2023年秋季学期高二数学月考试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.其中1-8题为单项选择题；9-12为多项选择题，全对得5分，对而不全得2分，有选错的得0分.）
1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】因为，
，
所以.
故选：A.
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据向量垂直的坐标运算求出x，再根据向量的加法法则求解即可.
【详解】，，
，.
故选：B.
3. 若复数z满足，则（ ）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．
【详解】由题意有，故．
故选：B．
4. 一条直线过点和，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求得答案
【详解】设直线的倾斜角为（），
因为直线过点和，且斜率存在，
所以，
因为，所以，
故选：B
5. 直线与圆的位置关系为（ ）
A 相交且过圆心 B. 相交且不过圆心
C. 相切 D. 相离
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆心到直线的距离，与半径比较大小，即可得到结论.
【详解】圆，即，
其圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离，
直线与圆的位置关系为相切.
故选：C
6. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用待定系数法，结合直线垂直的性质即可得解.
【详解】设垂直于直线的直线方程为，
又直线过点，所以，解得，
故所求直线的方程为.
故选：D.
7. 以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意直接写出圆的标准方程即可.
【详解】以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程为.
故选：B
8. 若直线与圆交于两点，且，则（ ）
A. B. C. 1 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，再利用点线距离公式得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】根据圆的标准公式可知圆的圆心为，半径为，
因为，所以圆心到直线的距离为，
又直线可化为，
则，解得或.
故选：D.
9. （多选）已知两点和，则下列说法正确的是（ ）
A. 向量的坐标为
B. 线段的长度为
C. 两点所在直线的斜率为1
D. 过两点的直线方程为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算判断A，利用两点距离公式判断B，利用斜率公式判断C，利用直线的点斜式判断D，从而得解.
【详解】对于AB，因为，，
所以，，故A错误，B正确；
对于CD，，
所以直线的方程为，即，故CD正确.
故选：BCD.
10. 已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线l的倾斜角是
B. 点到直线的距离是2
C. 若直线，则
D. 过与直线平行的直线方程是
【答案】BD
【解析】
【分析】将直线方程的一般式化为斜截式可判断A；利用点线距离公式可判断B；利用两直线的位置关系可判断C；利用待定系数法，结合平行直线的性质可判断D.
【详解】对于A，直线，即，
则其斜率，则其倾斜角是，故A错误；
对于B，点到直线的距离为，故B正确；
对于C，直线，即，其斜率，
而，故直线m与直线l不垂直，故C错误；
对于D，依题意，设所求直线的方程为，
将代入，得，故，
则所求直线为，故D正确.
故选：BD.
11. 过点且与圆相切的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】设切线为,圆心到切线的距离为,圆的半径为
若的斜率不存在,则直线方程为,
圆心到直线的距离,满足题意；
若的斜率存在,设直线方程为,即，
因为直线与圆相切，所以,解得，
所以切线方程为.
故选:AC.
12. （多选）已知三角形的三个顶点分别为，，，则（ ）
A. 边的垂直平分线的方程是
B. 三角形的面积为1
C. 三角形外接圆的方程为
D. 三角形外接圆的圆心坐标
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用直线垂直的性质与中点坐标公式求出的垂直平分线的方程，从而判断A，利用点线距离公式与两点距离公式求得三角形，从而判断B，利用待定系数法求得三角形外接圆的一般方程，从而判断CD．
【详解】对于A，因为，，，
所以，的中点为，
所以边的垂直平分线的方程为，即，故A正确；
对于B，，
边所在直线方程为，即，
则顶点到边的距离为，
所以三角形的面积为，故B正确；
对于CD，不妨设三角形外接圆的方程为，
所以，解得，
所以三角形外接圆的方程为，
化为标准方程得，
所以三角形外接圆的圆心坐标为，故C正确，D错误.
故选：ABC．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 函数的定义域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
14. 已知到直线的距离等于3，则a的值为_________.
【答案】或
【解析】
【分析】由距离公式，解方程得出a的值.
【详解】由距离公式可得，，
即，解得或.
故答案为：或.
15. 过点，且圆心与已知圆相同圆的标准方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】先转化已知圆的方程求得圆的圆心，进而得到所求圆的半径，从而得解.
【详解】已知圆可化为标准方程得，
则圆心的坐标为，
故所求圆的半径，
所以所求圆方程为，
故答案为：.
16. 已知直线，，若，则实数a的值为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得a的值．
【详解】因为直线，，且，
所以，解得，
故答案为：．
三、解答题（共6小题，共75分）
17. 已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且．
（1）求直线的方程；
（2）已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据两直线垂直的关系求得直线的斜率，再利用直线的斜截式即可得解；
（2）联立与的直线方程，求得它们的交点，再利用截距式与待定系数法即可得解.
【小问1详解】
由直线的方程为，，可得直线的斜率为，
又在轴上的截距为，
所以直线的方程为.
