初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 2.1两条直线的位置关系）
一、选择题
1．在同一平面内，有a，b，c三条直线，若a与b不平行，b与c不平行，则下列判断中，正确的是（ ）
A．a与c一定平行 B．a与c一定不平行
C．a与c一定垂直 D．a与c可能相交，也可能平行
【答案】D
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：∵a、b、c为同一平面内的三条直线，且a与b不平行，b与c不平行，
∴a与c可能平行也可能相交.
故答案为：D.
【分析】此题只给出了同一平面内三条直线a、b、c中a与b和b与c的位置关系，故根据同一平面内两条直线的位置关系是相交或平行可得a与c的位置关系.
2．（2023七下·迪庆期末）如图所示，直线，相交于点，于点，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：∵于点，
∴∠EOB=90°，
∵直线，相交于点，
∴∠COE+∠BOD+∠EOB=180°，
∵∠COE=50°，
∴50°+∠BOD+90°=180°，
解得∠BOD=40°.
故答案为：A.
【分析】利用平角的意义，列出关于待求角的关系式，由得出∠EOB=90°，连同代入上述关系式中，转化为待求角的方程求解.
3．如图，，点，，在同一直线上，若，则的度数为（ ）
A．113° B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；邻补角
【解析】【解答】解：，，
，
.
故答案为：A.
【分析】先利用角的和差求得的度数，再通过邻补角的性质得到的度数.
4．（2023七下·易县期末）如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上只存在一个点，记的长度为，则的值可以是（ ）
A．7 B．2 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵BA=6，DA=3，
∴d的最小值为3，
当d＞6时，射线BC上存在一个点P；
当3＜d≤6时，射线BC上存在两个点P；
当d=3时，射线BC上存在一个点 P；
当d＜3时，射线BC上不存在点 P；
综上所述，d的值可以为7，
故答案为：A
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，进而根据垂线段最短即可得到d的最小值为3，再结合题意进行分类讨论即可求解。
5．（2023七下·惠东期末）如图，直线公路l上共有A、B、C、D四个核酸检测点，若从点M用相同速度到任意一个核酸检测点，用时最短的路径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据垂线段最短的性质可得：CM最短，故用时最短的路径是MC.
故答案为：C.
【分析】根据垂线段最短的性质进行解答.
6．（2023七下·槐荫期中）用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A． 测量跳远成绩
B． 木板上弹墨线
C． 两钉子固定木条
D． 弯曲河道改直
【答案】A
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：
A、运用了垂线段最短，A符合题意；
BCD、运用了两点间线段最短，BCD不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据垂线段最短，两点间线段最短即可求解。
7．（2023七下·遵义月考）小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线ln(n=1，2，3，4，5，6，7)，其中l1、l2互相平行，l3、l4、I5三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多是（ ）
A．17个 B．18个 C．19个 D．21个
【答案】B
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：∵ l1、l2互相平行 ，
∴l3，l4，l5分别与l1，l2最多各有2个交点，
∵l3，l4，l5相交于一点，
∴l3，l4，l5只有1个交点；
l6与l1、l2、l3，l4，l5最多有5个交点；
l7与l1、l2、l3，l4，l5、l6最多有6个交点；
∴这7条直线的交点个数最多的交点数为2×3+1+5+6=18个.
故答案为：B
【分析】利用已知 l1、l2互相平行 ，因此 l1、l2没有交点，l3，l4，l5分别与l1，l2最多各有2个交点，再根据l3，l4，l5相交于一点；l6与l1、l2、l3，l4，l5最多有5个交点；l7与l1、l2、l3，l4，l5、l6最多有6个交点，据此可得到这7条直线的交点个数最多的数量.
8．下列说法正确的是（ ）
A．同一平面内不相交的两线段必平行
B．同一平面内不相交的两射线必平行
C．同一平面内不相交的一条线段与一条直线必平行
D．同一平面内不相交的两条直线必平行
【答案】D
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】同一平面内不相交的两条直线必平行.可画图解答
【分析】考查了直线（两方无限延伸），射线（一方无限延伸），线段是直线上两点间的部分（不向两方延伸）.
二、填空题
9．（2023七下·官渡期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥CD于点O，若∠AOE＝65°，则∠BOF的度数是 ．
【答案】40°
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OE平分∠AOD，∠AOE＝65°，
∴∠AOD=2∠AOE＝130°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=50°，
∵OF⊥CD，
∴∠FOD=90°，
∴∠BOF=90°-∠BOD=40°，
故答案为：40°.
