海南省2023—2024学年高三学业水平诊断（二）
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合中元素范围，再求交集即可.
【详解】，又，
则.
故选：D.
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的运算法则即可求解.
【详解】由，得.
故选：A.
3. 若双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由渐近线方程，得出，进而得到，再利用右焦点到渐近线的距离为，得出，写出双曲线方程即可.
【详解】由于双曲线的一条渐近线方程为，
即，
因为双曲线的渐近线方程为：，
可得：，即，
从而，
双曲线右焦点的坐标为，
则到渐近线的距离为：，
且到渐近线的距离为，
得，即，，
所以双曲线的方程为：，
故选：A.
4. 已知向量，若不共线，是的平分线，则（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分线可得，故可求.
【详解】因为是的平分线，故，
故，所以，
所以，整理得到，
即，故，
因为不共线，故，故即，
故选：D
5. 如图所示，用若干个正方形拼成一个大矩形，然后在每个正方形中以边长为半径绘制圆弧，这些圆弧连起来得到一段螺旋形的曲线，我们称之为“斐波那契螺旋线”．若图中最大的矩形面积为104，则这段斐波那契螺旋线的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设组成矩形的正方形的边长分别为，根据条件列式解方程求得，进而可得这段斐波那契螺旋线的长度.
【详解】如图：设组成矩形的正方形的面积分别为，其边长分别为，且边长即为圆弧的半径，
则，所以，解得，
则这段斐波那契螺旋线的长度为.
故选：D.
6. 已知都是第二象限角，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据两者之间的推出关系可得正确的选项.
【详解】若，则即，
而都是第二象限角，故，故，
故“”是“”的充分条件.
若，因为都是第二象限角，故，
所以即，
故“”是“”的必要条件，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
7. 已知玩具由四个部件拼成，玩具由三个部件拼成，玩具由，三个部件拼成，其中与完全相同，与完全相同，其余部件各不相同．将三个玩具拆开成10个部件，从中随机选取3个部件，则能拼成一个完整的玩具（其中之一）的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由古典概型的概率公式计算即可.
【详解】由题意知，从10个部件中随机选取3个部件，总共有种方法，
其中能拼成一个完整的玩具（其中之一）的情况有：
，，，，，，共6种，
所以能拼成一个完整的玩具（其中之一）的概率为.
故选：B.
8. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】初步判断三个数值都在0到1之间，常规方法不好处理，可考虑结合导数放缩来比较大小，设，，求出在的单调性，在的单调性，可判断与的大小；，通过同步扩大指数判断与大小，判断，进而得解.
【详解】设，，当时，
，单减，故，即；
设，，当时，，
所以，即，即；
，故最小，
，，，
因为，所以，所以，，
所以
故选：C
【点睛】本题考查由指对幂比大小，常规比大小步骤为：
①结合指对幂函数单调性初步判断每个数值所在区间；
②当两数值所在区间相同时，一般考虑引入中间量进一步比大小；
③若常规方法不好处理时，常考虑构造函数法，结合导数放缩来进一步求解，此法难度较大，对学生基础能力要求较高，平常可积累一部分常见放缩公式，如等.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在长方体中，与平面所成的角为，则（ ）
A. 异面直线与所成的角为 B. 异面直线与所成的角为
C. 与平面所成的角为 D. 与平面所成的角的正弦值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线线角、线面角的向量求法求解即得.
【详解】在长方体中，连接，显然对角面是矩形，即，
由，得，因此矩形是正方形，又平面，
则是与平面所成的角，即，令，则，
建立如图所示的空间直角坐标系，，
对于A，，，
则，因此异面直线与所成的角为，A正确；
对于B，，，
则，因此异面直线与所成的角为，B正确；
对于C，，而平面的法向量，
，显然是不等于的钝角，
因此与平面所成的角不为，C错误；
对于D，平面的法向量，，
所以与平面所成的角的正弦值为，D正确.
故选：ABD
10. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数
B. 仅有1个零点
C. 不等式的解集为
D. 对任意
【答案】ACD
【解析】
【分析】由奇偶函数定义可证奇偶性；观察知或时函数值为0，可判断B项；分讨论解对数不等式可判断C项；结合奇函数不等式变形得，易判断，由导数可证时，，进而判断D项.