【小问2详解】
联立，解得，
因为直线在轴上截距是在轴上的截距的2倍，且过点，
当直线过原点时，方程为：，
当直线不过原点时，设方程为，，
则，解得，
故方程为，即；
综上所述：的方程为或.
18. 过点P作圆的切线，求切线的方程
【答案】
【解析】
【分析】由圆的方程求出圆心和半径，通过计算得到点在圆上，根据切线几何性质进而可得切线的方程.
详解】，即，
则其圆心，半径，
将点代入圆的方程可得，
则点在圆上，则，
直线的方程为，则，
则切线方程为.
19. 已知圆和直线，点P是圆C上动点.
（1）求圆C的圆心坐标及半径；
（2）求点P到直线的距离的最小值.
【答案】（1）圆心坐标，半径为；（2）
【解析】
【分析】
（1）将圆化为标准方程：，即可求解.
（2）求出圆心到直线的距离，减去半径即可.
【详解】（1）由圆，
化为，
所以圆C的圆心坐标，半径为.
（2）由直线，
所以圆心到直线的距离，
所以点P到直线的距离的最小值为.
【点睛】本题考查了圆的标准方程、写出圆的圆心与半径、点到直线的距离公式，属于基础题.
20. 已知圆C经过三点，，．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点且斜率存在的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)利用待定系数法或几何法均可求圆的标准方程；
(2)根据圆的弦长公式求出直线l斜率即可.
【小问1详解】
∵圆C过，，故圆C的圆心在y=4上，
MN的中点为(1，3)，，
故MN的中垂线为：y－3＝－(x－1)，即y＝－x＋4，
令，故圆心，半径，
∴圆C的标准方程为：；
【小问2详解】
设l斜率为k，则l为：，即，
，圆心到直线的距离，
即，解得，得直线的方程为．
21. 某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图：
（1）求抽取的样本老年、中青年、少年的人数；
（2）求频率分布直方图中a的值；
（3）估计当天游客满意度分值的分位数.
【答案】（1）50，40，10
（2）0.020 （3）82.5
【解析】
【分析】（1）求出老年、中青年、少年的人数比例，从而求抽取样本中老年、中青年、少年的人数；
（2）利用频率之和为1列出方程，求出的值；
（3）利用百分位数的定义进行求解.
【小问1详解】
老年625人，中青年500人，少年125人，故老年、中青年、少年的人数比例为，
故抽取100人，样本中老年人数为人，中青年人数为人，少年人数为人；
【小问2详解】
由题意可得，，解得：；
【小问3详解】
设当天游客满意度分值的分位数为，
因为，，
所以位于区间内，
则，解得：，
所以估计当天游客满意度分值的分位数为.
22. 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角；
（2）若是边的中点，，求.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理的边角互化与三角恒等变换化简得到，从而得解；
（2）在中，根据余弦定理求，然后在中利用余弦定理求边，从而得解.
【小问1详解】
，
由正弦定理得，
，
，
，又，，
.
【小问2详解】
在中，，
由余弦定理得，
，即，解得或，
当时，，
所以，；
当时，，
，；
综上，或.2023年秋季学期高二数学月考试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.其中1-8题为单项选择题；9-12为多项选择题，全对得5分，对而不全得2分，有选错的得0分.）
1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若复数z满足，则（ ）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 25
4. 一条直线过点和，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
5. 直线与圆的位置关系为（ ）
A. 相交且过圆心 B. 相交且不过圆心
C. 相切 D. 相离
6. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若直线与圆交于两点，且，则（ ）
A. B. C. 1 D. 或
9. （多选）已知两点和，则下列说法正确的是（ ）
A. 向量的坐标为
B. 线段的长度为
C. 两点所在直线的斜率为1
D. 过两点的直线方程为
10. 已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线l的倾斜角是
B. 点到直线的距离是2
C. 若直线，则
D. 过与直线平行的直线方程是
11. 过点且与圆相切的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
12. （多选）已知三角形的三个顶点分别为，，，则（ ）
A. 边的垂直平分线的方程是
B. 三角形的面积为1
C. 三角形外接圆的方程为
D. 三角形外接圆的圆心坐标
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 函数的定义域是_________．
14. 已知到直线的距离等于3，则a的值为_________.
15. 过点，且圆心与已知圆相同的圆的标准方程为________．
16. 已知直线，，若，则实数a的值为___________.
三、解答题（共6小题，共75分）
17. 已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且．
（1）求直线的方程；
（2）已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程．
18. 过点P作圆切线，求切线的方程
19. 已知圆和直线，点P是圆C上动点.
（1）求圆C的圆心坐标及半径；
（2）求点P到直线的距离的最小值.
20 已知圆C经过三点，，．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点且斜率存在的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程．
21. 某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图：
（1）求抽取样本老年、中青年、少年的人数；
（2）求频率分布直方图中a的值；
（3）估计当天游客满意度分值分位数.
22. 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角；
（2）若是边的中点，，求.
