9.4-9.5 乘法公式 多项式因式分解讲义苏科版七年级数学下册

第七讲 9.4-9.5乘法公式 多项式因式分解
教学目标：
1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；　　
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.
知识梳理：
知识要点：
要点一、乘法公式
1.平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
2. 完全平方公式：；
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.
要点二、因式分解
1、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
注：
因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
（4）因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
2、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
注：
（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
3、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
注：
提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
4、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
注：
逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
5、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
注：
（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
6、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
7、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
8.因式分解的常用方法汇总：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
例题精讲：
题型一：平方差公式的应用
☆【例1】下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能 能用平方差公式计算的，写出计算结果．
(1)； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ； (6) ．
【变式训练】
☆☆变式1-1.计算：（1）； （2）；
（3）．
☆☆☆变式1-2．计算：
(1)59.9×60.1； (2)102×98 ．
题型二：完全平方公式的应用
☆【例2】计算：
； (2)；
(3)； (4)．
．
【变式训练】
☆☆变式2-1.已知实数 ，满足，则的值为 ．
☆☆☆变式2-2．图a是由4个长为m，宽为n的长方形拼成的，图b是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．
（1）用m、n表示图b中小正方形的边长为　 　．
（2）用两种不同方法表示出图b中阴影部分的面积；
（3）观察图b，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．
题型三：因式分解的概念
☆【例3】下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　）
　A.a+4a﹣21=a（a+4）﹣21 B.a+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）
　 C.（a﹣3）（a+7）=a+4a﹣21 D.a+4a﹣21=（a+2）﹣25
【变式训练】
☆☆变式3-1.下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．6a2b2=3ab 2ab B．2x2+8x﹣1=2x（x+4）﹣1
C．a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4） D．
☆☆☆变式3-2．根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．

题型四：由因式分解求参
☆【例4】将多项式进行因式分解得到，则分别是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
☆☆变式4-1.多项式因式分解的结果是，则 ，
☆☆☆变式4-2．仔细阅读下面的例题，仿照例题解答问题，
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．解：设另一个因式为，
得
化简得
整理得
于是有解得
因此另一个因式是，的值为21．
问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
题型五：提公因式法分解因式
☆【例5】．(1)多项式的公因式是________；
(2)多项式的公因式是________；
(3)多项式的公因式是________；
(4)多项式的公因式是________．
【变式训练】
☆☆变式5-1.若，则E是（　　）
A． B． C． D．
☆☆☆变式5-2．把下列多项式分解因式：
(1)； (2)；
(3)．
题型六：平方差法分解因式
☆【例6】．对多项式进行因式分解，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式训练】
☆☆变式6-1.实数范围内因式分解∶
☆☆☆变式6-2．因式分解：
（1）； （2）； （3）； （4）．
题型七：完全平方公式法分解因式
☆【例7】下列各式中，能利用完全平方公式分解因式的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练】
☆☆变式7-1.若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值是（　　）
　 A．﹣1 B． 7 C． 7或﹣1 D． 5或1
☆☆☆变式7-2．分解因式：
（1）； （2）；
（3）； （4）
题型八：综合运用因式分解
☆【例8】因式分解：
(1). (2).
【变式训练】
☆☆变式8-1.把因式分解的结果是 ．
☆☆☆变式8-2．因式分解：
(1)； (2)；
(3)．
题型九：十字相乘法
☆【例9】代数式分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
☆☆变式9-1.将下列各式分解因式：
（1）； （2）； （3）
☆☆☆变式9-2．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考：
型式子的因式分解 型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢 在第102页的练习第2题中，我们发现，.这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出： 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 ① 利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。例如，将式子分解因式。这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，因此这是一个型的式子.利用①式可得. 上述分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（图1）. 这样，我们也可以得到.
利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式：
（1）分解因式：_____________；
【知识应用】
（2），则_________，_________；
【拓展提升】
（3）如果，其中m，p，q均为整数，求m的值.
题型十：因式分解应用
☆【例10】将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（ ）

