第八单元探索乐园(讲义)-2023-2024学年五年级下册数学冀教版
文档属性
| 名称 | 第八单元探索乐园(讲义)-2023-2024学年五年级下册数学冀教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 111.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-09 15:58:53 | ||
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文档简介
第八单元探索乐园(知识精讲+典题精练)
2023-2024学年五年级下册数学重难点单元培优讲义(冀教版)
1．握手问题
【知识点归纳】
假设有N个人，则每个人都要和除自己之外的（N﹣1）个人握手，
则总握手的次数是N（N﹣1），但是在这N（N﹣1）次的握手中，每一次的握手都重复计算了，例如我和你握手，你和我握手是一样的．所以，要把它除以2，
则N个人握手的次数是N（N﹣1）．
2．容斥原理
【知识点归纳】
在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．
一般方法：
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．
容斥原理1：两量重叠问题
A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数
用符号可表示成：A∪B＝A+B﹣A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．
容斥原理2：三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．
用符号表示为：A∪B∪C＝A+B+C﹣A∩B﹣B∩C﹣A∩C+A∩B∩C
3．简单的排列、组合
【知识点归纳】
1．排列组合的概念：
所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序．
组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序．
排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数．
2．解决排列、组合问题的基本原理：
分类计数原理与分步计数原理．
（1）分类计数原理（也称加法原理）：
指完成一件事有很多种方法，各种方法相互独立，但用其中任何一种方法都可以做完这件事．
那么各种不同的方法数加起来，其和就是完成这件事的方法总数．
如从甲地到乙地，乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有3+2＝5种不同的走法．
（2）分步计数原理（也称乘法原理）：
指完成一件事，需要分成多个步骤，每个步骤中又有多种方法，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．
那么，每个步骤中的方法数相乘，其积就是完成这件事的方法总数．
如从甲地经过丙地到乙地，先有3条路可到丙地，再有2路可到乙地，所以共有3×2＝6种不同的走法．
一．选择题（共7小题）
1．书架上有3本不同的科技书和3本不同的文艺书，小红想借两本不同类的书，共有（ ）
A．9 B．6 C．3
2．明明、红红、丽丽、君君在元旦前互赠1张贺卡，一共需要（ ）张贺卡。
A．4 B．12 C．16
3．一个正方体，六个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6．掷一次，可能出现（ ）
A．4 B．5 C．6
4．用玫瑰花、满天星和百合三种花中的至少两种做插花，一共有（ ）种搭配方法。
A．7 B．5 C．4
5．从小明、小华和小静3名同学中选择2名同学作为“优秀少先队员”，有（ ）种可能的结果。
A．3 B．4 C．5 D．6
6．某次比赛中三（1）班获得“阅读之星”称号的有22人，获得“速算小能手”称号的有35人，全班每人至少获得了一种称号。三（1）班一共有（ ）
A．57 B．62 C．42
7．志愿者去两个小区义务植树，到阳光小区植树的有15人，到未来城小区植树的有9人（ ）人。
A．15 B．9 C．6
二．填空题（共6小题）
8．学校运动会，三（1）班参加跑步比赛的有12人，参加跳绳比赛的有20人，参加跑步比赛和跳绳比赛的一共有 人。
9．歌舞兴趣小组共有24人，其中有16人会唱歌，12人会跳舞 人。
10．周六课后服务，三年（1）班参加“硬笔书法”的有17人，既参加“硬笔书法”又参加“阅读写作”的有8人，参加这两项课后服务的共有 人。
