初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 2.3平行线的性质）
一、选择题
1．（2023七下·石家庄期末） 将直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2018七下·紫金月考）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，若∠1=65°，则∠2=（ ）
A．65° B．75° C．115° D．125°
3．（2023七下·白银期中）如图，，则下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023七下·崆峒期中）如图是超市里购物车的侧面示意图，扶手与车底平行，比大，是的倍，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·良庆期末）图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中、都与地面平行，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·长沙期末）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，，则．以上结论正确的个数是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
7．如图，已知a∥b，l与a，b相交，若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A．120° B．110° C．100° D．70°
8．（2017七下·五莲期末）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（ ）
A．∠1=180°﹣∠3 B．∠1=∠3﹣∠2
C．∠2+∠3=180°﹣∠1 D．∠2+∠3=180°+∠1
二、填空题
9．（2023七下·梅州期末）某街道要修建一条管道，如图，管道从A站沿北偏东方向到B站，从B站沿北偏西方向到C站，为了保持水管与方向一致，则为 °．
10．（2023七下·敦化期末）如图，将一块直角三角板与一张两边平行的纸条按照如图所示的方式放置，下列结论：；；；其中正确的是 填序号
11．（2021七下·东坡开学考）如图，OP∥QR∥ST，若∠2＝100°，∠3＝120°，则∠1＝ .
12．（2020七下·左权期末）如图，一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线 上，已知 是直角，则 的度数等于 ．
三、综合题
13．（2017七下·寮步期中）如图，AD∥BC，∠1=∠C，∠B=60°．
（1）求∠C的度数；
（2）如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由．
14．如图，已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点(与点A不重合)，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数．
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律。
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．
15．（2023七下·敦化期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形回答下列问题：
（1）如图，，，直接写出与的关系 ；
（2）如图，，，猜想与的关系，并说明理由；
（3）由（1）（2），我们可以得出结论：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角 ；
（4）应用：两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的倍少，求出这两个角的度数分别是多少度？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质可得，再将数据代入求出的度数即可.
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1=∠3=65°，
∵∠3+∠2=180°，
∴∠2=180°﹣65°=115°，
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行，同位角相等；得到∠1=∠3，再由邻补角的定义，求出∠2的度数.
3．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵AB//CD，
∴∠2+∠CDB=180°，
∵EF//CD，
∴∠3=∠CDE=∠1+∠CDB，
∴∠3=∠1+180°-∠2，
∴，
故答案为：D.
【分析】利用平行线的性质及角的运算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵扶手与车底平行，
∴∠1=∠2+∠3，
∵比大，是的倍，
∴∠3=∠2-10°，∠1=∠2，
∴∠2=∠2+∠2-10°，
∴∠2=55°，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质求出∠1=∠2+∠3，再求出∠3=∠2-10°，∠1=∠2，最后计算求解即可。
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-54°=126°，
∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=66°，
∵AM∥BC，
∴∠MAC=∠ACB=66°.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质得出∠BAC+∠ACD=180°，得出∠ACD=126°，从而得出∠ACB=66°，再根据平行线的性质得出∠MAC=∠ACB=66°，即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：①过点E作直线，
∵，∴，
∴，，
∴，故①错误；
②过点E作直线，
∵，
∴，∴，，
∴，故②正确；
③过点E作直线，
∵，∴，
∴，，
∴，即，故③正确；
④如图，过点P作直线，
∵，∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，∴，即，故④正确．
综上所述，正确的小题有②③④．
故选：C．
【分析】 ① 过点E作直线EF //AB，根据平行线的性质，同旁内角互补，可得∠A+∠E+∠C=360°，即可判断出①错误；
② 过点E作直线EF //AB，根据平行线的性质，内错角相等，通过转换即可得出结论②正确；
③ 过点E作直线EF//AB，根据平行线的性质，内错角相等，同旁内角互补，通过转化可得出∠A+∠E-1=180°；
④ 如图，先根据三角形外角的性质得出∠1=∠C+∠ P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断.
