初中数学同步训练必刷提高卷（北师大版七年级下册 2.3平行线的性质）
一、选择题
1．（2023九上·南明期中）如图，已知直线a∥b，∠1＝105° ，则∠2等于 （ ）
A．65° B．75° C．85° D．105°
2．（2017八下·萧山期中）下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．邻角互补 B．对角互补
C．对边相等 D．对角线互相平分
3．如图，小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次画出了直线a，b，c.若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A．110° B．70° C．40°. D．30°
4．把一副三角尺按如图所示的方式摆放，使 FD∥BC.若点 E 恰好落在 CB的延长线上，则∠BDE的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．30°
5．（2023七下·金堂期末） 公元前200年，古希腊地理学家埃拉托色尼将天文学与测地学结合起来测量地球圆周，他提出设想：在夏至日那天，分别在两地同时观察太阳的位置，并根据地物阴影的长度差异，加以研究分析，从而总结出计算地球圆周的科学方法．他发现，在当时的城市塞恩（图中的A点），直立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在500英里以外的亚历山大（图中的B点），直立的杆子的影子却偏离垂直方向（图中角等于）．根据这个数据，可以算出地球一周的总长约等于，这是因为弧AB的长地球周长的缘故，其中弧AB的长大约为．题目中运用到的平行线相关定理是（ ）
A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等
6．（2023八上·无为月考）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，为焦点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九下·松原月考）将一副常规直角三角板按如图所示的位置摆放在一把直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．70 B．75 C．80 D．85
8．将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内， ∠1=25°， ∠2=30°，则∠3的度数为（ ）
A．55° B．65° C．70° D．75°
二、填空题
9．（2022七下·上城期末）如图， ， ，当 °时， .
10．如图，在三角形ABC中，D，E，F分别是三条边上的点，EF∥AC，DF∥AB，∠B=45°，∠C=60°，则∠EFD的度数为 .
11．（2016七上·黑龙江期中）如图，将三角板与两边平行的直尺（EF∥HG）贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB=90°）在直尺的一边上，若∠2=55°，则∠1的度数等于 ．
12．（2023七上·哈尔滨期中）如图1，当光线在空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为4：3，如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水平面夹角度数分别为x，y，在水中两条折射光线的夹角度数为m、则m＝ ．（用含x，y的式子表示）
三、解答题
13． 如图所示，AB∥EF∥CD，∠A BC=45°，∠CEF=155°，求∠BCE的度数．
14．（2023七下·禅城期末）问题：“平面内，当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角有怎样的数量关系？”
（1）小明阅读问题后，画出了一个如图所示的图形（已知，），在这个图形中，与之间的数量关系是什么？试说明理由．
（2）当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，若其中一个角的度数是，那么另一个角的度数是 ．
15．（2023七下·敦化期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形回答下列问题：
（1）如图，，，直接写出与的关系 ；
（2）如图，，，猜想与的关系，并说明理由；
（3）由（1）（2），我们可以得出结论：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角 ；
（4）应用：两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的倍少，求出这两个角的度数分别是多少度？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵a∥b，∠1＝105°，
∴∠1＝∠3＝105°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝75°；
故答案为：B
【分析】结合题意运用平行线的性质即可求解。
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】平行四边形具有：两组对边互相平行，两组对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分.
故选B.
【分析】考查平行四边形的性质.
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，由题意得，∠4=30°，b∥c，
∴∠3=∠1=70°，
∵∠3=∠4+∠5=70°，
∴∠5=40°，
∴∠2=∠5=40°，
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质得到∠3=∠1=70°，三角形的外角的性质得到∠3=∠4+∠5=70°，由∠2=∠5即可解答．
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵FD∥BC，
∴∠FDB=∠ABC=60°，
又∵∠FDE=45°，
∴∠BDE=60°-45°=15°，
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠FDB=∠ABC=60°；即可求解.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意知：在A点立杆，没有影子，在B点立杆，影子却偏离垂直方向，即= ，
∵立杆点A、B处的两条直线平行，
∴ ∠AOB==（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：D.
【分析】根据平行投影的定义及平行线的性质解答即可.
