1.2 展开与折叠
【学习目标】：
通过折叠几何体，发展学生空间观念，积累数学活动经验。
2．能根据展开图判断和制作简单的立体模型。
3．经历和体验图形的变化过程，体会几何体与它的展开图之间的关系。
【学习重点】：
利用模型将展开图折叠成几何体是重点。
【学习难点】：不用模型，展开想象，由展开图怎样叠成几何体。
1．棱柱的表面展开图
棱柱是由两个完全相同的多边形底面和一些长方形侧面围成的．沿棱柱表面不同的棱剪开就可以得到不同的表面展开图．如图是棱柱的一种展开图．
棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(底面)和几个长方形(侧面)．
【例题点拨1】 如图，请你在横线上写出哪种立体图形的表面能展开成下面的图形．
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解析：
(1) 三棱柱 两个底面是三角形
(2) 六棱柱 两个底面是六边形
(3) 长方体 两个底面是长方形
(4) 三棱柱 两个底面是三角形
答案：三棱柱 六棱柱 长方体 三棱柱
2．圆柱、圆锥的表面展开图
(1)圆柱的表面展开图
沿着圆柱的一条高把圆柱剪开，就得到圆柱的表面展开图．圆柱的表面展开图是两个圆(底面)和一个长方形(侧面)，如图所示．
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如果两个底面圆在长方形的同一侧(如图所示)，折叠后上端没有底，下端有两个底，则它不能折叠成圆柱．
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(2)圆锥的表面展开图
如图所示，圆锥的表面展开图是一个圆(底面)和一个扇形(侧面)．
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【例题点拨2】 如图所示图形都是几何体的展开图，你能说出这些几何体的名称吗？
分析：主要根据顶点、棱、面的数量及侧面展开图的形状进行判断．
解：圆锥、圆柱、五棱柱．
3．平面图形的折叠
平面图形沿某些直线折叠可以围成一定形状的立体 ( http: / / www.21cnjy.com )图形，与立体图形展开成平面图形是一个互逆过程．我们已经见过很多平面图形了，但并不是所有的平面图形都能折成几何体．
根据平面展开图判断立体图形的方法：
(1)能够折叠成棱柱的特征：
①棱柱的底面边数＝侧面的个数．
②棱柱的两个底面要分别在侧面展开图的两侧．
(2)圆柱的表面展开图一定是两个相同的圆形和一个长方形．
(3)圆锥的表面展开图一定是一个圆形和一个扇形．
(4)能够折叠成正方体的特征：
①6个面都是完全相同的正方形．
②正方体展开图连在一起的 (指在同一条直线上的)正方形最多只能为4个．
③以其中1个为底面，前、后、左、右、上面都有，且不重叠．
4．正方体展开图上的数字问题
正方体是立体图形的展开与折叠的代表图形，与正方体的展开图有关的数字问题主要是相对面的找法，确定了三组相对面，数字问题便可迎刃而解．
正方体的平面展开图共有11种，可分为四类：
(1)1－4－1型
相对面的确定：①第一行与第三行的正方形是相对面；②中间一行的4个正方形中，相隔一个是相对面．
(2)1－3－2型
相对面的确定：①第一行的正方形与第三行的左边第1个正方形是相对面；②中间一行第1个与第3个为相对面；第2个与第三行第2个为相对面．
(3)2－2－2型
相对面的确定：①第一行的第1个与第二行的第2个是相对面；②第二行第1个与第三行的第2个是相对面；③第三行的第1个与第一行的第2个为相对面．
(4)3－3型
相对面的确定：①第一行的第1个与第3个为相对面；②第二行的第1个与第3个为相对面；③第一行的第2个与第二行的第2个为相对面．
【例题点拨3－1】 如图所示，哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？
分析：(1)底面是四边形，侧面有3个，显然与三棱柱、四棱柱的特征不符；(3)的两个底面在侧面同侧，折叠后也不能围成棱柱；(2)(4)折叠后可以围成棱柱．
解：(2)(4)可以．
【例题点拨3－2】 生活中我们经常可以见到各种各样的包装盒，你能用线将图中的实物和它的平面展开图连接起来吗？
分析：根据能折叠成不同几何体的特征去判断即可．
解：如图所示．
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【例例题点拨4－1】 如图所示，假定用A，B表示正方体相邻的两个面，用字母C表示与A相对的面，请在下面的正方体展开图中填写相应的字母．
分析：先判断属于哪种类型，再确定相对面．前三种的相对面都是隔一个即可；第四种的A与上面第一行中的第2个是相对面．
解：如图所示．
【例例题点拨4－2】 要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为6，则x＝__________，y＝__________.
