6．1.1 函数的平均变化率
必备知识基础练
1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx是( )
A．Δx>0B．Δx<0
C．Δx≠0D．Δx＝0
2．若函数f(x)＝x2－t，当1≤x≤m时，平均变化率为2，则m＝( )
A． B．2 C．3 D．1
3．函数f(x)＝x2－7x在区间[1，2]上的平均变化率为( )
A．－4B．4C．－6D．6
4．某物体沿水平方向运动，其前进距离s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s(t)＝5t＋2t2，则该物体在运动前2s的平均速度(单位：m/s)为( )
A．18m/sB．13m/s
C．9m/sD．m/s
5．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为( )
A．v2＝v3
C．v16．函数f(x)＝从x＝到x＝2的平均变化率为( )
A．2B．C．D．
关键能力综合练
7.(多选题)如图所示的是物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是( )
A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
8．函数y＝f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A．k1>k2B．k1C．k1＝k2D．不能确定
9．函数f(x)的图象如图，则函数f(x)在下列区间上平均变化率最大的是( )
A．[1，2] B．[2，3] C．[3，4] D．[4，7]
10.给出四个函数：①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝.其中在[1，1.3]上的平均变化率最大的是________(填序号).
11．如图是函数y＝f(x)的图象，函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________，函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________.
12．若函数f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．
核心素养升级练
13.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是________．(填“甲”或“乙”)
14．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min).
(1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？
(2)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
6．1.1 函数的平均变化率
必备知识基础练
1．答案：C
解析：Δx可正可负但不能为零．故选C.
2．答案：D
解析：由题意得＝＝＝m＋1＝2，所以m＝1.故选D.
3．答案：A
解析：＝＝＝－4.故选A.
4．答案：C
解析：因为s(t)＝5t＋2t2，所以该物体在运动前2s的平均速度为＝＝9(m/s).故选C.
5．答案：C
解析：因为v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC，
由图象易知kOA所以v16．答案：B
解析：函数f(x)从x＝到x＝2的增量Δf＝f(2)－f＝－＝2－1＝1，
所以f(x)从x＝到x＝2的平均变化率为＝＝.故选B.
关键能力综合练
7．答案：BC
解析：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故C正确，D错误．故选BC.
8．答案：A
解析：k1＝＝
＝2x0＋Δx，
k2＝＝＝2x0－Δx.
由题意，知Δx>0，所以k1>k2.故选A.
9．答案：C
解析：函数f(x)在区间上的平均变化率为，
由函数图象可得，在区间[4，7]上，<0，即函数f(x)在区间[4，7]上的平均变化率小于0；
在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]上时，>0且Δx相同，由图象可知函数在区间[3，4]上的最大．
所以函数f(x)在区间[3，4]上的平均变化率最大．故选C.
10．答案：③
解析：①中函数在[1，1.3]上的平均变化率为＝1；
②中函数在[1，1.3]上的平均变化率为＝2.3；
③中函数在[1，1.3]上的平均变化率为＝3.99；
④中函数在[1，1.3]上的平均变化率为≈－0.77.
观察可知，在[1，1.3]上的平均变化率最大的是③.
11．答案：
解析：函数y＝f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为＝＝.
由函数y＝f(x)的图象知，
f(x)＝
所以函数y＝f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝.
12．解析：因为函数f(x)在[2，2＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝－3－Δx，
所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又Δx>0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞).
核心素养升级练
13．答案：乙
解析：在t0处，
虽然W1(t0)＝W2(t0)，
但是在t0－Δt处，W1(t0－Δt)即<，
所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小，所以乙厂的治污效果较好．
14．解析：(1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝＋15＝39，
T(10)＝＋15＝23，
故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16℃.
(2)平均变化率为＝－＝－1.6.
它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃.第1课时 瞬时变化率与导数
必备知识基础练
1．自由落体运动的物体下落的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数s＝f(t)＝gt2，取g＝10m/s2，则t＝2时的瞬时速度是( )
A．10m/sB．20m/s
C．30m/sD．40m/s
2．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且＝1，则f′(x0)＝( )
A．1B．－1C．－D．
3．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m＝( )
A．－4B．2C．－2D．±2
4．质点按规律s(t)＝at＋1运动，若t＝2时的瞬时速度为，则a＝________．
5．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则实数a＝________．
6.已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，则适合f′(x0)＋2＝g′(x0)的x0＝________．
关键能力综合练
7.(多选题)给出下列结论，其中正确的是( )
A．函数y＝2x2－1在x＝3处的导数为11
B．若物体的位移s与时间t的关系是s＝f(t)，则物体在时刻t0的瞬时速度v等于f′(t0)
C．物体做直线运动时，它的速度v与时间t的关系可以用函数v＝v(t)描述，其中v表示瞬时速度，t表示时间，那么该物体运动的加速度a＝
D．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝－3
8．若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为1，则＝( )
A．2B．3C．－2D．－3
9．设函数f(x)在点x0附近有定义，且f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝aB．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b
10．如果一个质点从固定点A开始运动，关于时间t的位移函数是s(t)＝t3＋3，则t＝4时，物体的位移s(4)＝________；t＝4时，物体的速度v(4)＝________.
11．已知曲线y＝2x2＋1在点M处的瞬时变化率为－4，则点M的坐标为( )
A．(1，3) B．(－4，3)
C．(－1，3) D．不确定
12.已知函数f(x)＝ax2－ax＋b，f′(1)＝1，且f(1)＝2，求f(x)的解析式．
核心素养升级练
13.对于函数y＝，其导数值等于函数值的点是________．
14．若f(x)＝x2，则＝________．
第1课时 瞬时变化率与导数
必备知识基础练
1．答案：B
解析：f′(t)＝gt，故t＝2时的瞬时速度是f′(2)＝2g＝2×10＝20m/s.故选B.
2．答案：C
解析：因为＝
[×(－3)]＝－3f′(x0)＝1，
所以f′(x0)＝－.故选C.
3．答案：D
解析：因为f′(x)＝＝－，所以－＝－，即m2＝4，解得m＝±2.故选D.
4．答案：
解析：＝a＝.
5．答案：1
解析：因为f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx，
所以f′(1)＝＝＝ (aΔx＋2a)＝2a＝2，解得a＝1.
6．答案：或
解析：由导数的定义知，
f′(x0)＝＝2x0，
g′(x0)＝＝3x.
因为f′(x0)＋2＝g′(x0)，
所以2x0＋2＝3x，即3x－2x0－2＝0，
解得x0＝或x0＝.
关键能力综合练
7．答案：BC
解析：函数y＝2x2－1在x＝3处的导数为＝ (12＋2Δx)＝12，故A错误；根据瞬时变化率在物理学中的含义知B，C正确；因为f′(1)＝＝＝a，所以f′(1)＝a＝3，故D错误．故选BC.
8．答案：D
解析：由已知可得，f′(x0)＝1.
根据导数的定义可知，
＝f′(x0)＝1，
即－＝1，
所以＝－3.故选D.
9．答案：C
解析：f′(x0)＝＝ (a＋b·Δx)＝a．故选C.
10．答案：67 48
解析：依题意s(4)＝43＋3＝67，
当t＝4时，＝＝48＋12Δt＋(Δt)2，
所以＝[48＋12Δt＋(Δt)2]＝48，
所以v(4)＝48.
11．答案：C
解析：设点M的坐标为(t0，2t＋1)，
则＝
＝＝4t0＋2Δt，
由题意知4t0＝－4，解得t0＝－1，
所以点M的坐标为(－1，3).故选C.
12．解析：f′(1)＝＝
＝ (2a＋a·Δx－a)＝2a－a＝a.
因为所以
所以f(x)＝x2－2x＋.
核心素养升级练
13．答案：(－2，)
解析：设导数值等于函数值的点是(x0，f(x0))，
则f′(x0)＝＝＝－.
由题意知f′(x0)＝f(x0)，即－＝，
解得x0＝－2，从而y0＝.