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图，∵∠1＝70°，
∴∠3＝180°-∠1＝180°-70°＝110°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝110°．
故答案为：B
【分析】先求出∠1的邻补角的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可求出∠2的度数
8．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图，
∵AB∥CD，
∴∠2+∠BDC=180°，即∠BDC=180°﹣∠2，
∵EF∥CD，
∴∠BDC+∠1=∠3，即∠BDC=∠3﹣∠1，
∴180°﹣∠2=∠3﹣∠1，即∠2+∠3=180°+∠1，
故答案为：D．
【分析】A.由EF∥CD可知∠3+∠EDG=180°，即∠EDG=180°-∠3，而∠1与∠EDG不等，故A不符合题意；B.∵EF∥CD，∴∠BDC+∠1=∠3，即∠BDC=∠3﹣∠1，而∠BDC与∠2不等，故B不符合题意；C.∠2+∠3=∠2+∠BDC+∠1=180°+∠1，故C不符合题意；
9．【答案】100
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图进行标注：
由题意可知，∠DAB=60°，∠FBC=20°；
∵AD//BF
∴∠DAB+∠ABC+∠FBC=
∴∠ABC=100°
又∵CE//AB
∴∠BCE=∠ABC=100°
故答案为：100.
【分析】根据两直线平行，同旁内角相加等于180°，得出∠ABC=100°，再根据两直线平行，内错角相等即可求出∠BCE.
10．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：；正确，两直线平行，同位角相等
；正确，两直线平行，内错角相等
；不正确，在前两个结论正确的基础上，
正确，两直线平行，同旁内角互补。
故答案为：
【分析】根据平行线性质来判定。
11．【答案】40°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵OP∥QR∥ST，
∴∠2+∠PRQ=180°，∠3=∠1+∠PRQ，
∴∠PRQ=180°-100°=80°，
∴120°=∠1+80°，
解之：∠1=120°-80°=40°.
故答案为：40°.
【分析】利用平行线的性质可得到∠2+∠PRQ=180°，∠3=∠1+∠PRQ，由此可求出∠PRQ的度数；然后求出∠1的度数.
12．【答案】90°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，∵AD∥BE，
∴∠DAB＋∠ABE＝180°，
又∵∠CAB＋∠ABC＝90°，
∴∠1＋∠2＝180°﹣90°＝90°，
故答案是：90°．
【分析】先求出∠DAB＋∠ABE＝180°，再根据∠CAB＋∠ABC＝90°，进行计算求解即可。
13．【答案】（1）解：∵AD∥BC，∠B=60
∴∠1=∠B=60°
∵∠1=∠C，
∴∠C=∠B=60°
（2）解：DE∥AB，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠C+∠ADC =180°
∴∠ADC=180°-∠C=120°
∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE= ∠BDC=60°
∵∠1=∠B=60°
∴∠1=∠ADE．
∴DE∥AB.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】(1)由AD//BC ，可知∠1=∠B=，又因为∠1=∠C，所以可知∠C=；
（2）同样由AD//BC ，同旁内角互补，可知∠ADC=，又因为DE平分∠ADC，结合三角形内角和定理可知，∠EDC=∠DEC=，所以∠B=∠DEC，AB//DE .
14．【答案】（1）解：（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝120°，
∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠NBP，
∴∠CBD＝∠ABN＝60°；
（2）（2）不变化，∠APB＝2∠ADB．
证明：∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，
∠ADB＝∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB＝2∠ADB；
（3）（3）∵AD∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
又∵∠ACB＝∠ABD，
∴∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可得，∠CBD＝60°，∠ABN＝120°，
∴∠ABC＝（120°-60°）＝30°
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质，得出∠ABN＝120°，再根据BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，即可得出∠CBD的度数；
（2）根据平行线的性质得出∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再根据BD平分∠PBN，即可得到∠PBN＝2∠DBN进而得出∠APB＝2∠ADB；
（3）根据∠ACB＝∠CBN，∠ACB＝∠ABD，得出∠CBN＝∠ABD，进而得到∠ABC＝∠DBN，根据∠CBD＝60°，∠ABN＝120°，可求得∠ABC的度数
15．【答案】（1）
（2）解：理由如下：
，
，
，
，
；
（3）相等或互补
（4）解：设一个角的度数为，则另一个角的度数为，
当，解得，则这两个角的度数分别为，；
当，解得，则这两个角的度数分别为，．
综上所述：这两个角的度数分别为，或，
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解： (1)
(两直线平行，内错角相等）
(两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
【分析】(1)根据平行线的性质两直线平行，内错角相等，然后等量代换即可；(2) 根据平行线性质，1和3相等，3和2互补，则1和2互补，即等角的补角相等； (3)根据前两步得出定理：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角相等或互补；(4)根据（3）的结论列等式，求解即可。
1 / 1初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 2.3平行线的性质）
一、选择题
1．（2023七下·石家庄期末） 将直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质可得，再将数据代入求出的度数即可.