【详解】由题可知，定义域为R，关于原点对称，，所以函数为奇函数，A项正确；
由，易判断当或时函数值为0，故至少有3个零点，B项错误；
要使，即等价于或，解得；解得，
故不等式的解集为，C项正确；
要使对任意，即，
因为是奇函数，所以，
因为，，
故只需证明在时，，
，，
当时，，故在单增，
所以，D项正确.
故选：ACD
11. 已知，且，则（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】BD
【解析】
【分析】利用整体法与基本不等式逐一分析各选项即可得解.
【详解】对于A，，
因为，，
令，得，解得或，即或，
当且仅当或时，等号成立，故A错误；
对于B，，解得或，
当且仅当或时，等号成立，故B正确；
对于C，，
所以，
当且仅当或时，等号成立，故C错误；
对于D，，
由选项B知，或，所以或，
则或，故D正确.
故选：BD.
12. 已知抛物线经过点和，过点作直线的垂线，垂足为，则（ ）
A. 的焦点坐标为 B. 直线的斜率的取值范围是
C. 面积的最大值为32 D. 的最大值为24
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，将点A坐标代入抛物线方程可得p，即可得焦点坐标；B选项，由题可设，可得直线斜率表达式，后结合可得范围；
C选项，注意到点Q在以AB为直径的圆上，则当AB边上的高为圆的半径r时，面积最大；D选项，如图，由相交弦定理可知，后由导数
知识求出最小值可判断选项正误.
【详解】A选项，将点A坐标代入，
可得，则，即焦点坐标为，故A错误；
B选项，设，则，
又，则，故B正确；
C选项，如图，取AB中点为M，因，则点Q在以AB为直径的圆M上，
要使面积最大，则AB边上的高最大，即AB边上的高为圆的半径r即可.
因直径，则半径为，则，
故C正确；
D选项，如图，取AB中点即圆心为M，连接PM，直线PM与圆M交于C，D两点.
由相交弦定理，.
因M ，则，
令，其中.则.
注意到，
则.
得在上单调递减，在上单调递增，
则，
即的最大值为，故D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：本题AB选项较为基础；C选项关键为想到Q点轨迹为以AB为直径的圆；
D选项关键为联想到与圆有关线段长度乘积式的圆幂定理，后结合导数知识完成判断.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知直线经过点，且平分圆的面积，则的方程为____________．
【答案】
【解析】
【分析】由直线平分圆的面积，所以直线经过，先求出直线的斜率，然后由点斜式求出方程即可.
【详解】因为直线平分圆的面积，
所以直线经过圆心，又经过点，
所以，所以直线的方程为：.
故答案为：.
14. 若随机变量，且，则____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据对称性确定的值，然后由正态分布的性质可得.
【详解】因为，
所以，且，
所以.
故答案为：
15. 已知函数的部分图象如图所示，则图中矩形（阴影部分）的面积为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据图象可求函数的解析式，再求出的解后可求阴影部分的面积.
【详解】由图象可得，故，故，
故，而图象的一条对称轴为，
且由图象可得在处取最小值，故，
所以，故，
故，令，则，
故或，其中，
故或，故阴影部分对应的矩形的右侧线段在直线，
故阴影部分的面积为.
故答案为：.
16. 已知正三棱锥的四个顶点均在球的表面上，若正三棱锥的体积为，则球的体积的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】设正三棱锥的底边的边长为，在底面上的射影为，连接，连接，先求出底面外接圆的半径，再就球心在正三棱锥的内部和外部分类讨论可求半径的最小值，从而可求体积的最小值.
【详解】
设正三棱锥的底边的边长为，在底面上的射影为，连接，
则平面，连接，则在直线上.
又为等边三角形的中心，故，
又，故，
设球的半径为，则，
若在正三棱锥的内部，则，
故，因为，故，
故，设，，
故，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在为增函数，
故，故.
故在正三棱锥的外部，故，，舍.