11．从2、5、7这三个数中，任选2个求积。得数可能是 、 、 。
12．看图回答问题．
（1）一共调查了 人．
（2）喜欢篮球的有 人，只喜欢足球的有 人，两种球都喜欢的有 人．
13．小红所在的小组共有8位同学，她想和小组里的每一位同学都握一次手，她一共要握 次。
三．判断题（共6小题）
14．有5支球队参加比赛，如果每两支球队之间都要举行一场比赛，那么一共要举行20场比赛。
15．用任意3个不同的数字都可以组成6个不同的三位数．
16．用数字1、6、0、8、4组成的一个最大的五位数是86410． ．
17．6个同学相互之间都要握手一次，一共要握手15次．
18．3个小朋友每两人握手一次，一共要握手6次． ．
19．有4种水果，如果每两种水果做成一种水果拼盘，一共可以做8种水果拼盘。
四．计算题（共2小题）
20．任意选取三张卡片中的两张求积，得数有几种可能？请写出来．
21．求下列图中线段长度的总和．（单位：厘米）
五．应用题（共7小题）
22．三（5）班45名同学参加数学活动，答对第一题的有23人，两道题都答对的有17人，两道题都没答对的有几人？
23．某校对一年级某班新生做一项调查，学生共48人，会唱歌的人数占全班的，两项都不会的有3人，两项都会的有多少人？
24．四年级有72人参加了“故事力”大赛的写故事和演故事比赛的两项活动，参加写故事的有56人，参加演故事的有27人。两项活动都参加的有多少人？
25．三（1）、三（2）班共有78个学生，其中喜欢小说类的有39人，既喜欢小说类又喜欢文学类的有18人。喜欢文学类的有多少人？
26．随着国家人口政策的调整，不少同学有了兄弟姐妹。某实验学校一（3）班有32名同学，13人有姐妹，8人是独生子女。该班中有兄弟又有姐妹的有几人？
27．三年级有68人订阅了《现代少年报》，有79人订阅了《中国少年报》，其中有12人两种都订了。订阅了报刊的一共有多少人？
28．三年级学生去春游，带矿泉水的有24人，带水果的有30人，既带矿泉水又带水果的有8人，一共有多少人去春游？
第八单元探索乐园(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年五年级下册(冀教版)
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【答案】A
【分析】用科技书的本数乘文艺书的本数，即可求出共有多少种不同的借法。
【解答】解：3×3＝8（种）
答：共有9种不同的借法。
故选：A。
【点评】本题考查排列组合和乘法原理的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
2．【答案】B
【分析】如果4个同学互相寄一张贺卡，由于每两人要互寄，每个人都要给另外的3个人寄．每人需要3张，一共要寄：4×3＝12（张）贺卡，据此解答。
【解答】解：4×（4﹣2）
＝4×3
＝12（张）
答：一共需要12张贺卡。
故选：B。
【点评】解决本题的关键是明确互相发贺卡，所以每个人需要的贺卡数量是：（总人数﹣1）；一共需要的贺卡总数就要再乘总人数。
3．【答案】C
【分析】6个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6，掷一次可能是1朝上，也可能是2朝上、3朝上…6朝上；一共有6种可能．
【解答】解：6个面上分别写着数字1、8、3、4、2、6，掷一次可能是：
1朝上，也可能是4朝上、4朝上、6朝上；
一共有4种可能．
故选：C．
【点评】六个面上的数字是固定的，只要找出朝上的数字的可能性即可求解．
4．【答案】C
【分析】至少两种做插花，那么可以是用2种或者3种，写出所有的可能即可求解。
【解答】解：用两种：玫瑰花、满天星、百合、百合3种方法；
用3种：菊花、满天星和百合；
6+1＝4（种）
答：一共有2种搭配方法。
故选：C。
【点评】解决本题注意理解题意，找出所有的可能，从而解决问题。
5．【答案】A
【分析】从小明、小华和小静3名同学中选择2名同学作为“优秀少先队员”，有小明、小华，小明、小静，小华、小静，三种可能的结果。
【解答】解：可以是小明、小华或小明、小静。
故选：A。
【点评】本题主要考查简单的组合问题，可以利用逆向思维法或列举法解答本题。
6．【答案】C
【分析】根据容斥原理公式：总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。
【解答】解：22+35﹣15
＝57﹣15
＝42（人）
答：三（1）班一共有42人。
故选：C。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