A． B． C． D．
【变式训练】
☆☆变式10-1.已知为任意有理数，则多项式－1－的值为（ ）．
A．一定为负数 B．不可能为正数 C．一定为正数 D．可能为正数，负数或0
☆☆☆变式10-2．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)分解因式：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
强化训练
选择题
1．下列各运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（七年级单元测试）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若多项式可分解为，则a+b的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
4．（江苏苏州·七年级校考阶段练习）如果多项式是一个完全平方式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（七年级单元测试）数学活动课上，每个小组都有若干张面积分别为、、的正方形纸片和长方形纸片，莉莉从中抽取了1张面积为的正方形纸片和6张面积为的长方形纸片．若她想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（ ）
A．3张 B．6张 C．9张 D．12张
6．（江苏无锡·七年级统考阶段练习）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A． B．
C． D．
7．（七年级单元测试）计算：1252-50×125+252=( )
A．100 B．150 C．10000 D．22500
8．如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（　　）

A．长方形纸片的周长和面积 B．长方形纸片长和宽的差
C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差
二．填空题
9．计算： ．
10．（江苏淮安·九年级校考期末）分解因式：=______．
11．（江苏南通·八年级校联考期中）若是一个完全平方式，则的值是________．
12. 若，＝__________.
13．若，化简＝________．
14．（江苏连云港·七年级阶段练习）已知a>b，ab=2且a2+b2=5，则a﹣b=_______．
15．如图，边长为的长方形，它的周长为10，面积为6，则的值为 ．
16．（江苏南京·统考一模）若代数式x2－4x＋b可化为(x－a)2－1，则a－b的值是_____
17．若，则 ．
18．图①是由4个白色的长方形和1个灰色的正方形构成的正方形，图②是由5个白色的长方形（每个长方形大小和图①相同）和1个灰色的不规则图形构成的长方形．已知图①②中灰色图形的面积分别为35和102，则每个白色长方形的面积为 ．
三．解答题
19．计算
(1) (2)
20．分解因式
(2)
（3）； （4）；
（5） (6) .
21．问题：阅读例题的解答过程，并解答（1）（2）：
例：用简便方法计算195×205
解：195×205
=（200﹣5）（200+5）①
=2002﹣52②
=39975
（1）例题求解过程中，第②步变形依据是　 　（填乘法公式的名称）．
（2）用此方法计算：99×101×10001．
22．下面是甲同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
．（第四步）
回答下列问题：
(1)甲同学第二步到第三步运用了因式分解的________．（填写序号）
①提公因式法 ②平方差公式法 ③两数和的完全平方公式法
(2)通过观察，我们知道甲同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的结果：________．
(3)请尝试对多项式进行因式分解．
23．（江苏无锡·七年级期中）阅读：已知，，求的值．
解：，，
．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
(1)已知，，求的值．
(2)已知，求的值．
24．一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．如图1，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)通过图2，发现，，之间的等量关系是：_________；
(2)根据（1）中的等量关系，解决下列问题：
①已知，，求的值；
②如图3所示，将两个边长分别为a和b的两个正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，，求阴影部分的面积．
课后作业
☆1.（2022-2023广陵区七下期中） 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A. （x＋3）（x－3）＝x2－9 B. x2－2x－1＝x（x－2）－1
C. x2－2x＋1＝（x－1）2 D. 8a2b2＝2a2·4 b2
☆2.（2022-2023扬州市邗江区第三共同体期中）若是一个完全平方式，则的值是______．
☆3.（2022-2023广陵区七下期中）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+4b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片____________张．
☆4.（2021-2022梅苑七下期中）
（1）计算：
（1） （2）
（3）（x+3）（x-7）-x（x-1） （4）（x+2y-3）（x-2y-3）
（2）分解因式：（1） （2）
（2021-2022扬州树人七下期中）（3）a2-4b2 （4）2a3+12a2+18a
☆☆5.（2022-2023扬州市邗江区第三共同体期中）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设m2-4m=n，
原式=n（n+8）+16 （第一步）
=n2+8n+16 （第二步）
=（n+4）2 （第三步）
=（m2-4m+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解______．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．完全平方公式
（2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？______（填“是”或“否”）．若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
☆☆6.（2021-2022扬州树人七下期中）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
问题：
（1）不论x，y为何有理数，的值均为( )
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
（2）若，求的值．
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．