14．答案：2
解析：因为＝＝Δx＋2x，
根据导数的概念可得，f′(x)＝＝ (Δx＋2x)＝2x，
即f′(x)＝2x，所以f′(1)＝2.
又＝f′(1)，所以＝2.第2课时 导数的几何意义
必备知识基础练
1．设函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则＝( )
A．4B．2
C．1D．－3
2．曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为( )
A．1B．
C．D．
3．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是( )
A．f′(1)C．f′(2)4．已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为( )
A．－2B．－1
C．1D．2
5．求双曲线y＝在点处的切线方程．
6．已知曲线y＝2x－x2上的两点A(2，0)和B(1，1)，求：
(1)割线AB的斜率kAB；
(2)过点A的切线的斜率kAT；
(3)点A处的切线的方程．
关键能力综合练
7.(多选题)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．点A处的变化率大小大于点B处的变化率大小
8．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)＝( )
A．－4B．3
C．－2D．1
9.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的范围为，则点P横坐标的取值范围为________．
10．已知直线x＋y＝b是函数f(x)＝ax＋的图象在点(1，m)处的切线，则a＋b＝________，m＝________．
11．已知曲线y＝x3＋，求曲线过点P(2，4)的切线方程．
12．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．
核心素养升级练
13.点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．
14．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明
理由．
第2课时 导数的几何意义
必备知识基础练
1．答案：A
解析：由导数值的定义，＝f′(1)，根据导数的几何意义，f′(1)＝4，即＝4.故选A.
2．答案：B
解析：因为y′＝＝＝x2，
所以切线的斜率k＝1，
所以切线的倾斜角为.故选B.
3．答案：B
解析：由图象可知，函数在[0，＋∞)上的增长速度越来越快，故函数图象在点(x0，f(x0))(x0∈(0，＋∞))的切线的斜率越来越大．因为＝a，
所以f′(1)4．答案：D
解析：因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－x2－x＝x·Δx＋(Δx)2＋Δx，所以＝x＋Δx＋1，所以f′(x)＝＝x＋1.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝x0＋1＝3，所以x0＝2.故选D.
5．解析：设双曲线y＝在点处的切线斜率为k.
函数f(x)＝的定义域为.
设y＝f(x)，因为＝＝＝＝＝－，
根据导数的定义知，f′(x)＝＝＝－.
根据导数的几何意义，k＝f′＝－＝－4，又切点为，
代入点斜式方程可得y－2＝－4，整理可得4x＋y－4＝0.
6．解析：(1)由已知可得，kAB＝＝－1.
(2)令y＝f(x)，＝＝＝＝2－2x－Δx，
根据导数的定义可得，f′(x)＝＝ (2－2x－Δx)＝2－2x.
①当切点为A点时，根据导数的几何意义知kAT＝f′(2)＝2－2×2＝－2；
②当切点不是A点时．
设切点坐标为(x0，2x0－x)，(x0≠2)，则kAT＝2－2x0，
又kAT＝＝－x0，所以有2－2x0＝－x0，解得x0＝2，
因为x0≠2，所以此时无解．
综上所述，过点A的切线的斜率kAT＝－2.
(3)由(2)知，曲线在点A处的切线的斜率kAT＝－2，
代入点斜式方程有y＝－2(x－2)，整理可得切线的方程为2x＋y－4＝0.
关键能力综合练
7．答案：BD
解析：由题图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)|f′(xB)|，所以点A处的变化率大小大于点B处的变化率大小．故选BD.
8．答案：D
解析：由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，则可知l：x＋y＝4，
∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，
f(2)＋f′(2)＝1.故选D.
9．答案：[－1，－]
解析：设点P横坐标为x0，
＝
＝ (Δx＋2x0＋2)＝2x0＋2，
则曲线C在点P处的切线斜率为2x0＋2.
由已知得0≤2x0＋2≤1，所以－1≤x0≤－.
10．答案：5 3
解析：由题意知m＝a＋2，1＋m＝b，
因为f′(1)＝＝＝a－2，所以曲线f(x)在点(1，m)处的切线斜率为a－2，由a－2＝－1，得a＝1，m＝3，b＝4，a＋b＝5.
11．解析：设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A(x0，x＋)，则切线的斜率为
k＝＝x，
所以切线方程为y－＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
因为点P(2，4)在切线上，
所以4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，
所以x＋x－4x＋4＝0，
所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2.
故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
12．解析：因为f′(1)＝＝＝2a，所以切线斜率k1＝2a.
因为g′(1)＝＝＝3＋b，所以切线斜率k2＝3＋b.
因为在交点(1，c)处有公共切线，所以2a＝3＋b.
又因为a＋1＝1＋b，即a＝b，所以可得a＝3，b＝3.
核心素养升级练
13．解析：设P(x0，y0)，则y0＝x＋1，
f′(x0)＝＝2x0，
所以过点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x＋1－x，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线斜率存在，且与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，
由
得2x2＋2x0x＋2－x＝0，
则Δ＝4x－8(2－x)＝0，
解得x0＝±，则y0＝，
所以点P的坐标为或.
14．解析：因为＝＝2x＋Δx，
所以y′＝＝ (2x＋Δx)＝2x.
设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率k＝2x0，
由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0).
又因为切线过点(1，a)，且y0＝x＋1，
所以a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，
即x－2x0＋a－1＝0.因为切线有两条，
所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2).6．1.3 基本初等函数的导数
必备知识基础练
1．(多选题)下列求导数运算正确的有( )
A．(sinx)′＝cosxB．′＝
C．(log3x)′＝D．(lnx)′＝
2．函数y＝3x在x＝2处的导数为( )
A．9B．6
C．9ln3D．6ln3
3．(多选题)给出下列结论，正确的为( )
A．(cosx)′＝sinx
B．′＝0
C．′＝－
D．()′＝－
4．曲线y＝lnx在点(1，0)处的切线方程为________．
5．设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x>0)在点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．
6．求与曲线y＝f(x)＝在点P(8，4)处的切线垂直，且过点(4，8)的直线方程．
关键能力综合练
7.已知正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A．∪B．[0，π)
C．D．∪
8．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )
A．(1，1) B．(－1，－1)
C．(－1，1) D．(1，1)或(－1，－1)
9．已知曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝ax2＋3x＋3(a≠0)只有一个公共点，则实数a的值为( )
A．B．1
C．2D．－
10.已知曲线y＝lnx的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c＝________．
11．求曲线y＝过点(3，2)的切线方程．
12．已知两条曲线y1＝sinx，y2＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由．
核心素养升级练
13.若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________.
14．如图所示，设直线l1与曲线y＝相切于点P，直线l2过点P且垂直于l1，设l2交x轴于点Q，作PK垂直x轴于点K，则KQ的长为( )
A．B．
C．D．
6．1.3 基本初等函数的导数
必备知识基础练
1．答案：AD
解析：(sinx)′＝cosx，故A正确；
′＝－，故B错误；
(log3x)′＝，故C错误；
(lnx)′＝，故D正确．故选AD.
2．答案：C
解析：y′＝(3x)′＝3xln3，故所求导数为9ln3.故选C.
3．答案：BD
解析：(cosx)′＝－sinx，所以A错误；
sin＝，′＝0，所以B正确；
′＝′＝0，所以C错误；
′＝′＝－x－＝－，所以D正确．故选BD.
4．答案：y＝x－1
解析：y′＝，当x＝1时，y′＝1，
所以曲线y＝lnx在点(1，0)处的切线方程为y＝x－1.
5．答案：(1，1)
解析：由y＝ex得y′＝ex，所以曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率为e0＝1.又曲线y＝(x>0)在点P处的切线与曲线y＝ex在点(0，1)处的切线垂直，所以曲线y＝(x>0)在点P处的切线的斜率k＝－1.设P(a，b)，因为y′＝′＝－x－2，所以曲线y＝(x>0)在点P处的切线的斜率k＝－a－2＝－1，解得a＝1(负值舍去).又P(a，b)在曲线y＝上，则b＝1，故点P的坐标为(1，1).