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：D
【分析】先根据平行线的性质得到，进而结合题意得到，再结合题意即可求解。
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
，
，
直尺上下两边互相平行，
，
故答案为：B
【分析】根据三角板即可得到∠2的度数，进而运用平行线的性质即可求解。
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如下图：
由题意可得：∠CAE=90°，∠ACF=45°，
∵∠1=25°，
∴∠BAC=∠1+∠CAE=115°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-∠BAC=180°-115°=65°，
∴∠3=180°-∠ACD-∠ACF=180°-65°-45°=70°．
故答案为：C．
【分析】先求出∠BAC=115°，然后利用平行线的性质可求得∠ACD的度数，最后利用平角的定义即可求得∠3的度数．
9．【答案】130
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解： ，
，
要使 ，则 ，
，
即当 时， .
故答案为：130.
【分析】根据平行线的性质可得∠BDC=∠C=50°，∠B+∠BDC=180°，据此求解.
10．【答案】75°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵EF∥AC， ∠C=60°，
∴∠EFB=∠C=60°（两直线平行，同位角相等），
∵ DF∥AB，∠B=45°，
∴∠DFC=∠B=45°（两直线平行，同位角相等），
∴∠EFD=180°-∠EFB-∠DFC=75°.
故答案为：75°.
【分析】由两直线平行，同位角相等，得∠EFB=∠C=60°，∠DFC=∠B=45°，进而根据平角定义可求出∠EFD得度数.
11．【答案】35°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵EF∥HG，∠2=55°，
∴∠3=∠2=55°．
∵∠ACB=90°，
∴∠1=90°﹣∠2=90°﹣55°=35°．
故答案为：35°．
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由∠1与∠3互余即可得出结论．
12．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点B，D，F分别作水平线的垂线PC、DE、QG，
∴PC∥DE∥QG，
∴∠BDF=∠BDE+∠FDE=∠DBC+∠DFG，
∵入射角与折射角的度数比为4：3 ，即∠ABP：∠DBC=4：3，∠HFQ：∠DFG=4：3，
∴∠DBC=∠ABP＝(90° x)，∠DFG=∠HFQ＝(90° y)，
∴∠BDF=(90° x)+(90° y)
=(180° x y)，
∴m＝135° (x+y)，
故答案为：135° (x+y)．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质证明∠BDF=∠BDE+∠FDE=∠DBC+∠DFG，再根据入射角与折射角的度数比为4：3 ，把∠DBC和∠DFG用含x和y的式子表示出来，而m=∠BDF=∠DBC+∠DFG．
13．【答案】解：∵AB∥EF∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=45°，∠CEF+∠ECD=180°，
∴∠ECD=180°-155°=25°，
∴∠BCE=∠BCD-∠ECD=45°-25°=20°.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】利用平行线的性质可求出∠BCD的度数，同时可证得∠CEF+∠ECD=180°，即可求出∠ECD的度数，然后根据∠BCE=∠BCD-∠ECD，代入计算求出∠BCE的度数.
14．【答案】（1）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴；
（2）或
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（2）如图1，∵AB∥ED，BC∥EF，
图1 图2
∴，
∴；
如图2，∵AB∥ED，BC∥EF，
∴∠B=∠BGE，∠BGE+∠E=180°，
∴∠B+∠E=180°，
∴ 当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角相等或互补，
∴ 若其中一个角的度数是 ，则另外一个角为40°或180°；
故答案为：40°或180°；
【分析】（1）由平行线的性质可得，利用等量代换即得结论；
（2）分两种情况：画出两种不同的图形，再根据平行线的性质分别求出这两个角的关系，再求解即可.