解析：这里关键是要找到相对的面，折叠之后可知，x与1相对，所以x＝5，y与3相对，所以y＝3.
答案：5 3
【例例题点拨4－3】 小丽制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒(如图所示)，则这个正方体礼品盒的平面展开图可能是( )．
解析：这个正方体的平面展开 ( http: / / www.21cnjy.com )图属于1－4－1型的，根据规律可知，第一行的与第三行的为相对面，中间一行的第1个与第3个、第2个与第4个为相对面，故应选A.
答案：A
5．表面展开图的应用
正方体与图案
正方体前面、上面、右面有不同的图案，按不同的类型展开后，其图案也会发生相应的变化．根据展开图判断是否与模型对应的方法：
(1)三个面上的不同图案不会对立，所以可排除三种图案对立的情况；
(2)位置判断：相邻三个面的图案位置是否一致．当前面和上面的图案确定位置后，另一个图案是在左面还是右面，图案放置的角度是否正确．
【例5】 图中给出的是哪个正方体的展开图？( )．
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解析：显然带有黑色的面是相对的面，所以A，B错误．又因为两个黑色小正方形应该是相对的，所以选D.
答案：D
【基础训练】
1.下列第二行的哪种几何体的表面能展开成第一行的平面图形？请对应连线。
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2.下列说法中正确的是 （ ）
A、正方体是四面体 B、棱锥的底面一定是四边形
C、长方体是四棱柱，四棱柱是长方体 D、圆柱的侧面展开图是长方形
1.有上图每个图形都是由6个全等的正方形组成的，其中不是正方体的展开图的是（ ）
A B C D
3.将左边的正方体展开能得到的图形是 （ ）
SHAPE \* MERGEFORMAT ( http: / / www.21cnjy.com )
A B C D
4. 如左上图是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱AC、BC、CD剪开展成平面图形，则所得的展开图是（ ）
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请你至少画出同一个三棱柱的三种表面展开平面图．
6.如图（1）是一个小正 ( http: / / www.21cnjy.com )方体的侧面展开图，小正方体从图（2）所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上一面的字是（ ）
A．奥 B．运 C．圣 D．火
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5、下列图形是某些几何体的平面展开图，说出这些几何体的名称：
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6.图3.3-4由六个正方形组成，将它 ( http: / / www.21cnjy.com )们折叠可以组成一个正方体，正方体的表面编数码为1、2、3、4、5、6。有3个面上的数字漏写了，如果每一对面上的数的和都是7，求k的值。
思路点拨：想象一下折叠成的正方体，如果k处于上面的话，3正好与k相对处于底面。
【能力提升】
1．将如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的图形是（ C ）
2．下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（ D ）
3.如图所示，用1、2、3、4标出的四 ( http: / / www.21cnjy.com )块正方形，以及由字母标出的八块正方形中任意一块，一共要用5块连在一起的正方形折成一个无盖方盒，共有几种不同的方法？请选择合适的方法。
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4.如图，正方体盒子中，一只蚂蚁从B点沿正方体的表面爬到D1点，画出蚂蚁爬行的最短线路.
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【解 析】正方体是空间图形， ( http: / / www.21cnjy.com )解决空间图形的问题，经常是将空间图形转化为平面图形，这正是转化思想的体现.将正方体展开成平面图形，如图所示，因为两点之间线段最短，所以，在图中，BD1就是所要求的最短线路.
1.如上图，用白萝卜等材料做一个正方体，并把正方体表面涂上颜色.