6．答案：3x＋y－20＝0
解析：因为y＝，所以y′＝()′＝′＝x－，
所以f′(8)＝×8－＝，即曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为.
所以所求直线的斜率为－3，从而所求直线方程为y－8＝－3(x－4)，即3x＋y－20＝0.
关键能力综合练
7．答案：A
解析：设切点P的坐标为(x0，y0)，切线的倾斜角为α，
因为y′＝(sinx)′＝cosx，所以k＝cosx0＝tanα.
因为－1≤cosx0≤1，所以－1≤tanα≤1.
又因为0≤α<π，所以0≤α≤或≤α<π.故选A.
8．答案：D
解析：切线的斜率k＝tanπ＝－1，
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，
又f′(x)＝－，∴－＝－1，∴x0＝1或－1，
∴切点坐标为(1，1)或(－1，－1).故选D.
9．答案：A
解析：y＝ex的导数y′＝ex，
曲线y＝ex在x＝0处切线斜率k＝e0＝1，
则曲线y＝ex在x＝0处切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1.
由于切线与曲线y＝ax2＋3x＋3只有一个公共点，
联立，得ax2＋2x＋2＝0，
即Δ＝22－4×a×2＝0，解得a＝.故选A.
10．答案：－1
解析：设切点为(x0，lnx0)，由y＝lnx得y′＝.因为曲线y＝lnx在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1，
所以＝1，即x0＝1，
所以切点为(1，0)，所以1－0＋c＝0，所以c＝－1.
11．解析：因为点(3，2)不在曲线y＝上，所以设过点(3，2)与曲线y＝相切的直线在曲线上的切点为(x0，y0)，则y0＝.
因为y＝，所以y′＝，
所以根据导数的几何意义，曲线在点(x0，y0)处的切线斜率k＝.
因为切线过点(3，2)，
所以＝，即＝，
整理得()2－4＋3＝0，
解得x0＝1或x0＝9，
所以切点坐标为(1，1)或(9，3).
当切点坐标为(1，1)时，切线斜率k＝，
所以切线方程为y－2＝(x－3)，
即x－2y＋1＝0；
当切点坐标为(9，3)时，切线斜率k＝，
所以切线方程为y－2＝(x－3)，
即x－6y＋9＝0.
综上可知，曲线y＝过点(3，2)的切线方程为x－2y＋1＝0或x－6y＋9＝0.
12．解析：∵y1＝sinx，y2＝cosx，∴y′1＝cosx，y′2＝－sinx．
设两条曲线的一个公共点为点P(x0，y0)，∴两条曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cosx0，k2＝－sinx0.若两条切线互相垂直，则cosx0·(－sinx0)＝－1，
即sinx0·cosx0＝1，∴sin2x0＝2，显然不成立，
∴这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点的两条曲线的切线互相垂直．
核心素养升级练
13．答案：4
解析：因为y′＝，
所以曲线在点P处切线方程为y－＝(x－a)，
令x＝0，得y＝，
令y＝0，得x＝－a，
由题意知··a＝2，所以a＝4.
14．答案：A
解析：由题意，得y′＝()′＝，
设P(x0，y0)，则kl1＝.
因为直线l1与l2垂直，则kl2＝－2，
所以直线l2的方程为y－y0＝－2(x－x0).
因为点P(x0，y0)在曲线y＝上，
所以y0＝.
在直线l2的方程中，令y＝0，
得－＝－2(x－x0)，
所以x＝＋x0，即xQ＝＋x0.又xK＝x0，
所以|KQ|＝xQ－xK＝＋x0－x0＝.故选A.第1课时 函数的求导法则
必备知识基础练
1．函数y＝的导数y′＝( )
A．
B．
C．
D．
2．已知函数f(x)＝xex＋ax，若f′(0)＝2，则实数a＝( )
A．－1B．0
C．1D．2
3．曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为( )
A．B．
C．D．
4．求下列函数的导数．
(1)y＝x2sinx
(2)y＝lnx＋
(3)y＝
(4)y＝x－sincos
5．已知f(x)＝x(x＋lnx)，则f(x)在x＝1处的切线方程是________．
6．求过点M(1，1)且与曲线f(x)＝x3＋1相切的直线方程．
关键能力综合练
7.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ex，则f′(2)＝( )
A．－2B．－2
C．－D．－－2
8.已知曲线y＝f(x)在点x＝0处的切线方程为y＝3x＋1，则曲线y＝在点x＝0处的切线方程为________．
9．写出a的一个值，使得直线x＋ay－a＝0是曲线y＝的切线，则a＝________．
10．过点A(1，1)且与曲线y＝－x4－x3＋x＋相切的直线共有________条．
11．已知二次函数f(x)＝ax2＋ax－2b，其图象过点(2，－4)，且f′(1)＝－3.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝xlnx，求曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程．
12．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝tanx.
(1)求曲线y＝g(x)在处切线的方程；
(2)若直线l过坐标原点且与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程．
核心素养升级练
13.已知函数f(x)＝x2＋cosx，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(x)的图象大致是( )
14.曲线y＝lnx＋x上的点到直线y＝2x＋4的最短距离是________．
15．已知函数f(x)＝ax3－x2－x＋b(a，b∈R，a≠0)，g(x)＝ex，f(x)的图象在x＝－处的切线方程为y＝x＋.
(1)求a，b的值；
(2)直线y＝x＋是否与函数g(x)的图象相切？若相切，求出切点的坐标；若不相切，请说明理由．
第1课时 函数的求导法则
必备知识基础练
1．答案：C
解析：y′＝′＝＝.故选C.
2．答案：C
解析：f′(x)＝ex(x＋1)＋a，故f′(0)＝1＋a＝2，所以a＝1.故选C.
3．答案：B
解析：因为f′(x)＝x2－2x，所以k＝f′(1)＝－1，所以曲线在x＝1处的切线的倾斜角为.故选B.
4．解析：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx；
(2)y′＝－；
(3)y′＝
＝＝－；
(4)y＝x－sinx，y′＝1－cosx．
5．答案：y＝3x－2
解析：已知当x＝1时f(1)＝1，
由f′(x)＝(x＋lnx)＋x(1＋)，得f′(1)＝3，
根据点斜式可得：y－1＝3(x－1) y＝3x－2.
6．解析：由题意，设切点坐标为P(x0，y0)，(x0≠1)，
则y0＝x＋1，
又由函数f(x)＝x3＋1，可得f′(x)＝3x2，
所以f′(x0)＝3x，
根据斜率公式和导数的几何意义，
可得＝＝3x，即3x＝，
解得x0＝0或x0＝，
所以切线的斜率为k＝f′(0)＝0或k＝f′＝，
所以切线方程为y－1＝0或y－1＝(x－1)，
即y－1＝0或27x－4y－23＝0.
关键能力综合练
7．答案：D
解析：依题意f′(x)＝2x＋3f′(2)＋ex，令x＝2得f′(2)＝4＋3f′(2)＋e2，f′(2)＝－－2.故选D.
8．答案：y＝2x＋1
解析：将x＝0代入y＝3x＋1，则y＝3×0＋1＝1，即f(0)＝1，
由y＝f(x)，则y′＝f′(x)，由题意，f′(0)＝3，
将x＝0代入y＝，则y＝＝1，由y＝，则y′＝，
将x＝0代入y′＝，则y′＝＝＝2，
则切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.
9．答案：π(答案不唯一)
解析：设切点为P(x0，y0)，直线x＋ay－a＝0恒过定点(0，1)，
y′＝，则＝，
则sinx0－x0＝x0cosx0－sinx0，可得其中一个根x0＝π，
y′＝－，此时－＝－，得a＝π.
