第十章 三角形的有关证明 5 角平分线 第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理（含答案）

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第十章 三角形的有关证明
5 角平分线
第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理
基 础 练
知识点一 角平分线的性质定理
1.如图,P 是∠AOB 的平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C，D.下列结论不一定成立的是 ( )
A.∠AOP=∠BOP B. PC=PD C.∠OPC=∠OPD D. OP=PC+PD
第1 题图 第2 题图
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=15,AB=17,AD 是∠BAC 的角平分线,DE⊥AB,垂足为 E,则△BDE的周长为 ( )
A.23 B.24 C.25 D.32
3.如图,点 C 在的平分线上,CD⊥OA于点D,且( 如果 E 是射线OB 上一点，那么线段 CE长度的最小值是___________.
第 3 题图 第 4 题图
4.如图,在 中,AD平分若 则
5.如图,点 B,C 分别在 的两边上，点 D是 内一点， DF垂足分别为 E，F，且 DF,连接 BD,CD.求证:
知识点二 角平分线的判定定理
6.已知,如图,OC 是∠AOB 内部的一条射线. P 是射线OC 上任意一点，PD⊥OA,PE⊥OB,下列条件中:①∠AOC=∠BOC; ②PD= PE; ③OD = OE;④∠DPO=∠EPO,能判定 OC 是∠AOB 的角平分线的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第6题图 第7题图
7.如图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点 P，小明说：“射线 OP就是 的平分线.”这样说的依据是__________.
8.如图,已知 BM垂足分别为 N,M, BM 与AN 相交于点 P,连接 OP. 求证: 点 P 在的平分线上.
提 升 练
9.如图, OE 平分∠AOB,DE∥OB交 OA 于点D,EC ⊥OB,垂足为 C.若 EC=2,则OD的长为( )
A.2 C.4
10.如图,在x轴、y轴上分别截取OA,OB,使 OA=OB,再分别以点A，B 为圆心，以大于 的长为半径画弧,两弧交于点P.若点 P 的坐标为(a,2a-3),则 a 的值为 ( )
A.1 B. -1 C.3 D. -3
11.如图,AB∥CD,BP 和CP 分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P, 且与 AB 垂直. 若 AD=10,则点 P 到 BC 的距离是 ( )
A.10 B.8 C.5 D.2
第 11 题图 第 12 题图
12.如图,在△ABC中,∠C=90°,BD 是△ABC的角平分线,已知 AC=3,BC=4,则 CD的长为____________.
13.如图,P 是 OC 上一点, PD⊥OA 于点 D,PE⊥OB 于点E. F,G分别是OA,OB上的点. PF=PG,DF=EG.
(1)求证:OC 是∠AOB的平分线;
(2)若∠AOB=30°,PF=2 ,PF∥OB.求PE 的长.
参考答案
1. D 2. B 3.3 4.1
5.证明:如图,连接 AD,
在 和 中,
6. D
7.在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
8.证明:∵AN⊥OB,BM⊥OA,∴∠ANO=∠BMO=90°.
在 Rt△ONP 和 Rt△OMP 中,
∴Rt△ONP≌Rt△OMP(HL),∴PM=PN,∴OP平分∠AOB,
即点 P 在∠AOB的平分线上.
9. C 10. C 11. C 12.
13.(1)证明:在 Rt△PDF 和 Rt△PEG中,
∴Rt△PDF≌Rt△PEG(HL),
∴PE=PD,∵PD⊥OA 于D,PE⊥OB 于E,∴OC是∠AOB的平分线.
(2)解:∵OC 平分∠AOB,∠AOB=30°,∴∠AOC=∠BOC=15°.
∵PF∥OB,∴∠OPF=∠BOC=15°.
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