第06讲 第五章 一元函数的导数及其应用 章节综合测试
本试卷满分150分，考试用时120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2023下·广西玉林·高二校考期中），则（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】C
【详解】∵，，∴.
故选：C.
2．（2023下·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
又因为曲线过点，
由点斜式可得，化简可得，
所以切线方程是，
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，
∵在，上为增函数；上为减函数,
∴两根分别位于和中，
得，即，解得.
故选：B
4．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】方法一：因为在上单调递增，
所以.
设，则，
当时，，
所以再上单调递增，
所以，
所以，即，
所以.
综上，得，故选：B.
方法二：因为在上单调递增，
所以.
又.
综上，得，故选：B.
故选：B.
5．（2023上·陕西西安·高三西安市第三中学校考期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减，
则当时，时，时，
所以不等式的解集为.
故选：A
6．（2023上·江苏盐城·高二校考期中）已知函数（是的导函数），则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【详解】因为
所以定义域为.
所以
当时，，，则
故选：A
7．（2023上·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为函数在上有两个极值点，
所以在上有两个变号零点，
因为，令，即，可得．
令，则，
令，得，令，得，
所以，函数在上递增，在上递减，
因为，，，如下图所示：
当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
设两个交点的横坐标分别为、，且，
由图可知，当或时，，此时，，
当时，，此时，，
所以，函数在上递增，在上递减，在上递增，
此时，函数有两个极值点，合乎题意.
因此，实数的取值范围为.
故选：B.
8．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设，
，
等价于，即，
令，则，
所以函数在上单调递减，
则不等式在上恒成立，
即不等式在上恒成立，令，
则，令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，且，
所以，解得，
即实数a的取值范围为.
故选：D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】由基本初等函数的求导公式以及导数运算法则可得：
对A，，A正确；
对B，，B错误；
对C，，C错误；
对D，，D正确.
故选：AD
10．（2023上·江苏·高二期末）已知函数，，，则实数a的值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．e
【答案】AD
【详解】时，,，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故结合指数函数以及时函数的单调性作出的图象：
因为时，，，
故设过点的切线的切点坐标为，则，
即，则该切线斜率为，
过点的切线方程为；
对于时，时，当取无限大时，趋近于0，
即无限接近于，且，
故要使得，成立，
结合图象，可得且，即，
结合选项可知，符合题意，
故选：AD
11．（2023上·江苏宿迁·高二校考期中）已知函数（为常数），则下列结论正确的有（ ）
A．时，恒成立
B．时，是的极值点
C．若有3个零点，则的范围为
D．时.有唯一零点且
【答案】CD
【详解】对于A，当时，令，
令，则，在上单调递增，在上单调递减，故，在上单调递增,，故A错误；
对于B，当时，令，
令，则，在上单调递增，在上单调递减，故，在上单调递增,无极值，故B错误；
对于C，令，当时，显然，故不是函数的零点，当时，则，记，则，
令得或，故在单调递增，在单调递减，且，且当和时，，故有3个零点，则的范围为，C正确，
对于D，当时，，，令，，则，在上单调递增，在上单调递减，故，在上单调递增，则此时至多只有一个零点，
又，
由零点存在性定理可知，存在唯一的，满足，选项D正确；
故选：CD．
12．（2023上·江苏南京·高二期末）经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数．若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．的值可能是 D．的值可能是
【答案】ABC
【详解】由题意可得，因为，所以，所以，
解得，所以．
因为，所以等价于对任意恒成立．令，则.
设，则，从而在上单调递增．因为，所以，即，
则（当且仅当时，等号成立），
从而，所以．
故选：ABC．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023上·全国·高二期末）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的周长为 .
【答案】/
【详解】因为，所以，则，
又，所以切线方程为，即，
则切线与坐标轴的交点为，，
则所求周长为.
故答案为：.
14．（2023下·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
当时，，此时在R上单调递增，无极值；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数存在极小值点，
依题意，，解得，
所以，实数a的取值范围是．
故答案为：
15．（2023上·宁夏银川·高三校联考阶段练习）已知函数，关于x的方程有3个不同的解，则m的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意可知，方程有3个不同的解转化为函数与图象的有个不同交点.
当时，，
由，即，解得，
由，即，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取的极大值为；
作出与的大致图象，如图所示.
由图可知，要使函数与图象的有个不同交点，只需要.
所以m的取值范围是.
故答案为：.
16．（2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）设函数，则函数的最小值为 ；若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】的导数为，
则时，，单调递减；时，，单调递增，
可得在处取得极小值，且为最小值；
令，，
又对任意，存在，
有恒成立，即恒成立，即；
时，，当且仅当时取得最小值2，
，，
则时，，单调递减；时，，单调递增，
可得在处取得极小值，且为最小值；
所以，由，可得．
所以的取值范围是.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（2023上·上海·高二校考阶段练习）（1）已知函数，求；
（2）已知曲线，求曲线在处的切线方程.
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）因为，
等式两边求导可得，
所以，，即，解得；
（2）因为，则，
所以，，，
所以，曲线在处的切线方程为，即.
18．（2023上·江苏徐州·高二徐州市第一中学校考阶段练习）己知函数．
(1)求曲线的斜率等于的切线方程；
(2)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）易知函数的定义域为，且，
若，解得，则切点为；
所以切线方程为，即.