10．答案：2
解析：设切点的坐标为(x0，－x－x＋x0＋)，因为y′＝－x3－x2＋，
所以切线的方程为y－(－x－x＋x0＋)＝(－x－x＋)(x－x0)，
将A(1，1)代入方程整理得(x－1)2＝0，解得x0＝1或x0＝－1.
故切线方程为y＝x或y＝－x＋2，
即过点A(1，1)且与曲线y＝－x4－x3＋x＋相切的直线共有2条．
11．解析：(1)因为f(x)＝ax2＋ax－2b，则f′(x)＝2ax＋a，
所以，，解得.
(2)因为g(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，
且g′(x)＝lnx＋1，
所以g′(1)＝1，g(1)＝0，故切点坐标为(1，0)，
所以函数g(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－1.
12．解析：(1)g(x)＝tanx＝，所以g′(x)＝＝，所以g′()＝2，g()＝1，所以切线方程为：y－1＝2(x－)，整理得2x－y＋1－＝0.
(2)f(x)＝lnx，所以f′(x)＝，设切点坐标为(x0，lnx0)，所以切线斜率为k＝，
则切线方程为：y－lnx0＝(x－x0)，又因为切线过原点，所以将(0，0)代入切线方程得－lnx0＝·(－x0)，解得x0＝e，所以切线方程为：y－1＝(x－e)，整理得x－ey＝0.
核心素养升级练
13．答案：A
解析：因为f(x)＝x2＋cosx，
所以f′(x)＝x－sinx，
所以f′(－x)＝－f′(x)，故f′(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D；
又当x＝时，f′＝－sin＝－1<0，排除C，只有A符合．故选A.
14．答案：
解析：设与y＝2x＋4平行的直线l与y＝lnx＋x相切，则切线l的斜率k＝2，
因为y＝lnx＋x，所以y′＝＋1，由y′＝＋1＝2，得x＝1.
当x＝1时，y＝ln1＋1＝1，即切点坐标为P(1，1)，
则点(1，1)到直线y＝2x＋4的距离就是曲线y＝lnx＋x上的点到直线y＝2x＋4的最短距离，
所以点(1，1)到直线y＝2x＋4的距离d＝＝，
所以曲线y＝lnx＋x上的点到直线y＝2x＋4的最短距离为.
15．解析：(1)f′(x)＝3ax2－2x－1.
因为f(x)的图象在x＝－处的切线方程为y＝x＋，
所以f′＝，即3a·＋1－1＝，解得a＝1，又f(x)的图象过点，所以－－＋b＝，解得b＝.
综上，a＝1，b＝.
(2)设直线y＝x＋c与函数g(x)的图象相切于点A(x0，y0).
因为g′(x)＝ex，
所以g′(x0)＝ex0＝，
解得x0＝－，
将x0＝－代入g(x)＝ex，得点A的坐标是，所以切线方程为y－＝，化简得y＝x＋，
故直线y＝x＋与函数g(x)的图象相切，
切点坐标是.第2课时 简单复合函数的求导法则
必备知识基础练
1．函数y＝x2cos2x的导数为( )
A．y′＝2xcos2x－x2sin2x
B．y′＝2xcos2x－2x2sin2x
C．y′＝x2cos2x－2xsin2x
D．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x
2．(多选题)下列结论不正确的是( )
A．若y＝cos，则y′＝－sin
B．若y＝sinx2，则y′＝2xcosx2
C．若y＝cos5x，则y′＝－sin5x
D．若y＝xsin2x，则y′＝xsin2x
3．曲线y＝3(x2＋x)e2x在点(0，0)处的切线方程为________．
4．求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝(1－2x)3；
(3)y＝ln (2x＋1)；
(4)y＝cos；
(5)y＝sin；
(6)y＝22x＋1.
5．(1)已知y＝，则y′＝________；
(2)函数f(x)＝的导函数f′(x)＝________．
6．已知函数f(x)＝exln (1＋x).求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程．
关键能力综合练
7.若函数f(x)＝在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，则c＝( )
A．B．2
C．eD．
8.已知函数f(x)＝sin2x，则＝( )
A．B．1
C．D．
9.设f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x相切于点(0，0)，则a＝________，b＝________．
10．若曲线y＝f(x)＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________，曲线上的点到直线x＋y＋1＝0的最短距离是________．
11．曲线y＝f(x)＝eax·cos3x在点(0，1)处的切线l与直线m：x＋2y＝0垂直，则a＝________.
12．设函数f(x)＝aexlnx＋.
(1)求导函数f′(x)；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．
核心素养升级练
13.已知F(x)在R上可导，F(x)＝f(x3－1)＋f(1－x3)，则F′(1)＝________.
14．已知函数f(x)的导函数f′(x)，若f(x)＝f′·sin3x＋cos3x，则f′＝
第2课时 简单复合函数的求导法则
必备知识基础练
1．答案：B
解析：y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2·(－sin2x)(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.故选B.
2．答案：ACD
解析：y＝cos，则y′＝sin，故A错误；
y＝sinx2，则y′＝2xcosx2，故B正确；
y＝cos5x，则y′＝－5sin5x，故C错误；
y＝xsin2x，则y′＝sin2x＋xcos2x，故D错误．故选ACD.
3．答案：y＝3x
解析：y′＝3[(x2＋x)′e2x＋(x2＋x)(e2x)′]
＝3[(2x＋1)e2x＋2(x2＋x)e2x]，
所以当x＝0时，y′＝3，
所以曲线在点(0，0)处的切线方程为y＝3x.
4．解析：(1)函数y＝可以看作函数y＝和u＝3x＋1的复合函数，
∴yx′＝yu′·ux′＝′·(3x＋1)′＝(2u－)′·3＝－3u－＝－3(3x＋1)－.
(2)函数y＝(1－2x)3可以看作函数y＝u3和u＝1－2x的复合函数，
∴yx′＝yu′·ux′＝(u3)′·(1－2x)′＝－6u2＝－6(1－2x)2.
(3)函数y＝ln (2x＋1)可以看作函数y＝lnu和u＝2x＋1的复合函数，
∴yx′＝yu′·ux′＝(lnu)′·(2x＋1)′＝＝.
(4)函数y＝cos可以看作函数y＝cosu和u＝的复合函数，
∴yx′＝yu′·ux′＝(cosu)′·′＝－sinu＝－sin.
(5)函数y＝sin可以看作函数y＝sinu和u＝－3x的复合函数，
∴yx′＝yu′·ux′＝(sinu)′·′＝－3cosu＝－3cos＝3sin3x.
(6)函数y＝22x＋1可以看作函数y＝2u和u＝2x＋1的复合函数，
∴yx′＝yu′·ux′＝(2u)′·(2x＋1)′＝2·2u·ln2＝2·22x＋1·ln2＝22x＋2·ln2.
5．答案：(1)－ (2)－
解析：(1)y＝＝＝＝1＋.
设y＝1＋，u＝1－x，则y′x＝y′u·u′x＝(1＋)′·(1－x)′＝·(－1)＝－＝－.
(2)由f(x)＝，得f′(x)＝－.
6．解析：y＝f(x)＝exln (1＋x)，所以f(0)＝0，
即切点坐标为(0，0)，
又f′(x)＝ex，
∴切线斜率k＝f′(0)＝1，
∴切线方程为y＝x.
关键能力综合练
7．答案：A
解析：因为f′(x)＝＝，
所以f′(c)＝.
依题意知f(c)＋f′(c)＝0，即＋＝0，
所以2c－1＝0，得c＝.故选A.
8．答案：B
解析：由导数的定义可知＝f′，
又f′(x)＝2cos2x，故f′＝2×＝1.故选B.
9．答案：0 －1
解析：由曲线y＝f(x)过点(0，0)，
可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b，
得f′(x)＝＋＋a，
则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，
此即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率．
由题意得＋a＝，故a＝0.所以a＝0，b＝－1.
10．答案：(－ln2，2)
解析：设P(x0，e－x0)，
f′(x0)＝－e－x0＝－2，得x0＝－ln2，
所以P(－ln2，2).