2．（2018七下·紫金月考）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，若∠1=65°，则∠2=（ ）
A．65° B．75° C．115° D．125°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1=∠3=65°，
∵∠3+∠2=180°，
∴∠2=180°﹣65°=115°，
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行，同位角相等；得到∠1=∠3，再由邻补角的定义，求出∠2的度数.
3．（2023七下·白银期中）如图，，则下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵AB//CD，
∴∠2+∠CDB=180°，
∵EF//CD，
∴∠3=∠CDE=∠1+∠CDB，
∴∠3=∠1+180°-∠2，
∴，
故答案为：D.
【分析】利用平行线的性质及角的运算求解即可。
4．（2023七下·崆峒期中）如图是超市里购物车的侧面示意图，扶手与车底平行，比大，是的倍，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵扶手与车底平行，
∴∠1=∠2+∠3，
∵比大，是的倍，
∴∠3=∠2-10°，∠1=∠2，
∴∠2=∠2+∠2-10°，
∴∠2=55°，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质求出∠1=∠2+∠3，再求出∠3=∠2-10°，∠1=∠2，最后计算求解即可。
5．（2023七下·良庆期末）图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中、都与地面平行，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-54°=126°，
∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=66°，
∵AM∥BC，
∴∠MAC=∠ACB=66°.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质得出∠BAC+∠ACD=180°，得出∠ACD=126°，从而得出∠ACB=66°，再根据平行线的性质得出∠MAC=∠ACB=66°，即可得出答案.
6．（2023七下·长沙期末）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，，则．以上结论正确的个数是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：①过点E作直线，
∵，∴，
∴，，
∴，故①错误；
②过点E作直线，
∵，
∴，∴，，
∴，故②正确；
③过点E作直线，
∵，∴，
∴，，
∴，即，故③正确；
④如图，过点P作直线，
∵，∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，∴，即，故④正确．
综上所述，正确的小题有②③④．
故选：C．
【分析】 ① 过点E作直线EF //AB，根据平行线的性质，同旁内角互补，可得∠A+∠E+∠C=360°，即可判断出①错误；
② 过点E作直线EF //AB，根据平行线的性质，内错角相等，通过转换即可得出结论②正确；
③ 过点E作直线EF//AB，根据平行线的性质，内错角相等，同旁内角互补，通过转化可得出∠A+∠E-1=180°；
④ 如图，先根据三角形外角的性质得出∠1=∠C+∠ P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断.
7．如图，已知a∥b，l与a，b相交，若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A．120° B．110° C．100° D．70°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图，∵∠1＝70°，
∴∠3＝180°-∠1＝180°-70°＝110°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝110°．
故答案为：B
【分析】先求出∠1的邻补角的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可求出∠2的度数
8．（2017七下·五莲期末）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（ ）
A．∠1=180°﹣∠3 B．∠1=∠3﹣∠2
C．∠2+∠3=180°﹣∠1 D．∠2+∠3=180°+∠1
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图，
∵AB∥CD，
∴∠2+∠BDC=180°，即∠BDC=180°﹣∠2，
∵EF∥CD，
∴∠BDC+∠1=∠3，即∠BDC=∠3﹣∠1，
∴180°﹣∠2=∠3﹣∠1，即∠2+∠3=180°+∠1，
故答案为：D．
【分析】A.由EF∥CD可知∠3+∠EDG=180°，即∠EDG=180°-∠3，而∠1与∠EDG不等，故A不符合题意；B.∵EF∥CD，∴∠BDC+∠1=∠3，即∠BDC=∠3﹣∠1，而∠BDC与∠2不等，故B不符合题意；C.∠2+∠3=∠2+∠BDC+∠1=180°+∠1，故C不符合题意；
二、填空题
9．（2023七下·梅州期末）某街道要修建一条管道，如图，管道从A站沿北偏东方向到B站，从B站沿北偏西方向到C站，为了保持水管与方向一致，则为 °．
【答案】100
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图进行标注：
由题意可知，∠DAB=60°，∠FBC=20°；
∵AD//BF
∴∠DAB+∠ABC+∠FBC=
∴∠ABC=100°
又∵CE//AB
∴∠BCE=∠ABC=100°
故答案为：100.