7．【答案】B
【分析】根据包含关系，到两个小区都植树的志愿者最多的情况是：到未来城小区植树的9人都到阳光小区植树，据此解答即可。
【解答】解：因为15＞9，所以到两个小区都植树的志愿者最多不超过9人。
故选：B。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
二．填空题（共6小题）
8．【答案】26。
【分析】参加跑步比赛的加上参加跳绳比赛的减去两项都参加的即是所求问题。
【解答】解：12+20﹣6
＝32﹣6
＝26（人）
答：参加跑步比赛和跳绳比赛的一共有26人。
故答案为：26。
【点评】本题考查了容斥原理的应用。
9．【答案】见试题解答内容
【分析】用16加12求出会唱歌的与会跳舞的总人数，把既会唱歌又会跳舞的多算了一次，所以再减去24就是既会唱歌又会跳舞的人数。
【解答】解：16+12﹣24
＝28﹣24
＝4（人）
答：既会唱歌又会跳舞的有4人。
故答案为：6。
【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。
10．【答案】28。
【分析】根据容斥原理公式：总人数＝A+B﹣既A又B解答即可。
【解答】解：17+19﹣8
＝36﹣8
＝28（人）
答：参加这两项课后服务的共有28人。
故答案为：28。
【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝A+B﹣既A又B。
11．【答案】10；14；35。
【分析】根据所给数据的特点，2、5、7任选两个数求积都不同，2×5＝10、2×7＝14、5×7＝35，所以得数有3种。
【解答】解：2×5＝10
8×7＝14
5×6＝35
得数可能是10、14。
故答案为：10；14。
【点评】解答本题利用列举法，找到积可能的得数。
12．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把3部分人数相加就是一共调查的人数；
（2）喜欢篮球的有4+5＝9人，只喜欢足球的有11人，两种球都喜欢的有4人．
【解答】解：（1）11+4+5＝20（人）
答：一共调查了20人．
（2）5+5＝9（人）
答：喜欢篮球的有8人，只喜欢足球的有11人．
故答案为：20，9，11，4．
【点评】解答此题关键是看懂图意，明确：只喜欢篮球的有5人，只喜欢足球的有11人，两种球都喜欢的有4人．
13．【答案】7。
【分析】小红要和自己之外的同组同学都要握手，一共8人，用同组同学人数减去自己即可解答此题。
【解答】解：8﹣1＝4（次）
答：她一共要握7次。
故答案为：7。
【点评】本题考查了简单的“握手问题”，注意不是求总握手次数。
三．判断题（共6小题）
14．【答案】×
【分析】每两个球队都要比赛一场，即进行循环赛制，则每个球队都要和其他四个队各赛一场，所有球队共参赛：5×（5﹣1）＝20（场），由于每场比赛是在两个队之间进行的，所以一共要赛：20÷2＝10（场）。
【解答】解：5×（5﹣4）÷2
＝20÷2
＝10（场）
所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】在循环赛中，参赛人数与比赛场数的关系为：比赛场数＝人数×（人数﹣1）÷2。
15．【答案】见试题解答内容
【分析】当3个不同的数字中有一个为0时，先排百位，因为0不能放在百位上，所以有2种排法；再排十位，有2种排法；再排个位，有1种排法，共有2×2×1＝4种；据此解答．
【解答】解：当3个不同的数字中有一个为0时，可以组成3个不同的三位数．
故答案为：×．
【点评】本题考查了乘法原理，由于情况数较少可以有枚举法解答，注意要按顺序写出，防止遗漏；注意0不能放在最高位．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】要使用数字1、6、0、8、4组成的五位数最大，则最高位上是五个数字中的最大数8，其余的数位上的数分别是6、4、1、0．
【解答】解：因为用数字1、6、4、8、4组成的一个最大的五位数是86410，
所以题中说法正确．
故答案为：√．
【点评】此题主要考查了简单的排列、组合问题，以及整数的组成，要熟练掌握．
17．【答案】√
【分析】每个人都要和另外的5个人握一次手，6个人共握6×5＝30次，由于每两人握手，应算作一次手，去掉重复的情况，实际只握了30÷2＝15次，据此解答．
【解答】解：（6﹣1）×8÷2
＝30÷2
＝15（次）
答：一共要握手15次．
故答案为：√．
