4.2 等差数列 习题课　等差数列概念的综合问题 （含答案）

习题课　等差数列概念的综合问题
1．已知各项不为0的等差数列{an}满足a6－a＋a8＝0，则a7等于(　　)
A．1 B．8 C．4 D．2
2．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为(　　)
A．0 B．37
C．100 D．－37
3．在等差数列{an}中，若a3＋a6＋a9＋a12＋a15＝120，则3a12－a18的值为(　　)
A．24 B．36
C．48 D．60
4．已知等差数列{an}中，a1＝3，公差为d(d∈N*)，若2 023是该数列的一项，则公差d不可能是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
5．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，则中间三尺的质量为(　　)
A．3斤 B．6斤
C．9斤 D．12斤
6．在等差数列{an}中，a1≠0，若存在正整数m，n，p，q满足m＋nA．4
B．1
C.
D．由等差数列的首项a1的值决定
7．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
8．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
9．四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数．
10．已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)是否存在一个实数λ，使得数列为等差数列，请说明理由．
11．若等差数列{an}的首项a1＝5，am＝3，则am＋2等于(　　)
A．13 B．3－
C．3－ D．5－
12．设等差数列{an}的公差为d，若数列为递减数列，则(　　)
A．d>0 B．d<0
C．a1d>0 D．a1d<0
13．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小的两份之和，则最小的一份为(　　)
A. B.
C. D.
14．等差数列{an}，满足对任意n∈N*都有＝，则＋＝________.
15．已知等差数列{an}单调递增且满足a1＋a10＝4，则a8的取值范围是(　　)
A．(2,4) B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(4，＋∞)
16．有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？
习题课　等差数列概念的综合问题
1．D　2.C　3.C
4．B　[由2 023是该数列的一项，得2 023＝3＋(n－1)d，所以n＝＋1，因为d∈N*，所以d是2 020的约数，故d不可能是3.]
5．C　[由题意可知金箠每尺的质量(单位：斤)构成等差数列{an}，设细的一端一尺的质量为a1斤，粗的一端一尺的质量为a5斤，
则a1＝2，a5＝4，
根据等差数列的性质可知a1＋a5＝2a3＝6，解得a3＝3，
所以中间三尺的质量为a2＋a3＋a4＝3a3＝9(斤)．]
6．B　[设{an}的公差为d，由am＋an＝ap＋aq得(m＋n－p－q)d＝0.
因为存在正整数m，n，p，q满足m＋n又a1≠0，所以a2 022＝a2 023≠0，
所以＝1.]
7．－21
解析　设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得或
∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.
∴它们的积为－21.
8．1或2
解析　∵a，b，c成等差数列，
∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
9．解　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，得
解得或
又四个数成递减等差数列，
所以d<0，
所以d＝－，
故所求的四个数为11,8,5,2.
10．解　(1)因为a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，
所以a2＝＝，a3＝＝.
(2)假设存在一个实数λ，使得数列为等差数列，所以＝＋，即＝＋，解得λ＝1.
因为－
＝－
＝－
＝＝－，
且＝－1，所以存在一个实数λ＝1，使得数列是首项为－1，公差为－的等差数列．
11．B　[设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＝5，am＝3，
所以d＝＝.
所以am＋2＝am＋2d＝3＋
＝3－.]
12．D　[由数列为递减数列，得，
再由指数函数的性质得a1an－1>a1an，
由等差数列{an}的公差为d知，
an－an－1＝d，
所以a1an－1>a1an a1an－a1an－1<0 a1(an－an－1)<0 a1d<0.]
13．A　[设五个人所分得的面包个数为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，
其中d>0，
则(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5a＝100，∴a＝20.
由(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，
得3a＋3d＝7(2a－3d)，
∴24d＝11a，
∴d＝，
∴最小的一份为a－2d＝20－＝.]
14．1
解析　由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6，
所以＋＝＝＝＝1.
15．C　[设公差为d，∵a1＋a10＝4，
∴2a1＋9d＝4，∴a1＝2－d，
∴a8＝a1＋7d＝2＋d，∵d>0，
∴a8＝2＋d>2.]
16．解　设某单位需购买电视机n台．
在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，an＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800，
由an＝－20n＋800≥440，得n≤18，
即购买台数不超过18台时，
每台售价(800－20n)元；
购买台数超过18台时，
每台售价440元．
到乙商场购买时，
每台售价为800×75%＝600(元)．
比较在甲、乙两家家电商场的费用
(800－20n)n－600n＝20n(10－n)．
当n＜10时，(800－20n)n＞600n，
到乙商场购买花费较少；
当n＝10时，(800－20n)n＝600n，
到甲、乙商场购买花费相同；
当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n，到甲商场购买花费较少；
当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少．
因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少．