15．【答案】（1）
（2）解：理由如下：
，
，
，
，
；
（3）相等或互补
（4）解：设一个角的度数为，则另一个角的度数为，
当，解得，则这两个角的度数分别为，；
当，解得，则这两个角的度数分别为，．
综上所述：这两个角的度数分别为，或，
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解： (1)
(两直线平行，内错角相等）
(两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
【分析】(1)根据平行线的性质两直线平行，内错角相等，然后等量代换即可；(2) 根据平行线性质，1和3相等，3和2互补，则1和2互补，即等角的补角相等； (3)根据前两步得出定理：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角相等或互补；(4)根据（3）的结论列等式，求解即可。
1 / 1初中数学同步训练必刷提高卷（北师大版七年级下册 2.3平行线的性质）
一、选择题
1．（2023九上·南明期中）如图，已知直线a∥b，∠1＝105° ，则∠2等于 （ ）
A．65° B．75° C．85° D．105°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵a∥b，∠1＝105°，
∴∠1＝∠3＝105°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝75°；
故答案为：B
【分析】结合题意运用平行线的性质即可求解。
2．（2017八下·萧山期中）下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．邻角互补 B．对角互补
C．对边相等 D．对角线互相平分
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】平行四边形具有：两组对边互相平行，两组对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分.
故选B.
【分析】考查平行四边形的性质.
3．如图，小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次画出了直线a，b，c.若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A．110° B．70° C．40°. D．30°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，由题意得，∠4=30°，b∥c，
∴∠3=∠1=70°，
∵∠3=∠4+∠5=70°，
∴∠5=40°，
∴∠2=∠5=40°，
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质得到∠3=∠1=70°，三角形的外角的性质得到∠3=∠4+∠5=70°，由∠2=∠5即可解答．
4．把一副三角尺按如图所示的方式摆放，使 FD∥BC.若点 E 恰好落在 CB的延长线上，则∠BDE的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．30°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵FD∥BC，
∴∠FDB=∠ABC=60°，
又∵∠FDE=45°，
∴∠BDE=60°-45°=15°，
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠FDB=∠ABC=60°；即可求解.
5．（2023七下·金堂期末） 公元前200年，古希腊地理学家埃拉托色尼将天文学与测地学结合起来测量地球圆周，他提出设想：在夏至日那天，分别在两地同时观察太阳的位置，并根据地物阴影的长度差异，加以研究分析，从而总结出计算地球圆周的科学方法．他发现，在当时的城市塞恩（图中的A点），直立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在500英里以外的亚历山大（图中的B点），直立的杆子的影子却偏离垂直方向（图中角等于）．根据这个数据，可以算出地球一周的总长约等于，这是因为弧AB的长地球周长的缘故，其中弧AB的长大约为．题目中运用到的平行线相关定理是（ ）
A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意知：在A点立杆，没有影子，在B点立杆，影子却偏离垂直方向，即= ，
∵立杆点A、B处的两条直线平行，
∴ ∠AOB==（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：D.
【分析】根据平行投影的定义及平行线的性质解答即可.
6．（2023八上·无为月考）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，为焦点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：D
【分析】先根据平行线的性质得到，进而结合题意得到，再结合题意即可求解。
7．（2023九下·松原月考）将一副常规直角三角板按如图所示的位置摆放在一把直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．70 B．75 C．80 D．85
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
，
，
直尺上下两边互相平行，
，
故答案为：B
【分析】根据三角板即可得到∠2的度数，进而运用平行线的性质即可求解。
8．将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内， ∠1=25°， ∠2=30°，则∠3的度数为（ ）
A．55° B．65° C．70° D．75°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如下图：
由题意可得：∠CAE=90°，∠ACF=45°，
∵∠1=25°，
∴∠BAC=∠1+∠CAE=115°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-∠BAC=180°-115°=65°，
∴∠3=180°-∠ACD-∠ACF=180°-65°-45°=70°．
故答案为：C．
【分析】先求出∠BAC=115°，然后利用平行线的性质可求得∠ACD的度数，最后利用平角的定义即可求得∠3的度数．
二、填空题
9．（2022七下·上城期末）如图， ， ，当 °时， .
【答案】130
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解： ，
，
要使 ，则 ，
，
即当 时， .
故答案为：130.
【分析】根据平行线的性质可得∠BDC=∠C=50°，∠B+∠BDC=180°，据此求解.
10．如图，在三角形ABC中，D，E，F分别是三条边上的点，EF∥AC，DF∥AB，∠B=45°，∠C=60°，则∠EFD的度数为 .
【答案】75°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵EF∥AC， ∠C=60°，
∴∠EFB=∠C=60°（两直线平行，同位角相等），
∵ DF∥AB，∠B=45°，
∴∠DFC=∠B=45°（两直线平行，同位角相等），
∴∠EFD=180°-∠EFB-∠DFC=75°.