【点评】本题是典型的握手问题，如果人数比较少，可以用枚举法解答；如果人数比较多，可以用公式：n（n﹣1）÷2解答．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】3个人每两人握手一次，则每个人都要和其他2个人分别握手，则所有人握手的次数为2×3＝6次，由于握手是在两人之间进行的，所以共握手：6÷2＝3次．
【解答】解：3×（3﹣2）÷2
＝6÷5
＝3（次）；
答：一共要握3次．
故答案为：×．
【点评】解答此类每两人都要握手一次的题目要明确：握手的次数＝人数×（人数﹣1）÷2．
19．【答案】×
【分析】先不考虑重复的情况，每两种水果做一个拼盘，每种水果可以和其它3种水果做一个拼盘，一共可以拼出4×3＝12（种）；由于每种水果重复多算了1次，所以实际上可以拼出12÷2＝6（种）不同的拼盘，据此解答即可。
【解答】解：4×（4﹣5）÷2
＝4×5÷2
＝12÷2
＝3（种）
所以原题说一共可以做8种水果拼盘的说法是错误的。
故答案为：×。
【点评】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果数量比较少可以用枚举法解答，如果数量比较多可以用公式：n（n﹣1）÷2解答。
四．计算题（共2小题）
20．【答案】见试题解答内容
【分析】第一个因数有3种选择，第一个因数又2种选择，共有3×2＝6种选择，因为乘积只和两个因数的大小有关系，与因数的位置无关，所以共有6÷2＝3种选择；据此写出即可．
【解答】解：3×2÷8
＝6÷2
＝8（个）
2×5＝10
8×8＝16
5×5＝40
答：得数有3种可能，分别是10、40．
【点评】本题考查了握手次数问题的灵活运用，计算方法：握手次数＝人数×（人数﹣1）÷2，代入数据计算即可．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】从图可知，小线段一共有4条，根据线段的计数方法可得：线段总条数就是4+3+2+1＝10条；在组成的所有线段中，第一条1厘米长的小线段用了4次；第二条用了6次；第三条用了6次，第四条用了4次，即可求出所有的线段之和．
【解答】解：4+3+8+1＝10（条）
1×2+4×6+4×6+3×8
＝4+24+12+12
＝52（厘米）
答：一共有10条线段，总长度是52厘米．
【点评】此题主要考查线段的计算方法．
五．应用题（共7小题）
22．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题干可知至少答对一题的总人数是18+23﹣17＝24人，由此利用总人数﹣至少答对一题的人数＝两题都不对的人数．
【解答】解：45﹣（18+23﹣17）
＝45﹣24
＝21（人）
答：两道题都没答对的有21人．
【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
23．【答案】见试题解答内容
【分析】根据分数乘法的意义，分别求出会唱歌的人数和会跳舞的人数，然后求出两者的和，这样再减去至少会一种的人数48﹣3＝45人，就是两项都会的有多少人．
【解答】解：48×＝32（人）
48×＝36（人）
48﹣3＝45（人）
32+36﹣45﹣3＝23（人）
答：两项都会的有23人．
【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
24．【答案】11人。
【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数解答即可。
【解答】解：56+27﹣72
＝83﹣72
＝11（人）
答：两项活动都参加的有11人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
25．【答案】57人。
【分析】从喜欢小说类的39人中去掉既喜欢小说类又喜欢文学类的18人，剩下的人数就是只喜欢小说类的，用总人数减去只喜欢小说类的，剩下的就是喜欢文学类的。
【解答】解：39﹣18＝21（人）
78﹣21＝57（人）
答：喜欢文学类的有57人。
【点评】熟练掌握集合问题的计算是解答此题的关键。
26．【答案】3人。
【分析】有兄弟人数加有姐妹人数，再加独生子女人数，然后减去一（3）班人数，即等于既有兄弟又有姐妹的人数。
【解答】解：14+13+8﹣32
＝35﹣32
＝3（人）
答：该班中有兄弟又有姐妹的有8人。
【点评】熟练掌握集合问题解题方法是解答本题的关键。
27．【答案】135人。
【分析】订阅了《现代少年报》的人数+订阅了《中国少年报》的人数﹣两种都订的人数＝总人数。
【解答】解：68+79﹣12
＝147﹣12
＝135（人）
答：订阅了报刊的一共有135人。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。