【分析】根据角平分线求出∠AOD=2∠AOE＝130°，再求出∠FOD=90°，最后计算求解即可。
10．（2023七下·桐城期末）如图，直线，相交于点O，平分．
（1）若，则 ．（用含α的式子表示）
（2）若，，则 ．
【答案】（1）
（2）或
【知识点】垂线；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOD=α，
∴∠BOC=α，∠AOC=180°-α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=，
∴∠AOE=180°-α+=180°-；
故第1空答案为：180°-；
（2）分成两种情况：
①如图1，∵∠AOD=68°，
∴∠BOD=112°，∠BOC=68°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=34°，
∵OF⊥CD，
∴∠DOF=90°，
∴∠BOF=22°，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=34°+22°=56°；
②如图2，由①知，∠COE=34°，
又∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠EOF=34°+90°=124°。
图1 图2
故第1空答案为：124°或56°。
【分析】（1）根据对顶角及邻补角的性质分别得出∠BOC和∠AOC，再根据角平分线的性质得出∠COE，进一步可求得∠AOE=∠AOC+∠COE即可；
（2）根据如图所示的两种情况，分别求得∠EOF的度数：①∠EOF=∠BOE+∠BOF=34°+22°=56°；②∠EOF=∠COE+∠COF=34°+90°=124°。
11．（2023七下·顺义期末）如图，点O在直线上，过点O作射线，，．从下面的四个条件中任选两个，可以推出的是 （写出一组满足题意的序号）．
①；②和互余；③；④．
【答案】①③（答案不唯一）
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】解：选择 ①；③；
∴∠1+∠2=∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠4，
故答案为：①③（答案不唯一） .
【分析】根据垂线的定义，余角的性质计算求解即可。
12．（2023七下·綦江期中）如图，已知的面积为25，，在直线上有一动点P，连接点C、P，则线段的最小值为： ．
【答案】5
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：当CP⊥AB时，CP的值最小，
此时S△ABC＝AB·CP，
∵△ABC的面积为25，AB＝10，
∴×10·CP＝25，
∴CP＝5，
即线段的最小值为5，
故答案为：5.
【分析】根据垂线段最短，可得当CP⊥AB时线段CP的值最小，再利用三角形的面积公式求出CP的值即可。
三、综合题
13．（2022七下·襄州期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD.
（1）若∠EOF＝55°，OD⊥OF，求∠AOC的度数；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠DOE的度数.
【答案】（1）解：∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE，
∵∠EOF＝55°，OD⊥OF，
∴∠DOE＝35°，
∴∠BOE＝35°，
∴∠AOC＝70°；
（2）解：∵OF平分∠COE，
∴∠COF＝∠EOF，
∵∠BOF＝15°，
∴设∠DOE＝∠BOE＝x，
则∠COF＝x+15°，
∴x+15°+x+15°+x＝180°，
解得：x＝50°，
故∠DOE的度数为：50°.
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念得∠BOE＝∠DOE，由余角的性质得∠DOE=90°-∠EOF=35°，据此可得∠BOD的度数，然后根据对顶角的性质进行解答；
（2）根据角平分线的概念可得∠COF＝∠EOF，设∠DOE＝∠BOE＝x，则∠COF＝x+15°，然后根据平角的概念进行计算.
14．（2023七下·陇县期中）如图，直线，，相交于点．
（1）写出，的邻补角；
（2）写出，的对顶角；
（3）如果，求，．
【答案】（1）解：由图及题意可知：的邻补角是，；
的邻补角是：，；
（2）解：的对顶角是，的对顶角是；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴；．
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【分析】（1）若两个角有一条公共边以及共同的顶点，那么这两个角被称作一对邻补角，也可以将其中的一个角称为另一个角的邻补角，据此解答；
（2）如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，据此解答；
（3）根据对顶角的性质可得∠BOD=∠AOC=50°，由邻补角的性质可得∠COB=180°-∠BOD，据此解答.
15．（2023七下·宁河月考）如图，直线相交于点O，，平分，．
（1）当时，求的度数（填空完成下列说理过程）；
解： （已知）
_▲_
_▲_（邻补角定义）
_▲_
平分（已知）
_▲_ （ ）
_▲_
（2）当 时，（直接填空）．
【答案】（1）解：（1） （已知）
，
（邻补角定义）
，
平分（已知）
（角平分线的定义）
，
（2）54°
【知识点】邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（2），，
，
，
平分（已知）
，
∵，
∴，
解得
∴当时，，
故答案为：．
【分析】（1）由平角的定义可得∠2=180°-∠1-∠EOD=50°，利用邻补角的定义可得∠BOC=180°-∠2=130°，根据角平分线的定义可得∠3=∠BOC，继而得解；
（2）由平角的定义可得∠2=90°-x，利用邻补角的定义可得∠BOC=90°+x，根据角平分线的定义可得∠3=45°+x，根据建立方程并解之即可.