故外接球的体积的最小值为.
故答案为：
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设数列的前项和为，若，且．
（1）证明数列是等差数列，并求表达式；
（2）求数列的通项公式．
【答案】17. 证明见解析，
18.
【解析】
【分析】（1）将等式变形为的形式，判定为等差数列，求解即可；
（2）利用与间的关系，求出的通项公式即可.
小问1详解】
由于，且，，
两边同乘，得：，
所以数列是等差数列，其首项，公差为2．
，
所以.
【小问2详解】
当时，
，
当时，不适合上式．
综上，
18. 如图，四棱台的上、下底面均为正方形，平面．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量知识分别说明，即可证明结论；
（2）由（1），利用空间向量知识可得平面的法向量，后由题可说明是平面的一个法向量，
则平面与平面的夹角的余弦值为.
【小问1详解】
依题意可建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，
．
，
，
，
平面．
面；
【小问2详解】
由（1），．
设平面的法向量为，则，
令，则．
四边形是正方形，，
平面，面，则，
平面，则平面.
是平面的一个法向量．
，
平面与平面的夹角的余弦值为．
19. 记的内角的对边分别为，已知且．
（1）证明：；
（2）若，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理，通过边角的转化可证明结论.
（2）先根据条件求出的值，结合条件，可求，的三角函数值，利用三角形内角和定理及和角公式，可求.
【小问1详解】
由正弦定理可得，
，整理可得，
且，
或．
当时，，即，不符合条件．
．
【小问2详解】
由及，可得．
由（1）及正弦定理可得，
．
，
．
20. 某工厂有工人200名，统计他们某天加工产品的件数，统计数据如下表所示：
加工产品的件数
人数 50 80 40 20 10
规定一天加工产品件数大于70的工人为“生产标兵”．已知这天的生产标兵中年龄大于30岁的有15人，这15人占该工厂年龄大于30岁的工人数的．
（1）完成下面的列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为该工厂的工人是否为生产标兵与年龄有关？
年龄不大于30岁 年龄大于30岁
生产标兵
非生产标兵
（2）该工厂采用“阶梯式”的计件工资：日加工产品不超过50件的部分每件1元，超过50件但不超过60件的部分每件2元，超过60件但不超过80件的部分每件3元，超过80件的部分每件5元．假设工人小张每天加工产品的件数只可能为样本数据中各分组区间的右端点值，用对应区间的频率估计其概率，求小张每天的计件工资（单位：元）的期望．
附：．
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）列联表见解析，不能
（2）113
【解析】
【分析】（1）直接根据条件可完成列联表，然后根据公式求得，进而根据表格可得答案；
（2）先求出可取的值，根据条件可得分布列，进而可得期望.
【小问1详解】
列联表如下：
年龄不大于30岁 年龄大于30岁
生产标兵 55 15
非生产标兵 85 45
，
，
根据的独立性检验，不能认为该工厂的工人是否为生产标兵与年龄有关；
【小问2详解】
小张每天加工产品的件数可能为60，70，80，90，100，
对应的计件工资的值依次为，，，，．
的分布列为
70 100 130 180 230
025 0.4 0.2 0.1 0.05
．
21. 已知椭圆的离心率为，上顶点为．
（1）求的方程；
（2）设的右顶点为，点是上的两个动点，且直线与的斜率之和为3，证明：直线过定点．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据离心率和顶点坐标即可求解；
（2）设直线方程为，联立椭圆方程消去y，利用韦达定理代入，然后可得，即可得证.
【小问1详解】
设椭圆的半焦距为，
的离心率为，
的上顶点为，
，
的方程为．
【小问2详解】
由的方程可知．
若直线的斜率不存在，则直线与的斜率互为相反数，不符合题意，
故设直线的方程为，且均不与重合．
由得，
，
，
，
，
令，解得．
直线的方程为，即，
直线过定点.
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22. 已知函数的导函数为．
（1）若，求曲线在点处的切线方程．
（2）若存在两个不同的零点，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义分析求解；
（2）（ⅰ）设，利用导数判断的单调性，结合单调性分析极值；（ⅱ）设，利用导数判断的单调性，结合单调性可得，进而可得，在结合的单调性分析证明.