28．【答案】46人。
【分析】带矿泉水的人数+带水果的人数﹣既带矿泉水又带水果的人数＝总人数。
【解答】解：24+30﹣8
＝54﹣8
＝46（人）
答：一共有46人去春游。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。
2023-2024学年五年级下册数学重难点单元培优讲义(冀教版)
1．握手问题
【知识点归纳】
假设有N个人，则每个人都要和除自己之外的（N﹣1）个人握手，
则总握手的次数是N（N﹣1），但是在这N（N﹣1）次的握手中，每一次的握手都重复计算了，例如我和你握手，你和我握手是一样的．所以，要把它除以2，
则N个人握手的次数是N（N﹣1）．
2．容斥原理
【知识点归纳】
在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．
一般方法：
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．
容斥原理1：两量重叠问题
A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数
用符号可表示成：A∪B＝A+B﹣A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．
容斥原理2：三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．
用符号表示为：A∪B∪C＝A+B+C﹣A∩B﹣B∩C﹣A∩C+A∩B∩C
3．简单的排列、组合
【知识点归纳】
1．排列组合的概念：
所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序．
组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序．
排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数．
2．解决排列、组合问题的基本原理：
分类计数原理与分步计数原理．
（1）分类计数原理（也称加法原理）：
指完成一件事有很多种方法，各种方法相互独立，但用其中任何一种方法都可以做完这件事．
那么各种不同的方法数加起来，其和就是完成这件事的方法总数．
如从甲地到乙地，乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有3+2＝5种不同的走法．
（2）分步计数原理（也称乘法原理）：
指完成一件事，需要分成多个步骤，每个步骤中又有多种方法，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．
那么，每个步骤中的方法数相乘，其积就是完成这件事的方法总数．
如从甲地经过丙地到乙地，先有3条路可到丙地，再有2路可到乙地，所以共有3×2＝6种不同的走法．
一．选择题（共7小题）
1．书架上有3本不同的科技书和3本不同的文艺书，小红想借两本不同类的书，共有（ ）
A．9 B．6 C．3
2．明明、红红、丽丽、君君在元旦前互赠1张贺卡，一共需要（ ）张贺卡。
A．4 B．12 C．16
3．一个正方体，六个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6．掷一次，可能出现（ ）
A．4 B．5 C．6
4．用玫瑰花、满天星和百合三种花中的至少两种做插花，一共有（ ）种搭配方法。
A．7 B．5 C．4
5．从小明、小华和小静3名同学中选择2名同学作为“优秀少先队员”，有（ ）种可能的结果。
A．3 B．4 C．5 D．6
6．某次比赛中三（1）班获得“阅读之星”称号的有22人，获得“速算小能手”称号的有35人，全班每人至少获得了一种称号。三（1）班一共有（ ）
A．57 B．62 C．42
7．志愿者去两个小区义务植树，到阳光小区植树的有15人，到未来城小区植树的有9人（ ）人。
A．15 B．9 C．6
二．填空题（共6小题）
8．学校运动会，三（1）班参加跑步比赛的有12人，参加跳绳比赛的有20人，参加跑步比赛和跳绳比赛的一共有 人。
9．歌舞兴趣小组共有24人，其中有16人会唱歌，12人会跳舞 人。
10．周六课后服务，三年（1）班参加“硬笔书法”的有17人，既参加“硬笔书法”又参加“阅读写作”的有8人，参加这两项课后服务的共有 人。
11．从2、5、7这三个数中，任选2个求积。得数可能是 、 、 。
12．看图回答问题．
（1）一共调查了 人．
（2）喜欢篮球的有 人，只喜欢足球的有 人，两种球都喜欢的有 人．
13．小红所在的小组共有8位同学，她想和小组里的每一位同学都握一次手，她一共要握 次。