（2）易知曲线在点处的切线斜率为，
切线方程为,
令，可得；令，可得；
所以可得，
则，
令可得，当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减；
所以在处取得极小值，也是最小值，即.
即可得的最小值为.
19．（2023下·上海普陀·高二校考期中）已知函数在与时都取得极值.
(1)求的值与函数的单调区间.
(2)求该函数在的极值和单调性.
(3)设，若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，增区间，减区间
(2)极大值是，极小值是；增区间、，减区间
(3)或
【详解】（1），
由于在与时都取得极值，
所以，解得，
，
所以在上单调递增，
在上单调递减，
所以是的极大值，是的极小值.
所以，增区间，减区间.
（2），
由（1）得在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，所以在区间上，
极大值是，
极小值是.
（3）由上述分析可知，在区间上单调递增，
在区间上单调递减，，
，
所以在区间上的最大值是，
在区间上恒成立，所以，
，解得或.
20．（2023·四川德阳·统考一模）已知函数．
(1)求曲线在处的切线并比较与的大小关系；
(2)记函数的极大值点为，已知表示不超过的最大整数，求．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由题得，切点为，
因为，所以．
故所求切线为
又
当时，，所以；
当时，，所以
综上，．
（2）因为
所以
令，得或
因为在上单增，
故在有根，可知在上增，上减，在上增
所以，的极大值点为且且．
故
所以，故．
21．（2023·上海嘉定·统考一模）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．
材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，
圆形截面 正方形截面 矩形截面
条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽，
抗弯截面系数
(1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；
(2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理．
【答案】(1)矩形截面的梁的截面形状最好.
(2)答案见解析
【详解】（1）解：假设截面面积均为正常数，
可得，，，
所以，
又因为，所以，所以,
综上，，于是矩形截面的梁的截面形状最好.
（2）解：由，
可得，
可得
极大值
所以，当时，取得最大值，
此时，当，于是，
因为的结论与抗弯系数理论的结论不同，但比较接近，是合理的，应肯定李诫从实践总总结的经验的实用价值，
考虑到所处的时代，从历史辩证的角度，其观点代表了我国古代在工程技术方面已经达到了较高的水平.
22．（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）已知函数，．
(1)求在处的切线方程；
(2)当时，，数列满足，且，证明：；
(3)当时，恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）∵，∴，
所以，，
∴在处的切线方程为.
（2）当时，，
所以，则，
令，得；令，得；
∴在上单调递减，在上单调递增，∴，
∵，
要证，即证，
又，，即证，
令，则，
∴在上为减函数，且，
因为，
又，∴，
∴，则，
∴，即，
∴成立，原式得证．
（3）∵恒成立，，
令，则，
所以当时，等价于恒成立．
由于，，
（i）当时，，函数在上单调递增，
所以，在区间上恒成立，符合题意；
（ii）当时，在上单调递增，．
①当，即时，，
函数在上单调递增，
所以在上恒成立，符合题意；
②当，即时，，，
若，即时，在上恒小于0，
则在上单调递减，，不符合题意；
若，即时，存在，使得，
所以当时，，则在上单调递减，
则，不符合题意．
综上所述，的取值范围是.第06讲 第五章 一元函数的导数及其应用 章节综合测试
本试卷满分150分，考试用时120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2023下·广西玉林·高二校考期中），则（ ）
A． B．2 C． D．6
2．（2023下·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023上·陕西西安·高三西安市第三中学校考期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）.
A． B．
C． D．
6．（2023上·江苏盐城·高二校考期中）已知函数（是的导函数），则（ ）
A． B．1 C．2 D．
7．（2023上·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023上·江苏·高二期末）已知函数，，，则实数a的值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．e
11．（2023上·江苏宿迁·高二校考期中）已知函数（为常数），则下列结论正确的有（ ）
A．时，恒成立
B．时，是的极值点
C．若有3个零点，则的范围为
D．时.有唯一零点且
12．（2023上·江苏南京·高二期末）经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数．若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．的值可能是 D．的值可能是
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023上·全国·高二期末）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的周长为 .
14．（2023下·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是 ．
15．（2023上·宁夏银川·高三校联考阶段练习）已知函数，关于x的方程有3个不同的解，则m的取值范围是 .
16．（2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）设函数，则函数的最小值为 ；若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（2023上·上海·高二校考阶段练习）（1）已知函数，求；
（2）已知曲线，求曲线在处的切线方程.
18．（2023上·江苏徐州·高二徐州市第一中学校考阶段练习）己知函数．
(1)求曲线的斜率等于的切线方程；
(2)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
19．（2023下·上海普陀·高二校考期中）已知函数在与时都取得极值.
(1)求的值与函数的单调区间.
(2)求该函数在的极值和单调性.
(3)设，若恒成立，求的取值范围.
20．（2023·四川德阳·统考一模）已知函数．
(1)求曲线在处的切线并比较与的大小关系；
(2)记函数的极大值点为，已知表示不超过的最大整数，求．
21．（2023·上海嘉定·统考一模）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．
材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，
圆形截面 正方形截面 矩形截面
条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽，
抗弯截面系数
(1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；
(2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理．
22．（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）已知函数，．
(1)求在处的切线方程；
(2)当时，，数列满足，且，证明：；
(3)当时，恒成立，求a的取值范围．