（1）把正方体的棱二等分，然后沿等分线把正方体切开，得到8个小正方体.观察其中三面被涂色的有a个，如图①,那么a等于 ；
（2）把正方体的棱三等分，然后沿等分线把 ( http: / / www.21cnjy.com )正方体切开，得到27个小正方体.观察其中三面被涂色的有a个，各面都没有涂色的b个，如图②,那么a+b= ；
（3）把正方体的棱四等分，然后沿等分 ( http: / / www.21cnjy.com )线把正方体切开，得到64个小正方体.观察其中两面被涂成红色有c个，各面都没有涂色的b个，如图③,那么b+c= .
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2.某同学在制作正方体模型的时候，在方 ( http: / / www.21cnjy.com )格纸上画出几个小正方形（图上阴影部分），但是一不小心，少画了一个，请你给他补上一个，可以组合成正方体，你有几种画法，在图上用阴影注明。
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答：画图如图3.3-3，有四种方法。
思路点拨：想象折叠成正方体时各个面所处的位置，看看缺哪个面，再确定在什么位置补画。
易错辨析：在想象困难时借助实物考虑。
方法点评：平面图形与立体图形之间的转换，在解题中应尽可能充分地想象，或借助实物。
3.一只蜘蛛在一个正方体的顶 ( http: / / www.21cnjy.com )点A处，一只蚊子在正方体的顶点B出，如图3.3-7所示，现在蜘蛛想尽快地捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的，在图上画出来，这样的最短路线有几条？
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思路点拨：欲求从A到B的最短路线，在立 ( http: / / www.21cnjy.com )体图形中难以解决，可以考虑把正方体展开成平面图形来考虑。如图3.2-8所示，我们都有这样的实际经验，在两点之间，走直路路程最短，因而沿着从A到B的虚线走路程最短。然后再把展开图折叠起来，在正方体上，象这样最短的路线一共有六条。
4.给出两个等边三角形纸片如图3.3-9， ( http: / / www.21cnjy.com )要求用其中一个剪成底面是等边三角形的三棱锥，另一个剪成上下底面是等边三角形的直三棱柱。请你设计一种剪拼的方法，分别在图上用虚线画出来。
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6、把一个等腰三角形沿着中间 ( http: / / www.21cnjy.com )的折痕剪开，得到两个形状和大小完全相同的直角三角形，将这两个直角三角形拼在一起，使得它们有一条相等的边是公共边，能拼出多少种不同的几何图形？画出这些图形来。
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4．下图可以沿线折叠成一个带数字的正方 ( http: / / www.21cnjy.com )体，每三个带数字的面交于正方体的一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是( A ) （还原正方体）
A． 7 B． 8 C． 9 D． 10
A．
B．
C．
D．
1
2
3
6
4
51.2 展开与折叠（课时安排 2 课时）
课题：1.2.1展开与折叠（第一课时） 课型：新课
学习目标
1 、在操作活动中认识棱柱的某些特性．
2 、了解棱柱展开图的形状，能正确地判断和制作简单的立体模型．
学习重点
1、在操作活动中，发展空间观念，积累数学活动经验．认识棱柱的某些特征，形成规范的语言。
2 、能根据棱柱的展开图判断和制作简单的立体图形．
学习难点
根据棱柱的展开图判断和操作简单的立体图形．
教学过程
一、讲授新课 从做一做中认识棱柱的特性（师生互动）
1、棱柱的特点
若有若干几何体，你能立刻找到棱柱吗？棱柱有什么与众不同的特征呢？
(1)棱柱的上、下底面是___________________________．
(2)棱柱的侧面都是______________．
(3)棱柱的所有侧棱长都_____________．
(4)棱柱侧面的个数与底面多图形的边数______________ 。
(5*)棱柱各元素间的数量关系如下：
名称 底面形状 顶点数 棱数 侧棱数 侧面数 侧面形状 总面数
n棱柱
2、棱柱的分类
我们已经了解了棱柱，那么棱柱之间是否还有区别呢？
通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……长方体和正方体都是____________________．
二、你来试一试（带*为选做）
1、如图：
( 1 ）长方体有_________个顶点，_________条棱，
_________个面，这些面形状都是_________。
( 2 ）哪些面的形状和大小一定完全相同？
( 3 ）哪些棱的长度一定相等？
2 ．想一想，再折一折，下面两图经过折叠能否围成棱柱？
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师生小结：
三、用心做一做
［例1］ 三棱柱有_______条棱，_______个面，其中侧面是_______形，_______面的形状一定完全相同．