三．判断题（共6小题）
14．有5支球队参加比赛，如果每两支球队之间都要举行一场比赛，那么一共要举行20场比赛。
15．用任意3个不同的数字都可以组成6个不同的三位数．
16．用数字1、6、0、8、4组成的一个最大的五位数是86410． ．
17．6个同学相互之间都要握手一次，一共要握手15次．
18．3个小朋友每两人握手一次，一共要握手6次． ．
19．有4种水果，如果每两种水果做成一种水果拼盘，一共可以做8种水果拼盘。
四．计算题（共2小题）
20．任意选取三张卡片中的两张求积，得数有几种可能？请写出来．
21．求下列图中线段长度的总和．（单位：厘米）
五．应用题（共7小题）
22．三（5）班45名同学参加数学活动，答对第一题的有23人，两道题都答对的有17人，两道题都没答对的有几人？
23．某校对一年级某班新生做一项调查，学生共48人，会唱歌的人数占全班的，两项都不会的有3人，两项都会的有多少人？
24．四年级有72人参加了“故事力”大赛的写故事和演故事比赛的两项活动，参加写故事的有56人，参加演故事的有27人。两项活动都参加的有多少人？
25．三（1）、三（2）班共有78个学生，其中喜欢小说类的有39人，既喜欢小说类又喜欢文学类的有18人。喜欢文学类的有多少人？
26．随着国家人口政策的调整，不少同学有了兄弟姐妹。某实验学校一（3）班有32名同学，13人有姐妹，8人是独生子女。该班中有兄弟又有姐妹的有几人？
27．三年级有68人订阅了《现代少年报》，有79人订阅了《中国少年报》，其中有12人两种都订了。订阅了报刊的一共有多少人？
28．三年级学生去春游，带矿泉水的有24人，带水果的有30人，既带矿泉水又带水果的有8人，一共有多少人去春游？
第八单元探索乐园(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年五年级下册(冀教版)
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【答案】A
【分析】用科技书的本数乘文艺书的本数，即可求出共有多少种不同的借法。
【解答】解：3×3＝8（种）
答：共有9种不同的借法。
故选：A。
【点评】本题考查排列组合和乘法原理的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
2．【答案】B
【分析】如果4个同学互相寄一张贺卡，由于每两人要互寄，每个人都要给另外的3个人寄．每人需要3张，一共要寄：4×3＝12（张）贺卡，据此解答。
【解答】解：4×（4﹣2）
＝4×3
＝12（张）
答：一共需要12张贺卡。
故选：B。
【点评】解决本题的关键是明确互相发贺卡，所以每个人需要的贺卡数量是：（总人数﹣1）；一共需要的贺卡总数就要再乘总人数。
3．【答案】C
【分析】6个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6，掷一次可能是1朝上，也可能是2朝上、3朝上…6朝上；一共有6种可能．
【解答】解：6个面上分别写着数字1、8、3、4、2、6，掷一次可能是：
1朝上，也可能是4朝上、4朝上、6朝上；
一共有4种可能．
故选：C．
【点评】六个面上的数字是固定的，只要找出朝上的数字的可能性即可求解．
4．【答案】C
【分析】至少两种做插花，那么可以是用2种或者3种，写出所有的可能即可求解。
【解答】解：用两种：玫瑰花、满天星、百合、百合3种方法；
用3种：菊花、满天星和百合；
6+1＝4（种）
答：一共有2种搭配方法。
故选：C。
【点评】解决本题注意理解题意，找出所有的可能，从而解决问题。
5．【答案】A
【分析】从小明、小华和小静3名同学中选择2名同学作为“优秀少先队员”，有小明、小华，小明、小静，小华、小静，三种可能的结果。
【解答】解：可以是小明、小华或小明、小静。
故选：A。
【点评】本题主要考查简单的组合问题，可以利用逆向思维法或列举法解答本题。
6．【答案】C
【分析】根据容斥原理公式：总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。
【解答】解：22+35﹣15
＝57﹣15
＝42（人）
答：三（1）班一共有42人。
故选：C。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
7．【答案】B
【分析】根据包含关系，到两个小区都植树的志愿者最多的情况是：到未来城小区植树的9人都到阳光小区植树，据此解答即可。
【解答】解：因为15＞9，所以到两个小区都植树的志愿者最多不超过9人。
故选：B。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