设在P(m，n)处的切线平行于直线x＋y＋1＝0，
则有－e－m＝－1，得m＝0，n＝1，
即有切点为P(0，1)，
可得最短距离为点P(0，1)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝.
11．答案：2
解析：因为切线l与直线m：x＋2y＝0垂直，
所以切线l的斜率为2，
因为y＝eax·cos3x的导数为y′＝aeax·cos3x＋(－3sin3x)·eax＝eax·(acos3x－3sin3x)，
所以曲线在点(0，1)处的切线斜率为e0·(acos0－3sin0)＝a，所以a＝2.
12．解析：(1)由f(x)＝aexlnx＋，
得f′(x)＝(aexlnx)′＋′＝aexlnx＋＋.
(2)由题意得，切点既在曲线y＝f(x)上，
又在切线y＝e(x－1)＋2上，
将x＝1代入切线方程，得y＝2，
将x＝1代入函数y＝f(x)，得f(1)＝b，
所以b＝2.
将x＝1代入导函数f′(x)中，
得f′(1)＝ae＝e，
所以a＝1.
综上，a＝1，b＝2.
核心素养升级练
13．答案：0
解析：由题知F′(x)＝3x2f′(x3－1)－3x2f′(1－x3)，所以F′(1)＝3f′(0)－3f′(0)＝0.
14．答案：3
解析：因为f(x)＝f′sin3x＋cos3x，
所以f′(x)＝f′·3cos3x－3sin3x，
令x＝，
可得f′＝f′×3cos－3sin＝f′－3×，解得f′＝3.6．2.1 导数与函数的单调性(第1课时)
必备知识基础练
1．(多选题)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝－4，f′(1)＝0，则( )
A．f(x)＝x3＋x2＋3x
B．f(x)＝x3＋x2－3x
C．f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)
D．f(x)的单调递减区间为(－3，1)
2．函数f(x)＝x－ln2x的单调减区间是( )
A．B．
C．(1，＋∞) D．(0，1)
3．函数f(x)＝2x－ex的单调递增区间为( )
A．(－∞，0) B．(ln2，＋∞)
C．(－∞，ln2] D．[0，＋∞)
4．若f(x)＝，eA．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)1
5．设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是( )
6．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2－x＋1.
求函数h(x)＝f(x)－g(x)的单调区间．
关键能力综合练
7.已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
8．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递减区间是( )
A．(－∞，－2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－2，＋∞)
9．(多选题)已知函数f(x)＝x2－5x＋2lnx，则函数f(x)的单调递增区间有( )
A．B．(0，1)
C．(2，＋∞) D．
10．已知函数f(x)＝2x－sinx，则下列选项正确的是( )
A．f(e)B．f(π)C．f(e)D．f(2.7)11．函数f(x)＝x－ln (2x＋1)的单调递增区间是( )
A．B．
C．D．
12.判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性．
核心素养升级练
13.已知函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝(20.6)·f(20.6)，b＝(ln2)·f(ln2)，c＝·f，则a，b，c的大小关系是________．
14．函数f(x)＝·e－4x的增区间是( )
A．(－∞，－)，(，＋∞)
B．(－，)
C．(－，1)，(1，＋∞)
D．(－∞，－)，(，1)，(1，＋∞)
6．2.1 导数与函数的单调性(第1课时)
必备知识基础练
1．答案：BD
解析：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx，
所以f′(x)＝x2＋2ax＋b，
由得
解得a＝1，b＝－3，
所以f(x)＝x3＋x2－3x，
所以f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3).
由f′(x)>0得x>1或x<－3；
由f′(x)<0得－3所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3，1).故选BD.
2．答案：D
解析：∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1－＝，令f′(x)<0，解得0∴函数f(x)＝x－ln2x的单调减区间是(0，1).故选D.
3．答案：C
解析：∵f(x)＝2x－ex，
∴f′(x)＝2－ex，
令f′(x)>0，得x∴函数f(x)＝2x－ex的单调递增区间为(－∞，ln2].故选C.
4．答案：A
解析：因为f′(x)＝，所以当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上单调递减，
因为e所以f(a)>f(b).故选A.
5．答案：B
解析：由f(x)的图象可得，在y轴的左侧，图象呈下降趋势，f(x)单调递减，即导数小于或等于0但不恒为0，可排除C、D；再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f(x)先单调递减，再单调递增，后单调递减，即导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A.故选B.
6．解析：(1)由题设，h(x)＝f(x)－g(x)＝lnx－x2＋x－1，定义域为(0，＋∞)，
则h′(x)＝－2x＋1＝－＝－
当00；当x>1时，h′(x)<0，所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.
关键能力综合练
7．答案：D
解析：从f′(x)的图象可以看出，在大致区间内是单调递增的，在内是单调递减的，所以原函数f(x)的图象应在内越来越陡，在内越来越平缓，只有D选项符合．故选D.
8．答案：C
解析：由题意得f′(x)＝(x－2)ex，
令f′(x)＝(x－2)ex<0，∴x<2，
故函数f(x)＝(x－3)ex的单调递减区间是(－∞，2).故选C.
9．答案：AC
解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－5＋＝，
所以f(x)在区间(0，)，(2，＋∞)，f′(x)>0，f(x)递增．故选AC.
10．答案：D
解析：因为函数f(x)＝2x－sinx，
所以f′(x)＝2－cosx>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又因为2.7所以f(2.7)11．答案：D
解析：因为定义域是，且f′(x)＝1－＝，令f′(x)>0，解得x>，故单调递增区间是.故选D.
12．解析：函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1).
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递增，在(－1，0)上单调递减．
核心素养升级练
13．答案：c>b>a
解析：因为f(x)满足f(x)＝f(－x)，且在R上是连续函数，所以f(x)是偶函数，
不妨令g(x)＝x·f(x)，则g(x)在R上是连续函数，
得g(x)是奇函数，
则g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，
因为当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，
又因为g(x)在R上是连续函数，且是奇函数，
所以g(x)在R上单调递减，
则a＝g(20.6)，b＝g(ln2)，c＝g，
因为20.6>1，0所以log2<0b>a.
14．答案：D
解析：由题意可知：函数f(x)＝·e－4x的定义域为{x|x≠1}，
∵f′(x)＝＝，
令f′(x)>0，则，解得x>或x<－，且x≠1，
∴函数f(x)的增区间是，，(1，＋∞)．故选D.6．2.1 导数与函数的单调性(第2课时)
必备知识基础练
1．已知函数f(x)＝lnx＋x2＋ax的单调递减区间为，则( )
A．a∈(－∞，－3] B．a＝－3
C．a＝3D．a∈(－∞，3]
2．已知函数f(x)＝在区间(m，m＋2)上单调递减，则实数m的取值范围为________.
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(2a－3)x－1.
(1)若f(x)的单调递减区间为(－1，1)，则a的取值集合为________；
(2)若f(x)在区间(－1，1)上单调递减，则a的取值集合为________.
4．已知函数f(x)＝ax－lnx，其中a∈R.求f(x)的单调区间．
5．已知f(x)＝x2－2x＋alnx．若g(x)＝f(x)－ax，求函数g(x)的单调递增区间．
6．已知函数f(x)＝ex＋ax，其中a∈R.讨论函数f(x)的单调性．
关键能力综合练
7.设函数f(x)＝2x－－alnx在(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．[4，5] B．(5，＋∞)
C．[4，＋∞) D．[5，＋∞)
8．若函数f(x)＝x2－16lnx在区间[a－，a＋]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．B．
C．D．
9．若函数f(x)＝2x2－lnx在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A．B．
C．(1，2] D．[1，2)
10.若函数f(x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1，1)，求a的值．
11．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x＋1.讨论f(x)的单调性．
12．已知函数f(x)＝ax－(2a＋1)lnx－，a∈R.讨论函数f(x)的单调区间．
核心素养升级练
13.已知函数f(x)＝x2＋2alnx.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数g(x)＝＋f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．
14．已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.讨论f(x) 的单调性．
6．2.1 导数与函数的单调性(第2课时)
必备知识基础练
1．答案：B
解析：由f(x)＝lnx＋x2＋ax得f′(x)＝，又f(x)的单调递减区间是，所以和1是方程＝0的两个根，代入得a＝－3.经检验满足题意．故选B.
