9.4 矩形 菱形 正方形讲义苏科版八年级数学下册

第二讲 矩形 菱形 正方形
教学目标：
1. 理解矩形、菱形、正方形的定义、性质、判定定理．
2、能运用矩形、菱形、正方形的相关定理完成证明或计算．
知识梳理：
知识要点：
要点一、矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
特别说明：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．
要点二、菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
要点三、正方形
1. 定义：一组邻边相等、并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
例题精讲：
题型1：矩形的性质
例1（☆）：在矩形中，对角线与交于点，下列结论一定正确的是（　　）
A．是等边三角形 B．
C． D．平分
变式1-1（☆☆）：如图，已知在矩形中，对角线，相交于点O，于点E．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
变式1-2（☆☆）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ABD＝m°，则∠E＝_____度（用含m的代数式表示）．
变式1-3（☆☆☆）：如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EFBC，分别交AB、CD于点E，F，连接PB，PD，若AE=2，PF=6，则图中阴影部分的面积为___________
题型2：矩形的判定
例2（☆）：已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）
A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC
变式2-1（☆☆）：如图，在中，对角线、相交于点，点、分别为、的中点．
(1)求证：；
(2)延长至，使，连接，延长，交于点，当时，试判断四边形是什么特殊的四边形，并说明理由．
变式2-2（☆☆☆）：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
求证：四边形ABCD是矩形；
若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；
在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．
题型3：菱形的性质
例3（☆）：如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式3-1（☆☆）：如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，则菱形的高为（　　）
A． B． C．12 D．24
变式3-2（☆☆☆）：如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（　　）
A．50° B．55° C．60° D．45°
题型4：菱形的判定
例4（☆）：的对角线与相交于点，添加以下条件，不能判定平行四边形为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
变式4-1（☆☆）：如图，中，已知是的平分线，E、F分别是边的中点，联结，要使四边形为菱形，需要满足一定的条件，该条件可以是______．
变式4-2（☆☆☆）：在矩形纸片中，，．将矩形纸片折叠，使点与点重合．(1)连接，求证：四边形是菱形；(2)求折痕的长．
题型5：正方形的性质
例5（☆）：如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，点F在DC的延长线上，连接AF交BC于点G，则∠FGC的度数为（　　）
A．67.5° B．45° C．60° D．75°
变式5-1（☆☆）：如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
变式5-2（☆☆☆）：如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为CD边上一点（点E不与端点C，D重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，对角线BD与AG、AE分别交于P、Q两点．以下各结论：①∠EAG＝45°；②线段CF的最小值为6；③；④若DE＝2，则G为BC的中点．正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
题型6：正方形的判定
例6（☆）：如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（　　）
A．若AB＝AD，则 ABCD是矩形
B．若AB＝AD，则 ABCD是正方形
C．若AB⊥BC，则 ABCD是矩形
D．若AC⊥BD，则 ABCD是正方形
变式6-1（☆☆）：如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O．
(1)求证：AF与DE互相平分；
(2)当△ABC满足___________时，四边形ADFE是正方形．
变式6-2（☆☆☆）：如图，点D为的边BC的中点，过点A作，且，连接DE，CE．
（1）求证：；
（2）若，判断四边形ADCE的形状，并说明理由；
（3）若要使四边形ADCE为正方形，则应满足什么条件？
（直接写出条件即可，不必证明）．
强化练习：
1、如图，矩形的对角线相交于点，，若，则四边形的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2、若菱形的较长对角线为24cm，面积为120cm2，则它的周长为（ ）
A．50cm B．51cm C．52cm D．56cm
3、如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（　　）
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
4（☆☆☆）、在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5（☆☆☆）、如图．已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG．现有如下3个结论；①AG+EC＝GE；②∠GDE＝45°；③△BGE的周长是24．其中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6（☆☆）、如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C=________度．
7（☆☆☆）、如图，将两张长为18，宽为6的矩形纸条交叉，可知重叠部分是一个__________形（图形形状），那么该图形周长的最大值与最小值的差等于__________．
8、如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．
（1）求证：；
（2）若AC平分，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．
9（☆☆☆）、如图①，在长方形ABCD中，已知AB=20，AD=12，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，设点D关于AP的对称点为点E．（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．
（2）当射线PE与边AB交于点Q时，①请直接写出AQ长的取值范围：　 ；
②是否存在这样的t的值，使得QE=QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
10（☆☆☆）、如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形．（1）证明平行四边形是菱形；
（2）若，连结，①求证：；②求的度数；
（3）若，，，M是的中点，求的长．
课后作业：
1、（☆）（梅苑期中）下列说法中，正确的是（ ）
A. 顺次连接平行四边形各边中点所得到的四边形是矩形
B. 正方形的对角线互相垂直平分且相等
C. 矩形是轴对称图形且有四条对称轴
D. 菱形的对角线相等
2（☆☆）、（梅苑期中）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（ ）
A. 78° B. 75° C. 60° D. 45°
3、（☆☆）（广陵期中）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A. 75° B. 60° C. 55° D. 45°
4、（☆☆）（邗江期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________度．
5、（梅岭期中）如图，在菱形ABCD中，点E在CD上，若AE＝AC，∠B＝48°，则∠BAE的大小为_____．
6、（☆☆）（梅苑期中）如图，在正方形ABCD内，以AB为边作等边△ABE，则∠BEG＝_____°．
7、（广陵期中）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为____．
8、（☆☆）（高邮期中）如图，在矩形ABCD中，BE平分，交CD于点E，点M、N分别是BE、AB的中点，连接MN，若，，则CD的长为______________．
9、（☆☆）（邗江期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，，OE与AB交于点F．（1）求证：四边形AEBO为矩形；（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD面积．
10、（梅岭期中）如图，已知是矩形的对角线，的垂直平分线分别交、于点和，交于点．
（1）求证：四边形是菱形：
（2）若，，求四边形的周长．
11、（梅苑期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E．求证：四边形ADCE是矩形．
12、（梅苑期中）如图，在四边形中，对角线、交于点O，，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
13、（☆☆☆）（广陵期中）知识再现：已知，如图，四边形ABCD是正方形，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，延长CB至G使BG＝DN，连接AG，根据三角形全等的知识，我们可以证明MN＝BM+DN．
知识探究：（1）在如图中，作AH⊥MN，垂足为点H，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；
知识应用：（2）如图，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，且BD＝2，AD＝6，则CD的长为 ；
知识拓展：（3）如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，F为边CD上一点，∠FEC＝2∠BAE，AB=24，求DF的长．
14、（☆☆☆）（树人期中）如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点(不在直线AC上)，∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连结PM并延长到点E，使ME=PM，连结DE．
（1）请你利用图2，选择Rt△ABC内的任意一点P按上述方法操作；
（2）经历（1）之后，观察两图形，猜想线段DE和线段BC之间有怎样的数量和位置关系？请选择其中的一个图形证明你的猜想；
（3）观察两图，你还可得出AC和DE相关的什么结论？请说明理由．
（4）若以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，其中A、C、D的坐标分别为（0，0），（5，3），（4，2），能否在平面内找到一点M，使以A、C、D、M为点构造成平行四边形，若不能，说明理由，若能，请直接写出点M的坐标．