1 / 1初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 2.1两条直线的位置关系）
一、选择题
1．在同一平面内，有a，b，c三条直线，若a与b不平行，b与c不平行，则下列判断中，正确的是（ ）
A．a与c一定平行 B．a与c一定不平行
C．a与c一定垂直 D．a与c可能相交，也可能平行
2．（2023七下·迪庆期末）如图所示，直线，相交于点，于点，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，点，，在同一直线上，若，则的度数为（ ）
A．113° B． C． D．
4．（2023七下·易县期末）如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上只存在一个点，记的长度为，则的值可以是（ ）
A．7 B．2 C．5 D．6
5．（2023七下·惠东期末）如图，直线公路l上共有A、B、C、D四个核酸检测点，若从点M用相同速度到任意一个核酸检测点，用时最短的路径是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·槐荫期中）用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A． 测量跳远成绩
B． 木板上弹墨线
C． 两钉子固定木条
D． 弯曲河道改直
7．（2023七下·遵义月考）小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线ln(n=1，2，3，4，5，6，7)，其中l1、l2互相平行，l3、l4、I5三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多是（ ）
A．17个 B．18个 C．19个 D．21个
8．下列说法正确的是（ ）
A．同一平面内不相交的两线段必平行
B．同一平面内不相交的两射线必平行
C．同一平面内不相交的一条线段与一条直线必平行
D．同一平面内不相交的两条直线必平行
二、填空题
9．（2023七下·官渡期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥CD于点O，若∠AOE＝65°，则∠BOF的度数是 ．
10．（2023七下·桐城期末）如图，直线，相交于点O，平分．
（1）若，则 ．（用含α的式子表示）
（2）若，，则 ．
11．（2023七下·顺义期末）如图，点O在直线上，过点O作射线，，．从下面的四个条件中任选两个，可以推出的是 （写出一组满足题意的序号）．
①；②和互余；③；④．
12．（2023七下·綦江期中）如图，已知的面积为25，，在直线上有一动点P，连接点C、P，则线段的最小值为： ．
三、综合题
13．（2022七下·襄州期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD.
（1）若∠EOF＝55°，OD⊥OF，求∠AOC的度数；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠DOE的度数.
14．（2023七下·陇县期中）如图，直线，，相交于点．
（1）写出，的邻补角；
（2）写出，的对顶角；
（3）如果，求，．
15．（2023七下·宁河月考）如图，直线相交于点O，，平分，．
（1）当时，求的度数（填空完成下列说理过程）；
解： （已知）
_▲_
_▲_（邻补角定义）
_▲_
平分（已知）
_▲_ （ ）
_▲_
（2）当 时，（直接填空）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：∵a、b、c为同一平面内的三条直线，且a与b不平行，b与c不平行，
∴a与c可能平行也可能相交.
故答案为：D.
【分析】此题只给出了同一平面内三条直线a、b、c中a与b和b与c的位置关系，故根据同一平面内两条直线的位置关系是相交或平行可得a与c的位置关系.
2．【答案】A
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：∵于点，
∴∠EOB=90°，
∵直线，相交于点，
∴∠COE+∠BOD+∠EOB=180°，
∵∠COE=50°，
∴50°+∠BOD+90°=180°，
解得∠BOD=40°.
故答案为：A.
【分析】利用平角的意义，列出关于待求角的关系式，由得出∠EOB=90°，连同代入上述关系式中，转化为待求角的方程求解.
3．【答案】A
【知识点】角的运算；邻补角
【解析】【解答】解：，，
，
.
故答案为：A.
【分析】先利用角的和差求得的度数，再通过邻补角的性质得到的度数.
4．【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵BA=6，DA=3，
∴d的最小值为3，
当d＞6时，射线BC上存在一个点P；
当3＜d≤6时，射线BC上存在两个点P；
当d=3时，射线BC上存在一个点 P；
当d＜3时，射线BC上不存在点 P；
综上所述，d的值可以为7，
故答案为：A
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，进而根据垂线段最短即可得到d的最小值为3，再结合题意进行分类讨论即可求解。
5．【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据垂线段最短的性质可得：CM最短，故用时最短的路径是MC.
故答案为：C.
【分析】根据垂线段最短的性质进行解答.
6．【答案】A
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：
A、运用了垂线段最短，A符合题意；
BCD、运用了两点间线段最短，BCD不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据垂线段最短，两点间线段最短即可求解。
7．【答案】B
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：∵ l1、l2互相平行 ，
∴l3，l4，l5分别与l1，l2最多各有2个交点，
∵l3，l4，l5相交于一点，
∴l3，l4，l5只有1个交点；
l6与l1、l2、l3，l4，l5最多有5个交点；
l7与l1、l2、l3，l4，l5、l6最多有6个交点；
∴这7条直线的交点个数最多的交点数为2×3+1+5+6=18个.