故答案为：75°.
【分析】由两直线平行，同位角相等，得∠EFB=∠C=60°，∠DFC=∠B=45°，进而根据平角定义可求出∠EFD得度数.
11．（2016七上·黑龙江期中）如图，将三角板与两边平行的直尺（EF∥HG）贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB=90°）在直尺的一边上，若∠2=55°，则∠1的度数等于 ．
【答案】35°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵EF∥HG，∠2=55°，
∴∠3=∠2=55°．
∵∠ACB=90°，
∴∠1=90°﹣∠2=90°﹣55°=35°．
故答案为：35°．
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由∠1与∠3互余即可得出结论．
12．（2023七上·哈尔滨期中）如图1，当光线在空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为4：3，如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水平面夹角度数分别为x，y，在水中两条折射光线的夹角度数为m、则m＝ ．（用含x，y的式子表示）
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点B，D，F分别作水平线的垂线PC、DE、QG，
∴PC∥DE∥QG，
∴∠BDF=∠BDE+∠FDE=∠DBC+∠DFG，
∵入射角与折射角的度数比为4：3 ，即∠ABP：∠DBC=4：3，∠HFQ：∠DFG=4：3，
∴∠DBC=∠ABP＝(90° x)，∠DFG=∠HFQ＝(90° y)，
∴∠BDF=(90° x)+(90° y)
=(180° x y)，
∴m＝135° (x+y)，
故答案为：135° (x+y)．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质证明∠BDF=∠BDE+∠FDE=∠DBC+∠DFG，再根据入射角与折射角的度数比为4：3 ，把∠DBC和∠DFG用含x和y的式子表示出来，而m=∠BDF=∠DBC+∠DFG．
三、解答题
13． 如图所示，AB∥EF∥CD，∠A BC=45°，∠CEF=155°，求∠BCE的度数．
【答案】解：∵AB∥EF∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=45°，∠CEF+∠ECD=180°，
∴∠ECD=180°-155°=25°，
∴∠BCE=∠BCD-∠ECD=45°-25°=20°.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】利用平行线的性质可求出∠BCD的度数，同时可证得∠CEF+∠ECD=180°，即可求出∠ECD的度数，然后根据∠BCE=∠BCD-∠ECD，代入计算求出∠BCE的度数.
14．（2023七下·禅城期末）问题：“平面内，当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角有怎样的数量关系？”
（1）小明阅读问题后，画出了一个如图所示的图形（已知，），在这个图形中，与之间的数量关系是什么？试说明理由．
（2）当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，若其中一个角的度数是，那么另一个角的度数是 ．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴；
（2）或
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（2）如图1，∵AB∥ED，BC∥EF，
图1 图2
∴，
∴；
如图2，∵AB∥ED，BC∥EF，
∴∠B=∠BGE，∠BGE+∠E=180°，
∴∠B+∠E=180°，
∴ 当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角相等或互补，
∴ 若其中一个角的度数是 ，则另外一个角为40°或180°；
故答案为：40°或180°；
【分析】（1）由平行线的性质可得，利用等量代换即得结论；
（2）分两种情况：画出两种不同的图形，再根据平行线的性质分别求出这两个角的关系，再求解即可.
15．（2023七下·敦化期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形回答下列问题：
（1）如图，，，直接写出与的关系 ；
（2）如图，，，猜想与的关系，并说明理由；
（3）由（1）（2），我们可以得出结论：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角 ；
（4）应用：两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的倍少，求出这两个角的度数分别是多少度？
【答案】（1）
（2）解：理由如下：
，
，
，
，
；
（3）相等或互补
（4）解：设一个角的度数为，则另一个角的度数为，
当，解得，则这两个角的度数分别为，；
当，解得，则这两个角的度数分别为，．
综上所述：这两个角的度数分别为，或，
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解： (1)
(两直线平行，内错角相等）
(两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
【分析】(1)根据平行线的性质两直线平行，内错角相等，然后等量代换即可；(2) 根据平行线性质，1和3相等，3和2互补，则1和2互补，即等角的补角相等； (3)根据前两步得出定理：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角相等或互补；(4)根据（3）的结论列等式，求解即可。
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