§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学案
学习目标：
知识目标：1、掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；
2、掌握实数与向量的积的运算律；
3、理解向量共线定理，能够运用定理解决共线等问题。
能力目标：能够证明向量共线、三点共线、两直线平行。
情感目标：知识迁移能力，探索问题能力。
大纲要求：掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.
学习重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。
学习难点：对向量共线定理的理解。
学习过程：
一、复习：
1、向量的加法：
求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
向量加法法则有三角形法则和平行四边形法则。
2、向量的减法：
向量加上的相反向量，叫做与的差。即：。
差向量的意义：， 则 。
即可以表示为从减向量的终点指向被减向量的终点的向量。
二、学习新课：
1、实数与向量的积
练习1：已知非零向量，作出和。
探究：相同向量相加后，和的长度与方向有什么变化？
（1）与方向 且 ；
（2）与方向 且
上题结果可记为：
定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作： 。
其大小和方向规定如下：
大小：
方向：λ>0时，与方向 ；
λ<0时，与方向 。
特别地，当或时。
2、运算律
练习2：
(1) 根据定义，求作向量和(为非零向量)，并进行比较。
结论： ，
(2) 已知向量、，求作向量和，并进行比较。
结论：
归纳得：设、为任意向量，、为任意实数，则有：
结合律：
第一分配律：
第二分配律：
练习3：计算(口答)
(1) ＝
(2) ＝
(3) ＝
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。
对于任意向量、及任意实数、,恒有。
3、向量共线定理
探究：
问题① 如果 , 那么，向量与是有什么关系？
问题② 如果非零向量与共线， 那么， ？
。
向量共线定理 向量与非零向量共线 ，使得 。
三、学习范例：
例1、如图，已知、，试判断与是否共线?
解后小结：证明向量共线，可以直接运用定理。
变式练习：在本题中，若B、C分别是AD、AE的三等分点，你能否利用向量关系来证明BC‖DE呢？
例2、已知任意两非零向量、，试作, ，。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
解：作图如右（过程略）
解后小结：证明三点共线，可以直接运用定理，找出两向量间关系，再利用它们有一个公共点，得到三点共线。
四、课题练习：
1、把下列各小题中的向量表示为实数与向量的积：
（1）、，；
（2）、，；
（3）、，；
（4）、，；
2、判断下列各小题中的向量与是否共线？
（1）、，；
（2）、，；
3、化简：
（1）、；
（2）、；
（3）、
课时作业
化简
（1）、；
（2）、；
（3）、；
（4）、。
已知求与。
思考题：（思考并完成以下提问）
如图，? ＡＢＣＤ的两条对角线相交于一点Ｍ，且你能用表示和吗？
（1）、用向量表示和依据是什么？向量拥有怎样的特征？
（2）、此种方法能不能推广到一般，如果能是什么？
课件13张PPT。20:31向量数乘运算及其几何意义单县一中 王新柱
2009年3月22日高中数学 必修4 平面向量20:31复习1:向量的加法BAo.O.AB20:31复习2:向量的减法o.BAo.BA20:31练习1:探究: 相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？20:31定义:20:31练习2:a20:31练习3:解: (1) 原式 = (2) 原式 =(3) 原式 =计算：(口答)
(1) (-3)×4 a
(2) 3( a+b) –2( a-b)-a
(3) (2a+3b-c) –(3a-2b+c )20:31思考:定理:20:31例题1:解：变：若B、C分别是AD、AE的三等分点，证明：BC‖DE。20:31例题2:解：作图如右O依图猜想:A、B、C三点共线∴ A、B、C三点共线.20:31练习4:学案练习题部分20:31小结回顾:20:31作业:学案作业部分同学们再见
