A地出发途经B地，途中自行车发生故障，维修耽误了1 h，结果他俩11：00同时到达书店C．下图是他们距离A地的路程y(km)与所用时间x(h)之间的函数关系图象．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)求图中直线DE的函数解析式；
(2)若小亮的自行车不发生故障，且保持出发时的速度前行，则他出发多久可追上小明？此时他距离A地多远？
23．如图，直线l1：y1=-x+m与y轴交于点A(0，6)，直线l2：y2=kx+1分别与x轴交于点B(-2，0)，与y轴交于点C，两条直线l1、l2相交于点D，连接AB．
(1)求两直线l1、l2交点D的坐标；
(2)求△ABD的面积．
参考答案：
1．B
2．B
3．C
4．D
5．C
6．B
7．C
8．D
9．D
10．A
11．2．
12．y＝x﹣．
13．
14．或
15．
16．y=-x+1
17．0≤m≤
18． （1）联立，解得，则交点坐标为（），
联立，解得，则交点坐标为（），
又点A在点B的左边，所以A（），
故答案为：（）；
（2）当O、A′、B′三点共线时，|OA'﹣OB'|取最大值．
即直线平移后过原点即可，平移的距离为m，
平移后的直线为，
则，
解得，
当m＝6时，|OA'﹣OB'|取最大值．
故答案为：6．
19．（1）解：该函数是一次函数，
，
；
（2）解：该函数是正比例函数，
且，
且；
（3）解：该函数经过第一、二、三象限，
，，
且．
20．解：(1)∵y2＝x+3，
∴当y2＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣4，
当x＝0时，y2＝3，
∴直线y2＝x+3与x轴的交点为(﹣4，0)，与y轴的交点B的坐标为(0，3)．
图象如下所示：
(2)解方程组，得，
则点C坐标为(﹣2，)；
(3)如果y1＞y2，那么x的取值范围是x＜﹣2．
故答案为(1)画图见解析；(2)点C坐标为(﹣2，)；(3)x＜﹣2．
21．（1）解：设A型号的轿车为x辆，由题意得，
解得，
∵x是正整数，
∴或17或18．
有以下生产三种方案：
①生产A型号的轿车16辆，B型24辆；
②生产A型号的轿车17辆，B型23辆；
③生产A型号的轿车18辆，B型22辆．
（2）设所获利润为y元，由题意有：
，
∵y随x的增大而减小，
∴时，
∴，
∴最大利润272万元．
∴当生产A型号16辆，B型号24辆时，万元
（3）该公司的利润为：（万元），
设生产甲钢板m吨，乙钢板n吨，
则（m、n为整数），
化简得：，
当时，；
时，；
所以，甲钢板4吨，乙钢板8吨；甲钢板10吨，乙钢板3吨两种生产方案．
【点睛】此题考查了一次函数的应用，二元一次方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，此题是典型的数学建模问题，要先将实际问题转化为不等式组解应用题．
22．解：(1)设直线DE的函数解析式为y＝kx＋b.易知点D的坐标为(3，22.5)，点E的坐标为(1.5，7.5)，∴解得∴直线DE的函数解析式为y＝10x－7.5　(2)小明的速度为(22.5－10)÷3＝ (km/h)．小亮出发时的速度为7.5÷0.5＝15(km/h)．设小亮出发m小时后追上小明，由题意，得m＋10＝15m，解得m＝，当m＝时，15×＝ (km)．答：若小亮的自行车不发生故障，且保持出发时的速度前行，则他出发h可追上小明，此时他距离A地km
23．解：(1)将A(0，6)代入y1=-x+m得，m=6；
将B(-2，0)代入y2=kx+1得，k=，
组成方程组得，解得，
故D点坐标为(4，3)；
(2)由y2=x+1可知，C点坐标为(0，1)，
S△ABD=S△ABC+S△ACD=×5×2+×5×4=15．