二．填空题（共6小题）
8．【答案】26。
【分析】参加跑步比赛的加上参加跳绳比赛的减去两项都参加的即是所求问题。
【解答】解：12+20﹣6
＝32﹣6
＝26（人）
答：参加跑步比赛和跳绳比赛的一共有26人。
故答案为：26。
【点评】本题考查了容斥原理的应用。
9．【答案】见试题解答内容
【分析】用16加12求出会唱歌的与会跳舞的总人数，把既会唱歌又会跳舞的多算了一次，所以再减去24就是既会唱歌又会跳舞的人数。
【解答】解：16+12﹣24
＝28﹣24
＝4（人）
答：既会唱歌又会跳舞的有4人。
故答案为：6。
【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。
10．【答案】28。
【分析】根据容斥原理公式：总人数＝A+B﹣既A又B解答即可。
【解答】解：17+19﹣8
＝36﹣8
＝28（人）
答：参加这两项课后服务的共有28人。
故答案为：28。
【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝A+B﹣既A又B。
11．【答案】10；14；35。
【分析】根据所给数据的特点，2、5、7任选两个数求积都不同，2×5＝10、2×7＝14、5×7＝35，所以得数有3种。
【解答】解：2×5＝10
8×7＝14
5×6＝35
得数可能是10、14。
故答案为：10；14。
【点评】解答本题利用列举法，找到积可能的得数。
12．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把3部分人数相加就是一共调查的人数；
（2）喜欢篮球的有4+5＝9人，只喜欢足球的有11人，两种球都喜欢的有4人．
【解答】解：（1）11+4+5＝20（人）
答：一共调查了20人．
（2）5+5＝9（人）
答：喜欢篮球的有8人，只喜欢足球的有11人．
故答案为：20，9，11，4．
【点评】解答此题关键是看懂图意，明确：只喜欢篮球的有5人，只喜欢足球的有11人，两种球都喜欢的有4人．
13．【答案】7。
【分析】小红要和自己之外的同组同学都要握手，一共8人，用同组同学人数减去自己即可解答此题。
【解答】解：8﹣1＝4（次）
答：她一共要握7次。
故答案为：7。
【点评】本题考查了简单的“握手问题”，注意不是求总握手次数。
三．判断题（共6小题）
14．【答案】×
【分析】每两个球队都要比赛一场，即进行循环赛制，则每个球队都要和其他四个队各赛一场，所有球队共参赛：5×（5﹣1）＝20（场），由于每场比赛是在两个队之间进行的，所以一共要赛：20÷2＝10（场）。
【解答】解：5×（5﹣4）÷2
＝20÷2
＝10（场）
所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】在循环赛中，参赛人数与比赛场数的关系为：比赛场数＝人数×（人数﹣1）÷2。
15．【答案】见试题解答内容
【分析】当3个不同的数字中有一个为0时，先排百位，因为0不能放在百位上，所以有2种排法；再排十位，有2种排法；再排个位，有1种排法，共有2×2×1＝4种；据此解答．
【解答】解：当3个不同的数字中有一个为0时，可以组成3个不同的三位数．
故答案为：×．
【点评】本题考查了乘法原理，由于情况数较少可以有枚举法解答，注意要按顺序写出，防止遗漏；注意0不能放在最高位．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】要使用数字1、6、0、8、4组成的五位数最大，则最高位上是五个数字中的最大数8，其余的数位上的数分别是6、4、1、0．
【解答】解：因为用数字1、6、4、8、4组成的一个最大的五位数是86410，
所以题中说法正确．
故答案为：√．
【点评】此题主要考查了简单的排列、组合问题，以及整数的组成，要熟练掌握．
17．【答案】√
【分析】每个人都要和另外的5个人握一次手，6个人共握6×5＝30次，由于每两人握手，应算作一次手，去掉重复的情况，实际只握了30÷2＝15次，据此解答．
【解答】解：（6﹣1）×8÷2
＝30÷2
＝15（次）
答：一共要握手15次．
故答案为：√．
【点评】本题是典型的握手问题，如果人数比较少，可以用枚举法解答；如果人数比较多，可以用公式：n（n﹣1）÷2解答．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】3个人每两人握手一次，则每个人都要和其他2个人分别握手，则所有人握手的次数为2×3＝6次，由于握手是在两人之间进行的，所以共握手：6÷2＝3次．
【解答】解：3×（3﹣2）÷2
＝6÷5
＝3（次）；
答：一共要握3次．