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[例2] 如下图，哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？先想一想，再折一折．
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学生小结：
四、巩固强化：
1、下面图形经过折叠能否围成棱柱？
2、下图中哪一个是六棱柱的平面展开图
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3、如右图所示的八棱柱，它的底面边长都是5㎝，侧棱长都是8 cm ．请回答下列问题：
这个八棱柱一共有多少个面？
它们的形状分别是什么图形？哪些面的形状、面积完全相同？
( 2 ）这个八棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？
( 3 ）沿一条侧棱将其侧面全部展成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？
4*、一个棱柱有12个顶点，所有侧棱长和为36 cm，求每条侧棱的长．
反思小结：
预习资料：1、棱柱的展开图必须满足什么条件？
2、准备一个用纸做的正方体。
课题： 1.2.2展开与折叠 （第二课时） 课型：新课
学习目标
1 、通过充分的实践，使学生能将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．
2 、了解圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作简单的立体图形．
学习重点
1 、将一个正方体的表面沿某些棱展开，展成平面图形．
2 、圆柱、圆锥的侧面展开图．
学习难点
鼓励学生尽可能多地将一个正方体展成平面图形，并用语言描述其过程．
教学过程
知识回顾：
从棱柱的折叠过程可以知道棱柱的表面展开图
是两个_____________的多边形作底面和几个____________作侧面。
2、棱柱的展开图必须满足________个条件：
（1）______________________________________________
（2）______________________________________________
二、讲授新课：
1、自己动手试一试：
（1）如果给出一个几何体，例如我们最熟知 ( http: / / www.21cnjy.com )的正方体，仿照棱柱的展开图沿某些棱剪开，会得到什么样的平面图形？这样的平面图形有多少种呢？ （同学先做，然后展示给大家看，可以试着讲一讲自己是怎么剪出来的）
（2）你能设法得到下列图形吗？
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师生小结：
三、用心练一练：
[例1]、这些平面图形经过折叠后能否围成一个正方体．
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[例2]、部分几何体的平面展开图．
（1）圆柱的表面展开图是_________作底面和______________作侧面．
（2）圆锥的表面展开图是___________作底面和_______________作侧面．
[例3]、下图所示的平面图形是由哪几种几何体的表面展开的？
(1) (2) (3)
学生小结：
能折成棱柱的平面图形的特征
我们已经见过很多平面图形了，但并不是所有的平面图形都能折成几何体．比如：棱柱．若能折成棱柱，一定要符合以下特点：
(1)棱柱的底面边数与侧面数_______．
(2)棱柱的两个底面要分别在侧面展开图的_______．
四、巩固强化：
1、如下图，哪个是正方体的展开图（ ）
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2、指出下列平面图形是什么几何体的展开图
B
3、下图是正方体的表面展开图，如果将其合成 ( http: / / www.21cnjy.com )原来的正方体（右下图）时，与点P重合的两点应该是 … …… …… …… …… …… …… … （ )
A、S 和 Z B、T 和 Y C、U 和 Y D、T 和 V
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5*、一个正方体纸盒沿棱剪开，需剪几条棱？
6*、将图（ 1 ）中的图形折叠起来围成一个正方体，应该得到图（ 2 ）中的（ )
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反思小结：
预习准备：大块橡皮泥、小刀
【拓展训练】你知道吗？
1．矩形、长方形和正方形都可称为矩形．
2．圆台与棱锥的展开图．
(1)圆台：圆台的展开图是由大小两个圆(作底)和部分扇形(作侧面)组成的．
图1—16
(2)棱锥：棱锥的展开图是由一个多边形(作底)和几个三角形(作侧面)组成的．
图1—17 图1—18
3、正方体的平面展开图
在课本中、习题中会经常遇到让大家辨认正方体表面展开图的题目．为了查阅方便，在此列出正方体的十一种展开图，供大家参考．
[例3] 一个六棱柱模型如右图，它的底面边长都
是5 cm ，侧棱长 4 cm 。
观察这个模型，回答下列问题：
( 1 ）这个六棱柱一共有多少个面？它们分别
是什么形状？哪些面的形状和大小完全相同？
( 2 ）这个六棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？