2．答案：[－1，1]
解析：f′(x)＝，
令f′(x)<0，解得－1所以f(x)的单调递减区间为(－1，3)，
所以(m，m＋2) (－1，3)，故
解得－1≤m≤1.
3．答案：(1){0} (2){a|a≤0}
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋2a－3＝(x＋1)(3x＋2a－3).
(1)因为f(x)的单调递减区间为(－1，1)，
所以－1和1是方程f′(x)＝0的两根，
所以＝1，所以a＝0，
所以a的取值集合为{0}．
(2)因为f(x)在区间(－1，1)上单调递减，
所以f′(x)≤0在(－1，1)内恒成立，
又二次函数y＝f′(x)的图象开口向上，一个根为－1，
所以必有≥1，所以a≤0，所以a的取值集合为{a|a≤0}．
4．解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝a－＝.
①当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝.f(x)和f′(x)的情况如下：
x
f′(x) － 0 ＋
f(x) ? ?
故f(x)的单调减区间为；单调增区间为.
5．解析：∵f(x)＝x2－2x＋alnx，
∴g(x)＝f(x)－ax＝x2－2x＋alnx－ax，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝2x－(2＋a)＋＝＝，
令g′(x)＝0，则x＝1或x＝，
当a≤0时，令g′(x)>0可得x>1，
∴函数g(x)的单调递增区间为(1，＋∞)；
当00，可得01，
∴函数g(x)的单调递增区间为，(1，＋∞)；
当a＝2时，g′(x)≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，
∴函数g(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a>2时，令g′(x)>0可得：0，
∴函数g(x)的单调递增区间为(0，1)，；
综上可得：当a≤0时单调递增区间为(1，＋∞)；
当0当a＝2时单调递增区间为(0，＋∞)；
当a>2时单调递增区间为(0，1)，.
6．解析：由f(x)＝ex＋ax，得f′(x)＝ex＋a，
当a≥0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增；
当a<0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln (－a)，
当x∈(－∞，ln (－a))时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(ln (－a)，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
综上所述：当a≥0时，f(x)在R上单调递增；当a<0时，f(x)在(－∞，ln (－a))上单调递减，在(ln (－a)，＋∞)上单调递增．
关键能力综合练
7．答案：D
解析：函数f(x)＝2x－－alnx在(1，2)上单调递减，则f′(x)＝2＋－≤0在(1，2)上恒成立，
所以a≥2x＋在(1，2)上恒成立，设函数h(x)＝2x＋，则h′(x)＝2－＝＝，
所以h′(x)>0在x∈(1，2)上恒成立，所以h(x)在(1，2)上单调递增，所以h(x)则实数a的取值范围是[5，＋∞).故选D.
8．答案：D
解析：f′(x)＝x－＝，(x>0)，
当f′(x)≤0，解得0由条件可知[a－，a＋] (0，4]，
所以，解得9．答案：A
解析：显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝.
由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为；
由f′(x)<0，得函数f(x)单调递减区间为.
因为函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以k－1<综上可知实数k的取值范围是[1，).故选A.
10．解析：由f′(x)＝3x2－a，
①当a≤0时，f′(x)≥0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
②当a>0时，
令3x2－a＝0，得x＝±，
当－所以f(x)在上为减函数，
所以f(x)的单调递减区间为，
所以＝1，解得a＝3.
11．解析：由题意可知f(x)的定义域为R，
f′(x)＝3x2－2ax＋3，令f′(x)＝0，可得3x2－2ax＋3＝0，
方程3x2－2ax＋3＝0的判别式Δ＝4(a2－9)，
①当Δ≤0，即－3≤a≤3时f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增；
②当Δ>0，即a<－3或a>3时，由3x2－2ax＋3＝0，
解得x1＝，x2＝
令f′(x)>0，则xx2；令f′(x)<0，则x1所以f(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．
综上，当－3≤a≤3时，f(x)在R上单调递增；
当a<－3或a>3时，
f(x)在上单调递增，在(，)上单调递减，在上单调递增．
12．解析：f′(x)＝a－＋＝＝，
当a≤0时，ax－1<0恒成立，令f′(x)＝>0得0令f′(x)＝<0得x>2，
故f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，＋∞)；
当02，故令f′(x)＝>0得0，
令f′(x)＝<0得2故f(x)的单调递增区间为(0，2)，，单调递减区间为；
当a＝时，f′(x)＝≥0恒成立，故f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a>时，0<<2，令f′(x)＝>0得02，
令f′(x)＝<0得故f(x)的单调递增区间为，(2，＋∞)，单调递减区间为；
综上：当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，＋∞)；
当0当a＝时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a>时，f(x)的单调递增区间为，(2，＋∞)，单调递减区间为.
核心素养升级练
13．解析：(1)f′(x)＝2x＋＝，
函数f(x)的定义域为(0，＋∞).
①当a≥0时，f′(x)>0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；
②当a<0时，f′(x)＝，
解方程f′(x)＝0，可得x＝(－舍去)，解不等式f′(x)>0，可得x>，此时f(x)单调递增；解不等式f′(x)<0，可得0(2)由g(x)＝＋x2＋2alnx，
得g′(x)＝－＋2x＋，
由已知函数g(x)为[1，2]上的减函数，
则g′(x)≤0在[1，2]上恒成立，
即－＋2x＋≤0在[1，2]上恒成立，
即a≤－x2在[1，2]上恒成立．
令h(x)＝－x2，x∈[1，2]，
则h′(x)＝－－2x＝－<0，
所以h(x)在[1，2]上为减函数．
h(x)min＝h(2)＝－，
所以a≤－，故a的取值范围为(－∞，－].
14．解析：函数f(x) 的定义域为(－∞，＋∞) ，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a) .
若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞) 上单调递增．
若a>0，则由f′(x)＝0得x＝lna.
当x∈(－∞，lna) 时，f′(x)<0；
当x∈(lna，＋∞) 时，f′(x)>0.
故f(x) 在(－∞，lna) 上单调递减，在(lna，＋∞) 上单调递增．
若a<0，则由f′(x)＝0得x＝ln (－).
当x∈(－∞，ln (－)) 时，f′(x)<0；
当x∈(ln (－)，＋∞) 时，f′(x)>0.
故f(x) 在(－∞，ln (－)) 上单调递减，
在(ln (－)，＋∞) 上单调递增．第1课时 函数的导数与极值
必备知识基础练
1．定义在区间上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)在区间(1，4)上单调递增
B．函数f(x)在区间(1，3)上单调递减
C．函数f(x)在x＝1处取得极大值
D．函数f(x)在x＝0处取得极大值
2．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则“函数y＝f(x)在某点处的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点处取得极值”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．函数f(x)＝ax－1－lnx(a≤0)在定义域内的极值点的个数为________．
4．已知函数f(x)＝x3＋6mx2＋4nx＋8m2在x＝－2处取得极值，且极值为0，则m＋4n＝________．
5．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝－2；
(2)f(x)＝.
6．已知函数f(x)＝＋x＋1，求函数f(x)的极值．
关键能力综合练
7.设a∈R，若函数y＝eax＋3x有大于零的极值点，则a的取值范围为( )
A．(－3，＋∞) B．(－∞，－3)
C．D．
8．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围是________．
9．若函数f(x)＝ex(sinx－a)在区间(0，π)上存在极值，则实数a的取值范围是________．
10．已知函数f(x)＝x2＋alnx＋bx在(1，f(1))处的切线方程为x＋y＋3＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的极值点，并计算两个极值之和．
11．已知函数f(x)＝xlnx＋ax＋2，满足f′(1)＝－2.