故答案为：×．
【点评】解答此类每两人都要握手一次的题目要明确：握手的次数＝人数×（人数﹣1）÷2．
19．【答案】×
【分析】先不考虑重复的情况，每两种水果做一个拼盘，每种水果可以和其它3种水果做一个拼盘，一共可以拼出4×3＝12（种）；由于每种水果重复多算了1次，所以实际上可以拼出12÷2＝6（种）不同的拼盘，据此解答即可。
【解答】解：4×（4﹣5）÷2
＝4×5÷2
＝12÷2
＝3（种）
所以原题说一共可以做8种水果拼盘的说法是错误的。
故答案为：×。
【点评】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果数量比较少可以用枚举法解答，如果数量比较多可以用公式：n（n﹣1）÷2解答。
四．计算题（共2小题）
20．【答案】见试题解答内容
【分析】第一个因数有3种选择，第一个因数又2种选择，共有3×2＝6种选择，因为乘积只和两个因数的大小有关系，与因数的位置无关，所以共有6÷2＝3种选择；据此写出即可．
【解答】解：3×2÷8
＝6÷2
＝8（个）
2×5＝10
8×8＝16
5×5＝40
答：得数有3种可能，分别是10、40．
【点评】本题考查了握手次数问题的灵活运用，计算方法：握手次数＝人数×（人数﹣1）÷2，代入数据计算即可．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】从图可知，小线段一共有4条，根据线段的计数方法可得：线段总条数就是4+3+2+1＝10条；在组成的所有线段中，第一条1厘米长的小线段用了4次；第二条用了6次；第三条用了6次，第四条用了4次，即可求出所有的线段之和．
【解答】解：4+3+8+1＝10（条）
1×2+4×6+4×6+3×8
＝4+24+12+12
＝52（厘米）
答：一共有10条线段，总长度是52厘米．
【点评】此题主要考查线段的计算方法．
五．应用题（共7小题）
22．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题干可知至少答对一题的总人数是18+23﹣17＝24人，由此利用总人数﹣至少答对一题的人数＝两题都不对的人数．
【解答】解：45﹣（18+23﹣17）
＝45﹣24
＝21（人）
答：两道题都没答对的有21人．
【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
23．【答案】见试题解答内容
【分析】根据分数乘法的意义，分别求出会唱歌的人数和会跳舞的人数，然后求出两者的和，这样再减去至少会一种的人数48﹣3＝45人，就是两项都会的有多少人．
【解答】解：48×＝32（人）
48×＝36（人）
48﹣3＝45（人）
32+36﹣45﹣3＝23（人）
答：两项都会的有23人．
【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
24．【答案】11人。
【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数解答即可。
【解答】解：56+27﹣72
＝83﹣72
＝11（人）
答：两项活动都参加的有11人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
25．【答案】57人。
【分析】从喜欢小说类的39人中去掉既喜欢小说类又喜欢文学类的18人，剩下的人数就是只喜欢小说类的，用总人数减去只喜欢小说类的，剩下的就是喜欢文学类的。
【解答】解：39﹣18＝21（人）
78﹣21＝57（人）
答：喜欢文学类的有57人。
【点评】熟练掌握集合问题的计算是解答此题的关键。
26．【答案】3人。
【分析】有兄弟人数加有姐妹人数，再加独生子女人数，然后减去一（3）班人数，即等于既有兄弟又有姐妹的人数。
【解答】解：14+13+8﹣32
＝35﹣32
＝3（人）
答：该班中有兄弟又有姐妹的有8人。
【点评】熟练掌握集合问题解题方法是解答本题的关键。
27．【答案】135人。
【分析】订阅了《现代少年报》的人数+订阅了《中国少年报》的人数﹣两种都订的人数＝总人数。
【解答】解：68+79﹣12
＝147﹣12
＝135（人）
答：订阅了报刊的一共有135人。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。
28．【答案】46人。
【分析】带矿泉水的人数+带水果的人数﹣既带矿泉水又带水果的人数＝总人数。
【解答】解：24+30﹣8
＝54﹣8
＝46（人）
答：一共有46人去春游。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。