第十章 三角形的有关证明 5 角平分线 第2课时 三角形的三条内角平分线（含答案）

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第十章 三角形的有关证明
5 角平分线
第2课时 三角形的三条内角平分线
基 础 练
知识点一 三角形角平分线的性质与判定
1.到三角形三条边距离相等的点是 ( )
A.三边垂直平分线的交点 B.三条高所在直线的交点
C.三条角平分线的交点 D. 三条中线的交点
2.已知,如图,在△ABC 中,BO,CO分别是∠ABC 和∠ACB的平分线,过O点的直线分别交AB,AC 于点D,E,且 DE∥BC.若 AB=6 cm,AC=8cm ,则△ADE的周长为_____________.
第2 题图 第3 题图
3.如图,点O 在△ABC 内,且到三边的距离相等,若∠A=58°,则∠BOC等于________度.
4.如图所示,已知点 P 是△ABC三条角平分线的交点,PD⊥AB,若PD=5,△ABC 的周长为 20,求△ABC 的面积.
知识点二 三角形角平分线的应用
5.某国际帆船中心外形形状是一个三角形，要在它的内部修建一处公共服务设施(用点 P 表示)，使它到三条路 AB，BC,AC的距离相等.
(1)在图中确定公共服务设施 P 的位置；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)若∠BAC=78°,试求∠BPC的度数.
提 升 练
6.如图,直线 , , 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有 ( )
A.1处 B.2 处 C.3 处 D.4 处
第6 题图 第7 题图
7.如图,点 I 是△ABC 三条角平分线的交点，△ABI 的面积记为 S ，△ACI 的面积记为 S ,△BCI 的面积记为S ,则关于 与 S 的大小关系，正确的是( )
D.无法确定
8.如图,在△ABC 中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,连接 AO并延长,交 BC 于点D,OH⊥BC 于点H.若∠BAC=60°,OH=5,则
第8 题图 第9 题图
9.在中，已知的平分线BD与的平分线 CE 相交于点O, 的平分线交 BC于F，则下列说法中正确的是_____________.(填序号)
①∠BOE= 60°;②OE=OD;③∠ABD=∠ACE;④BC=BE+CD.
10.如图, 于点E, 于点 F,
(1)求证:AD 平分
(2)猜想 与AE 之间的数量关系，并给予证明.
11.问题提出:
(1)如图1,已知∠AOB,以点O为圆心,适当长为半径画弧,交 OA 于点 M,交 OB 于点N，分别以M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C,画射线OC,连接CM,CN,MN,则图1中与 全等的是_______________；
问题探究：
(2)如图2,在 中, AD 平分 过点 D 作 于点M,连接CD,BD,若 AB+AC=2AM,求证:
问题解决：
(3)如图 3，工人刘师傅有块三角形铁板ABC,∠B=60°,他需要利用铁板的边角裁出一个 四边形 BEFD，并要求 120°，EF=DF.刘师傅先在纸稿上画出了三角形铁板的草图，再用尺规作出 的平分线 AD 交 BC 于点 D,作 的平分线 CE 交AB 于点E,AD,CE 交于点 F,得到四边形 BEFD.请问：若按上述方法，裁得的四边形 BEFD是否符合要求 请证明你的结论.
参考答案
1. C 2.14 cm 3.119
4.解:如图,过 P 作PE⊥BC 于E,PF⊥AC于F.
∵PA 是∠BAC 的角平分线,∴PD=PF=5,同理 PE=PD=5.
5.解:(1)如图所示,点 P 即为所求.
(2)∵BP平分∠ABC,
∵CP平分∠ACB,
∵∠BAC=78°,∴∠ABC+∠ACB=180°-78°=102°,
6. D 7. C 8.10 9.①②④
10.(1)证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠E=∠DFC=90°.
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF.
∴DE=DF,∴AD 平分∠BAC.
(2)解:AB+AC=2AE.
证明:∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠CAD.
在△AED与△AFD中,
∴△AED≌△AFD,∴AE=AF.
∴AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE.
11.(1)解:由作图 1 可知OM=ON,CM=CN,
又OC=OC,∴△OMC≌△ONC(SSS),
故题图 1中与△OMC 全等的是△ONC,故答案为△ONC.
(2)证明:如图 1,过点 D 作 DN⊥AC,交 AC 的延长线于点N，
∵AD 平分∠CAB,DN⊥AC,DM⊥AB,∴DN=DM,
∵AD=AD,∴Rt△ADN≌Rt△ADM(HL),∴AN=AM,
∵AB+AC=2AM,∴AM+MB+AN-CN=2AM,即 CN=BM,
∵∠DNC=∠DMB=90°,DN=DM,∴△CDN≌△BDM(SAS),
∴∠DCN=∠ABD,∴∠ACD+∠ABD=∠ACD+∠DCN=180°.
(3)解:符合要求.
证明:如图 2,过点 F 分别作 FG⊥AB,FH⊥BC,FK⊥AC,垂足分别为 G,H,K.
∵AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,∴FG=FH=FK,
∵∠B=60°,∴∠GFH=360°-60°-90°×2=120°,
=60°,
在△AFC中,∠AFC=180°-(FAC+∠FCA)=180°-60°=120°,
∴∠EFD=∠AFC=120°=∠GFH,∴∠EFG=∠DFH,
在△EFG和△DFH中, ∴△EFG≌△DFH(ASA),
∴FE=FD,∴裁得的四边形 BEFD符合要求.
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