【小问1详解】
若，则，，
可得，且，
所以曲线在点处的切线方程为．
【小问2详解】
（ⅰ）由题意可知：，
设，则
令，得，
当时，，当上，，
则在上单调递减，在上单调递增，
可得．
且当或时，，
若有两个零点，则，解得，
所以的取值范围为．
（ⅱ）由题意及（ⅰ）知，存在不同，使得，
不妨设，即，则，
设，
则，
当时，，可知在上恒成立，
则在内单调递减，可得，即，
又因为，，则，
且在上单调递增，可得，即．
【点睛】关键点点睛：本题属于极值点偏离问题，解题的关键在于构建函数，利用导数可知在内单调递减，进而可得，再结合题意以及的单调性分析证明.海南省2023—2024学年高三学业水平诊断（二）
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，若不共线，是的平分线，则（ ）
A. B. C. 2 D. 3
5. 如图所示，用若干个正方形拼成一个大矩形，然后在每个正方形中以边长为半径绘制圆弧，这些圆弧连起来得到一段螺旋形的曲线，我们称之为“斐波那契螺旋线”．若图中最大的矩形面积为104，则这段斐波那契螺旋线的长度为（ ）
A B. C. D.
6. 已知都是第二象限角，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知玩具由四个部件拼成，玩具由三个部件拼成，玩具由，三个部件拼成，其中与完全相同，与完全相同，其余部件各不相同．将三个玩具拆开成10个部件，从中随机选取3个部件，则能拼成一个完整的玩具（其中之一）的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 若，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在长方体中，与平面所成的角为，则（ ）
A. 异面直线与所成的角为 B. 异面直线与所成的角为
C. 与平面所成的角为 D. 与平面所成的角的正弦值为
10. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数
B. 仅有1个零点
C. 不等式的解集为
D. 对任意
11. 已知，且，则（ ）
A. B. 或
C. D. 或
12. 已知抛物线经过点和，过点作直线的垂线，垂足为，则（ ）
A. 的焦点坐标为 B. 直线的斜率的取值范围是
C. 面积最大值为32 D. 的最大值为24
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知直线经过点，且平分圆的面积，则的方程为____________．
14. 若随机变量，且，则____________．
15. 已知函数的部分图象如图所示，则图中矩形（阴影部分）的面积为____________．
16. 已知正三棱锥的四个顶点均在球的表面上，若正三棱锥的体积为，则球的体积的最小值为____________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设数列的前项和为，若，且．
（1）证明数列是等差数列，并求表达式；
（2）求数列的通项公式．
18. 如图，四棱台的上、下底面均为正方形，平面．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
19. 记的内角的对边分别为，已知且．
（1）证明：；
（2）若，求．
20. 某工厂有工人200名，统计他们某天加工产品的件数，统计数据如下表所示：
加工产品的件数
人数 50 80 40 20 10
规定一天加工产品件数大于70的工人为“生产标兵”．已知这天的生产标兵中年龄大于30岁的有15人，这15人占该工厂年龄大于30岁的工人数的．
（1）完成下面的列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为该工厂的工人是否为生产标兵与年龄有关？
年龄不大于30岁 年龄大于30岁
生产标兵
非生产标兵
（2）该工厂采用“阶梯式”的计件工资：日加工产品不超过50件的部分每件1元，超过50件但不超过60件的部分每件2元，超过60件但不超过80件的部分每件3元，超过80件的部分每件5元．假设工人小张每天加工产品的件数只可能为样本数据中各分组区间的右端点值，用对应区间的频率估计其概率，求小张每天的计件工资（单位：元）的期望．
附：．
0.05 0.01 0.001
3.841 6635 10.828
21. 已知椭圆的离心率为，上顶点为．
（1）求的方程；
（2）设的右顶点为，点是上的两个动点，且直线与的斜率之和为3，证明：直线过定点．
22. 已知函数的导函数为．
（1）若，求曲线在点处的切线方程．
（2）若存在两个不同的零点，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：．