故答案为：B
【分析】利用已知 l1、l2互相平行 ，因此 l1、l2没有交点，l3，l4，l5分别与l1，l2最多各有2个交点，再根据l3，l4，l5相交于一点；l6与l1、l2、l3，l4，l5最多有5个交点；l7与l1、l2、l3，l4，l5、l6最多有6个交点，据此可得到这7条直线的交点个数最多的数量.
8．【答案】D
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】同一平面内不相交的两条直线必平行.可画图解答
【分析】考查了直线（两方无限延伸），射线（一方无限延伸），线段是直线上两点间的部分（不向两方延伸）.
9．【答案】40°
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OE平分∠AOD，∠AOE＝65°，
∴∠AOD=2∠AOE＝130°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=50°，
∵OF⊥CD，
∴∠FOD=90°，
∴∠BOF=90°-∠BOD=40°，
故答案为：40°.
【分析】根据角平分线求出∠AOD=2∠AOE＝130°，再求出∠FOD=90°，最后计算求解即可。
10．【答案】（1）
（2）或
【知识点】垂线；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOD=α，
∴∠BOC=α，∠AOC=180°-α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=，
∴∠AOE=180°-α+=180°-；
故第1空答案为：180°-；
（2）分成两种情况：
①如图1，∵∠AOD=68°，
∴∠BOD=112°，∠BOC=68°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=34°，
∵OF⊥CD，
∴∠DOF=90°，
∴∠BOF=22°，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=34°+22°=56°；
②如图2，由①知，∠COE=34°，
又∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠EOF=34°+90°=124°。
图1 图2
故第1空答案为：124°或56°。
【分析】（1）根据对顶角及邻补角的性质分别得出∠BOC和∠AOC，再根据角平分线的性质得出∠COE，进一步可求得∠AOE=∠AOC+∠COE即可；
（2）根据如图所示的两种情况，分别求得∠EOF的度数：①∠EOF=∠BOE+∠BOF=34°+22°=56°；②∠EOF=∠COE+∠COF=34°+90°=124°。
11．【答案】①③（答案不唯一）
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】解：选择 ①；③；
∴∠1+∠2=∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠4，
故答案为：①③（答案不唯一） .
【分析】根据垂线的定义，余角的性质计算求解即可。
12．【答案】5
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：当CP⊥AB时，CP的值最小，
此时S△ABC＝AB·CP，
∵△ABC的面积为25，AB＝10，
∴×10·CP＝25，
∴CP＝5，
即线段的最小值为5，
故答案为：5.
【分析】根据垂线段最短，可得当CP⊥AB时线段CP的值最小，再利用三角形的面积公式求出CP的值即可。
13．【答案】（1）解：∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE，
∵∠EOF＝55°，OD⊥OF，
∴∠DOE＝35°，
∴∠BOE＝35°，
∴∠AOC＝70°；
（2）解：∵OF平分∠COE，
∴∠COF＝∠EOF，
∵∠BOF＝15°，
∴设∠DOE＝∠BOE＝x，
则∠COF＝x+15°，
∴x+15°+x+15°+x＝180°，
解得：x＝50°，
故∠DOE的度数为：50°.
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念得∠BOE＝∠DOE，由余角的性质得∠DOE=90°-∠EOF=35°，据此可得∠BOD的度数，然后根据对顶角的性质进行解答；
（2）根据角平分线的概念可得∠COF＝∠EOF，设∠DOE＝∠BOE＝x，则∠COF＝x+15°，然后根据平角的概念进行计算.
14．【答案】（1）解：由图及题意可知：的邻补角是，；
的邻补角是：，；
（2）解：的对顶角是，的对顶角是；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴；．
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【分析】（1）若两个角有一条公共边以及共同的顶点，那么这两个角被称作一对邻补角，也可以将其中的一个角称为另一个角的邻补角，据此解答；
（2）如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，据此解答；
（3）根据对顶角的性质可得∠BOD=∠AOC=50°，由邻补角的性质可得∠COB=180°-∠BOD，据此解答.
15．【答案】（1）解：（1） （已知）
，
（邻补角定义）
，
平分（已知）
（角平分线的定义）
，
（2）54°
【知识点】邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（2），，
，
，
平分（已知）
，
∵，
∴，
解得
∴当时，，
故答案为：．
【分析】（1）由平角的定义可得∠2=180°-∠1-∠EOD=50°，利用邻补角的定义可得∠BOC=180°-∠2=130°，根据角平分线的定义可得∠3=∠BOC，继而得解；
（2）由平角的定义可得∠2=90°-x，利用邻补角的定义可得∠BOC=90°+x，根据角平分线的定义可得∠3=45°+x，根据建立方程并解之即可.
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