【分析】根据两直线平行，同旁内角相加等于180°，得出∠ABC=100°，再根据两直线平行，内错角相等即可求出∠BCE.
10．（2023七下·敦化期末）如图，将一块直角三角板与一张两边平行的纸条按照如图所示的方式放置，下列结论：；；；其中正确的是 填序号
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：；正确，两直线平行，同位角相等
；正确，两直线平行，内错角相等
；不正确，在前两个结论正确的基础上，
正确，两直线平行，同旁内角互补。
故答案为：
【分析】根据平行线性质来判定。
11．（2021七下·东坡开学考）如图，OP∥QR∥ST，若∠2＝100°，∠3＝120°，则∠1＝ .
【答案】40°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵OP∥QR∥ST，
∴∠2+∠PRQ=180°，∠3=∠1+∠PRQ，
∴∠PRQ=180°-100°=80°，
∴120°=∠1+80°，
解之：∠1=120°-80°=40°.
故答案为：40°.
【分析】利用平行线的性质可得到∠2+∠PRQ=180°，∠3=∠1+∠PRQ，由此可求出∠PRQ的度数；然后求出∠1的度数.
12．（2020七下·左权期末）如图，一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线 上，已知 是直角，则 的度数等于 ．
【答案】90°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，∵AD∥BE，
∴∠DAB＋∠ABE＝180°，
又∵∠CAB＋∠ABC＝90°，
∴∠1＋∠2＝180°﹣90°＝90°，
故答案是：90°．
【分析】先求出∠DAB＋∠ABE＝180°，再根据∠CAB＋∠ABC＝90°，进行计算求解即可。
三、综合题
13．（2017七下·寮步期中）如图，AD∥BC，∠1=∠C，∠B=60°．
（1）求∠C的度数；
（2）如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由．
【答案】（1）解：∵AD∥BC，∠B=60
∴∠1=∠B=60°
∵∠1=∠C，
∴∠C=∠B=60°
（2）解：DE∥AB，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠C+∠ADC =180°
∴∠ADC=180°-∠C=120°
∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE= ∠BDC=60°
∵∠1=∠B=60°
∴∠1=∠ADE．
∴DE∥AB.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】(1)由AD//BC ，可知∠1=∠B=，又因为∠1=∠C，所以可知∠C=；
（2）同样由AD//BC ，同旁内角互补，可知∠ADC=，又因为DE平分∠ADC，结合三角形内角和定理可知，∠EDC=∠DEC=，所以∠B=∠DEC，AB//DE .
14．如图，已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点(与点A不重合)，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数．
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律。
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．
【答案】（1）解：（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝120°，
∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠NBP，
∴∠CBD＝∠ABN＝60°；
（2）（2）不变化，∠APB＝2∠ADB．
证明：∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，
∠ADB＝∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB＝2∠ADB；
（3）（3）∵AD∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
又∵∠ACB＝∠ABD，
∴∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可得，∠CBD＝60°，∠ABN＝120°，
∴∠ABC＝（120°-60°）＝30°
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质，得出∠ABN＝120°，再根据BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，即可得出∠CBD的度数；
（2）根据平行线的性质得出∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再根据BD平分∠PBN，即可得到∠PBN＝2∠DBN进而得出∠APB＝2∠ADB；
（3）根据∠ACB＝∠CBN，∠ACB＝∠ABD，得出∠CBN＝∠ABD，进而得到∠ABC＝∠DBN，根据∠CBD＝60°，∠ABN＝120°，可求得∠ABC的度数
15．（2023七下·敦化期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形回答下列问题：
（1）如图，，，直接写出与的关系 ；
（2）如图，，，猜想与的关系，并说明理由；
（3）由（1）（2），我们可以得出结论：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角 ；
（4）应用：两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的倍少，求出这两个角的度数分别是多少度？
【答案】（1）
（2）解：理由如下：
，
，
，
，
；
（3）相等或互补
（4）解：设一个角的度数为，则另一个角的度数为，
当，解得，则这两个角的度数分别为，；
当，解得，则这两个角的度数分别为，．
综上所述：这两个角的度数分别为，或，
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解： (1)
(两直线平行，内错角相等）
(两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
【分析】(1)根据平行线的性质两直线平行，内错角相等，然后等量代换即可；(2) 根据平行线性质，1和3相等，3和2互补，则1和2互补，即等角的补角相等； (3)根据前两步得出定理：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角相等或互补；(4)根据（3）的结论列等式，求解即可。
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