(1)求实数a的值；
(2)求f(x)的单调区间和极值．
12．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x－alnx，a∈R；
(2)f(x)＝x＋＋1，a∈R.
核心素养升级练
13.已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2.
(1)当x>0时，f(x)＋ex≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)求函数f(x)的极值点．
14．已知f(x)＝(x2－a)ex，x∈R.
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间和极值；
(2)已知x1，x2是f(x)的两个不同的极值点，且|x1＋x2|≥|x1x2|，求实数a的取值集合M.
15．设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)＋xf(x)＝lnx，f(e)＝，则下列结论正确的是( )
A．f(x)在(0，＋∞)上既有极大值又有极小值
B．f(x)在(0，＋∞)上既无极大值又无极小值
C．f(x)在(0，＋∞)上有极大值
D．f(x)在(0，＋∞)上有极小值
第1课时 函数的导数与极值
必备知识基础练
1．答案：A
解析：在区间(1，4)上f′(x)>0，故函数f(x)在区间(1，4)上单调递增，故A正确；在区间(1，3)上f′(x)>0，故函数f(x)在区间(1，3)上单调递增，故B错误；当x∈(0，4)时，f′(x)>0，可知函数f(x)在(0，4)上单调递增，故x＝1不是函数f(x)的极值点，故C错误；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0，4)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故函数f(x)在x＝0处取得极小值，故D错误．故选A.
2．答案：B
解析：根据导数的性质可知，若函数y＝f(x)在这点处取得极值，则f′(x)＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)＝x3在R上是增函数，f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但在x＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件．故选B.
3．答案：0
解析：因为x>0，f′(x)＝a－＝，
所以当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点．
4．答案：38
解析：由题意，函数f(x)＝x3＋6mx2＋4nx＋8m2，
可得f′(x)＝3x2＋12mx＋4n，
函数f(x)在x＝－2处取得极值，且极值为0，
可得，解得m＝1，n＝3或m＝2，n＝9，
当m＝1，n＝3时，f′(x)＝3x2＋12x＋12＝3(x＋2)2≥0，当且仅当x＝－2时取等号，
所以f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意；
当m＝2，n＝9时，f′(x)＝3x2＋24x＋36＝3(x＋2)(x＋6)，
当x<－6时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当－6当x>－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
故f(x)在x＝－2处取得极值，符合题意．
综上所述，m＝2，n＝9，所以m＋4n＝38.
5．解析：(1)因为f′(x)＝＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 单调递减 －3 单调递增 －1 单调递减
由上表看出，当x＝－1时，f(x)取得极小值，为f(－1)＝－3；
当x＝1时，f(x)取得极大值，为f(1)＝－1.
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (0，e) e (e，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 单调递减
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，没有极小值．
6．解析：f(x)＝＋x＋1，定义域为R，f′(x)＝1－＝.
①当a≤0时，f′(x)>0, f(x)在R上为增函数，f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a, x＝lna．
当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0；
∴f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，
f(x)在x＝lna取得极小值，极小值为f(lna)＝lna＋2，无极大值．
综上所述，当a≤0时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)有极小值f(lna)＝lna＋2，无极大值．
关键能力综合练
7．答案：B
解析：因为y＝eax＋3x，所以y′＝eax·a＋3，
当a≥0时，y′>0，不符合题意；
当a<0时，由y′＝0，得x＝ln.
因为函数y＝eax＋3x有大于零的极值点，
所以ln>0，解得a<－3.故选B.
8．答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3，f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
因为函数f(x)既有极大值，又有极小值，
所以Δ＝(6a)2－4×3×3×(a＋2)>0，
即a2－a－2>0，(a－2)(a＋1)>0，解得a>2或a<－1，
故a的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).
9．答案：(－1，)
解析：由f(x)＝ex(sinx－a)，得
f′(x)＝ex(sinx＋cosx－a)＝ex，
因为函数f(x)＝ex(sinx－a)在区间(0，π)上存在极值，
所以f′(x)＝ex＝0在(0，π)上有变号零点．
因为00，即sin－a＝0在(0，π)上有解，
转化为a＝sin在(0，π)上有解．
因为0即－于是，得－1实数a的取值范围是(－1，).
10．解析：(1)因为f(x)＝x2＋alnx＋bx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x＋＋b，
因为曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x＋y＋3＝0，
f(1)＝b＋1＝－4，可得b＝－5，f′(1)＝a＋b＋2＝－1，可得a＝2.
(2)由f(x)＝x2＋2lnx－5x(x>0)，得f′(x)＝2x＋－5＝＝，
列表如下：
x 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 增 极大值 减 极小值 增
所以，函数f(x)的极大值点为x1＝，极大值为f＝－－2ln2，
极小值点为x2＝2，极小值为f(2)＝2ln2－6，
所以，函数f(x)的极大值和极小值之和为f＋f(2)＝－.
11．解析：(1)由题意得，f′(x)＝lnx＋1＋a，
又f′(1)＝ln1＋1＋a＝－2，解得a＝－3.
(2)由(1)可知，f(x)＝xlnx－3x＋2，且f′(x)＝lnx－2为增函数．
令f′(x)＝0可得x＝e2，故当0e2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．故f(x)在x＝e2处有极小值f(e2)＝e2lne2－3e2＋2＝2－e2，无极大值．
综上f(x)单调递减区间为(0，e2)，单调递增区间为(e2，＋∞)，极小值为2－e2，无极大值．
12．解析：(1) f(x)＝x－alnx的定义域为(0，＋∞)，
由f′(x)＝1－＝，x>0，知
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．
(2)函数的定义域为{x|x≠0}，
f′(x)＝1－＝.
当a≤0时，显然f′(x)>0，这时函数f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递增，无极值；
当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝±.
解f′(x)>0得x>或x<－，此时f(x)单调递增；解f′(x)<0，得－综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝－处取得极大值－2＋1，在x＝处取得极小值2＋1.
核心素养升级练
13．解析：(1)由f(x)＋ex≥0(x>0)可得：xex－ax2≥0，即a≤，
令g(x)＝，则问题转化为a≤g(x)min(x>0)，
因为g′(x)＝＝，
所以当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
所以g(x)min＝g(1)＝2e，所以a≤2e，
故a的范围为(－∞，2e].
(2)因为f′(x)＝ex＋(x－1)ex－ax＝x(ex－a)，
所以f′(0)＝0，
当a≤0时，ex－a>0，
当x≤0，f′(x)≤0，f(x)单调递减；
当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，此时y＝f(x)的极值点为x＝0；
当a>0时，令f′(x)＝x(ex－a)＝0，得x1＝0，x2＝lna，
当0当x∈(－∞，lna)和(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(lna，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
所以此时的极值点为x＝0和x＝lna；
当a＝1时，lna＝0，此时f′(x)＝x(ex－1)≥0，f(x)单调递增，无极值点；
当a>1时，lna>0，
当x∈(－∞，0)和(lna，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(0，lna)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
所以此时的极值点为x＝0和x＝lna；
综上所述：当a≤0时，极值点为x＝0；当a＝1时，无极值点；当01时，极值点为x＝0和x＝lna．
14．解析：(1)因为a＝3，
所以f(x)＝(x2－3)ex，
所以f′(x)＝(x2＋2x－3)ex.
令f′(x)＝0，
解得x＝－3或x＝1.
当x∈(－∞，－3)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－3，1)时，f′(x)<0.
所以f(x)的增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)；减区间为(－3，1).
f(x)的极大值为f(－3)＝6e－3；极小值为f(1)＝－2e.
(2)f′(x)＝(x2＋2x－a)ex，
令f′(x)＝0，即x2＋2x－a＝0.
由题意得两根为x1，x2，
所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－a，
故－2≤a≤2.
