4.1.2 数列的递推公式 课时练（含答案）

第2课时　数列的递推公式
1．已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，则此数列的第5项是(　　)
A．15 B．255 C．16 D．63
2．数列，－，，－，…的第n项an与第n＋1项an＋1的关系是(　　)
A．an＋1＝2an B．an＋1＝－2an
C．an＋1＝an D．an＋1＝－an
3．已知数列{an}满足an＝＋1(n≥2，n∈N*)，若a4＝，则a1等于(　　)
A．1 B. C．2 D.
4．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是(　　)
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋，n∈N*，n≥2
D．an＝an－1＋，n∈N*，n≥2
5．(多选)已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，则下列说法正确的是(　　)
A．a1＝3 B．an＝2n(n≥2)
C．an＝2n D．an＝2n(n≥2)
6．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于(　　)
A．n2＋1 B．n＋1
C．1－n D．3－n
7．在数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝________.
8．已知数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝________.
9．已知数列{an}的通项公式为an＝.
(1)判断是不是数列{an}中的项；
(2)试判断数列{an}中的项是否都在区间(0,1)内．
10．(1)已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．
①Sn＝2n2－3n；
②Sn＝3n＋2；
(2)已知数列{an}中，a1＝，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
11．设an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，那么an＋1－an等于(　　)
A. B.
C.＋ D.－
12．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－，则a2 024等于(　　)
A. B．－1 C．2 D．3
13．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022等于(　　)
A．a2 021 B．a2 022 C．a2 023 D．a2 024
14．设Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn＝－2＋2an，则an＝________.
15．在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
16．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a4＝4，求m所有可能的取值．
第2课时　数列的递推公式
1．B　2.D　3.A　4.B　5.AD
6．D　[∵an＋1－an＝－1.
∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
当n＝1时，a1＝2也符合上式．
故数列的通项公式
an＝3－n(n∈N*)．]
7．19
8.
解析　a1a2…a8＝82，①
a1a2…a9＝92，②
②÷①得，a9＝＝.
9．解　(1)∵an＝
＝＝，
∴由an＝＝，解得n＝，
∵不是正整数，∴不是数列{an}中的项．
(2)∵an＝＝＝1－，n∈N*，0<<1，
∴010．解　(1)①当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
当n＝1时，a1＝－1，符合上式，
所以{an}的通项公式是an＝4n－5，n∈N*.
②当n＝1时，a1＝S1＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝3n＋2－(3n－1＋2)
＝2×3n－1，
当n＝1时，a1＝5，不符合上式，
所以{an}的通项公式是
an＝
(2)因为an＝an－1(n≥2)，
所以当n≥2时，＝，
所以＝，＝，…，＝，＝，
以上n－1个式子左右两边分别相乘，得
··…··
＝××…××，
即＝××2×1，
所以an＝(n≥2)．
当n＝1时，a1＝，符合上式．
所以数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*.
11．D　[∵an＝＋＋＋…＋，
∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，
∴an＋1－an＝＋－＝－.]
12．B　[由题意得，a2＝1－＝－1，
a3＝1－＝2，
a4＝1－＝＝a1，
a5＝1－＝－1＝a2，a6＝2＝a3，…
所以数列{an}是一个周期为3的周期数列，
故a2 024＝a3×674＋2＝a2＝－1.]
13．C　[由于an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，
则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a5＋a6＋…＋a2 022＝a2 021＋a2 022＝a2 023.]
14．2n
解析　当n＝1时，由a1＝S1＝－2＋2a1，得a1＝2，当n≥2时，由Sn＝－2＋2an，得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，得an＝2an－1，
由累乘法可得an＝2n，
又a1＝2适合上式，
所以an＝2n.
15．28
解析　依题意得数列{an}是周期为3的数列，
且a1＝1，a2＝2，a3＝4，
因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
16．解　若a3为奇数，则3a3＋1＝4，
a3＝1.
若a2为奇数，则3a2＋1＝1，
a2＝0(舍去)，
若a2为偶数，则＝1，a2＝2.
若a1为奇数，则3a1＋1＝2，
a1＝(舍去)，
若a1为偶数，＝2，a1＝4.
若a3为偶数，则＝4，a3＝8.
若a2为奇数，则3a2＋1＝8，
a2＝(舍去)，
若a2为偶数，则＝8，a2＝16.
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5，
若a1为偶数，则＝16，a1＝32.
故m所有可能的取值为4,5,32.