第十章 三角形的有关证明 专题3 等腰直角三角形常见的解题题型（含答案）

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第十章 三角形的有关证明
专题3 等腰直角三角形常见的解题题型
模型一 等腰直角三角形+斜边的中点→连接直角顶点和斜边中点
如图，在等腰 Rt△ABC中，D为斜边的中点，则连接 AD AD=BD=DC,∠B=∠DAF=45°.常结合已知条件证明△BDE≌△ADF 或△ADE≌△CDF得出相关结论.
1.在△ABC中,∠A=90°, AB=AC,D为 BC 中点,E,F 分别在 AC, AB上,且 DE⊥DF,试判断 DE,DF 的数量关系，并说明理由.
模型二 等腰直角三角形+8字模型
类型(1) 有两直角，常用截长补短构造全等
如图,已知等腰 Rt△ABC,AB=AC,∠BAC=90°.若BE⊥CE,则有∠1=∠2,常通过在 BE 上取点 F,使得 BF=CE △ABF≌△ACE.
类型(2) 有一个直角，过等腰直角三角形的顶点作垂线构造直角
如图，已知等腰 常过点 A 作 得 证明
2.如图, 为等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,D是 AC 上一点.若 于点 E,连接AE,则
3.如图,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,D 是 AC 上一点.若
求证:CE⊥BD.
模型三 三垂直模型
如图,已知等腰 Rt△ABC,AB=AC,∠BAC=90°,BD⊥DE,CE⊥DE,则△ABD≌△CAE.
4.如图,将正方形 OEFG 放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点 E 的坐标为(2,3),则点 F的坐标为___________.
参考答案
1.解:DE=DF.理由如下:
连接 AD.
∵∠CAB=90°,AB=AC,D为BC 中点,∴CD=AD,∠C=∠DAF=45°,AD⊥CD,
∴∠CDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°.∴∠CDE=∠ADF.
在△CDE 和△ADF中,
∴△CDE≌△ADF(ASA),∴DE= DF.
2.45°
3.证明:如图,过点 A 作AF⊥AE 交 BE于点F,
∵AE⊥AF,∠AEB=45°,∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=AF,∠EAF=90°.∴∠EAC+∠CAF=90°.
∵∠BAC=90°=∠BAF+∠CAF,∴∠BAF=∠EAC.
在△BAF 和△CAE中,
∴△BAF≌△CAE(SAS),∴∠ABF=∠ACE.
∴∠ABD+∠BAD+∠ADB=180°,∠EDC+∠DEC+∠ECD=180°,∠ADB=∠EDC,
∴∠DEC=∠BAD=90°,∴CE⊥BD.
4.(-1,5)
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