又Δ＝4＋4a>0，所以－1所以M＝{a|－115．答案：B
解析：由x2f′(x)＋xf(x)＝lnx(x>0)可得
xf′(x)＋f(x)＝，从而[xf(x)]′＝，
令g(x)＝xf(x)，则f(x)＝，
所以f′(x)＝＝，
令h(x)＝lnx－g(x)，
则h′(x)＝－g′(x)＝－＝(x>0)，
令h′(x)>0，即1－lnx>0，
得当0令h′(x)<0，即1－lnx<0，
得当x>e时，h(x)是减函数，
由f(e)＝，得g(e)＝ef(e)＝1，
所以h(x)在(0，＋∞)上有极大值h(e)＝lne－g(e)＝1－1＝0，
所以h(x)≤0，即f′(x)≤0，当且仅当x＝e时，f′(x)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故函数f(x)在(0，＋∞)上既无极大值也无极小值．故选B.第2课时 函数最值的求法
必备知识基础练
1．(多选题)已知函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象如图所示，则下列判断正确的是( )
A．函数y＝f(x)在区间[a，b]上有3个极大值
B．函数y＝f(x)在区间[a，b]上有4个极小值
C．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M
D．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值是m
2．若函数f(x)＝在(－2，a)上有最小值，则a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞)
3．已知函数f(x)＝x－sinx，则f(x)在[0，π]上的值域为________．
4．已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．
5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋2a在x＝1处取得极小值1.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数y＝f(x)在区间[－2，2]上的值域．
6．函数f(x)＝x3－ax2－a2x，求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值．
关键能力综合练
7.函数y＝exsinx在上的最小值是( )
A．－e－B．－e－
C．－e－D．－e－
8．(多选题)定义在R上的函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．函数y＝f(x)在(3，5)上单调递减
B．f(0)>f(3)
C．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值
D．函数y＝f(x)存在最小值
9．已知a≤＋lnx对于x∈恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，0]
C．(－∞，1] D．(－∞，2)
10．已知R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f′(x)<2，则不等式f(x)<2x＋1的解集为( )
A．(－∞，1) B．(3，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
11．已知函数f(x)＝＋klnx，k<，求函数f(x)在上的最大值和最小值．
12．已知函数f(x)＝lnx＋(a为常数).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)不等式f(x)≥2在x∈(0，e2]上恒成立，求实数a的取值范围．
核心素养升级练
13.已知函数f(x)＝lnx－ax＋a.
(1)若a>0，试讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≤0恒成立，求实数a的值．
14．若函数f(x)＝lnx＋ax＋在[1，＋∞)上是单调函数，则a的取值范围是______________．
15．已知函数f(x)＝xlnx＋1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[t，t＋1](t>0)上的最小值．
第2课时 函数最值的求法
必备知识基础练
1．答案：ACD
解析：显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)，最小值y＝m＝f(x4).故选ACD.
2．答案：D
解析：f′(x)＝，
令f′(x)>0，解得x>－1；
令f′(x)<0，解得x<－1.
故f(x)在(－2，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，
若f(x)在(－2，a)上有最小值，则a>－1.故选D.
3．答案：
解析：由题意得f′(x)＝－cosx，令f′(x)＝0得x＝，
易知当x∈时，f′(x)＜0，此时f(x)递减；
当x∈时，f′(x)＞0，此时f(x)递增．
故f(x)min＝f＝－；因为f(0)＝0，f(π)＝.
故函数f(x)的值域为.
4．解析：(1)由f(x)＝(x－k)ex，
得f′(x)＝(x－k＋1)ex，
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ? －ek－1 ?
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞).
(2)当k－1≤0，即k≤1时，
函数f(x)在[0，1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，
函数f(x)在[0，1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；
当1当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.
5．解析：(1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋2a，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
根据题意，即
解得a＝3，b＝－9.经检验满足题意．
(2)由(1)知，f(x)＝x3＋3x2－9x＋6，f′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x＋3)(x－1)，
令f′(x)＝0，解得x＝－3或x＝1，
当x∈[－2，2]时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x －2 (－2，1) 1 (1，2) 2
f′(x) － 0 ＋
f(x) 28 单调递减 1 单调递增 8
因此当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝1，
当x＝－2时，f(x)取得最大值f(－2)＝28，
故f(x)的值域为[1，28].
6．解析：f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a.
①当a>0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝－a3.
②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，当且仅当x＝0时，f′(x)＝0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0.
③当a<0时，f(x)在上单调递减，
在上单调递增，
所以f(x)min＝f＝a3.
综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为－a3；
当a＝0时，f(x)的最小值为0；
当a<0时，f(x)的最小值为a3.
关键能力综合练
7．答案：C
解析：y′＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)＝exsin，
当－0，
当－所以函数y＝exsinx在上单调递减，
在上单调递增，所以函数y＝exsinx的最小值为e－sin＝－e－.故选C.
8．答案：ACD
解析：f′(x)<0在(3，5)上恒成立，则f(x)在(3，5)上单调递减，故A正确；f′(x)≥0在[－1，3]上恒成立，则f(x)在[－1，3]上单调递增，则f(0)0，则函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值，故C正确；由导数图可知f(x)在(－∞，－1)上递减，f(x)在(－1，3)上递增，f(x)在(3，5)上递减，f(x)在(5，＋∞)上递增，故f(x)min在两个极小值f(5)和f(－1)中产生，故存在最小值，故D正确．故选ACD.
9．答案：B
解析：令f(x)＝＋lnx，f′(x)＝＋＝，
令f′(x)＝0，解得x＝1，
当x∈[，1)时，f′(x)<0，当x∈(1，2]时，f′(x)>0，
所以f(x)在[，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增，
所以f(x)min＝f(1)＝0，
因为a≤＋lnx对于x∈[，2]恒成立，所以a≤f(x)min，即a≤0.故选B.
10．答案：C
解析：令F(x)＝f(x)－2x－1，
则F′(x)＝f′(x)－2，
又∵f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<2，
∴F′(x)＝f′(x)－2<0恒成立，
∴F(x)＝f(x)－2x－1是R上的减函数，
又∵F(1)＝f(1)－2－1＝0，
∴当x>1时，F(x)即不等式f(x)<2x＋1的解集为(1，＋∞).故选C.
11．解析：因为f(x)＝＋klnx，
所以f′(x)＝＋＝.
①若k＝0，则f′(x)＝－在[，e]上恒有f′(x)<0，
所以f(x)在[，e]上单调递减．
所以f(x)min＝f(e)＝，
f(x)max＝f＝e－1.
②若k≠0，f′(x)＝＝.
a.若k<0，则在[，e]上恒有<0，
所以f(x)在[，e]上单调递减，
所以f(x)min＝f(e)＝＋klne＝＋k－1，
f(x)max＝f＝e－k－1.
b.若k>0，由k<，得>e，则x－<0，
所以<0，所以f(x)在[，e]上单调递减，
所以f(x)min＝f(e)＝＋klne＝＋k－1，
f(x)max＝f＝e－k－1.
综上，f(x)min＝＋k－1，f(x)max＝e－k－1.
12．解析：(1)f(x)＝lnx＋定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＝，
当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0；所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)单调递增．
(2)由题意知：lnx＋≥2在x∈(0，e2]上恒成立，即：a≥2x－xlnx在(0，e2]上恒成立，
令g(x)＝2x－xlnx，则g′(x)＝1－lnx，由g′(x)＝0，得x＝e，
当x∈(0，e)时，g′(x)>0，当x∈(e，e2]时，g′(x)<0，
∴g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，e2]上单调递减，
∴g(x)max＝g(e)＝2e－elne＝e，
只需a≥e，所以实数a的取值范围是[e，＋∞).
核心素养升级练
13．解析：(1)由题意，函数f(x)＝lnx－ax＋a的定义域为(0，＋∞)，
则f′(x)＝－a＝，
当a>0时，由f′(x)>0可得0.
所以，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，递减区间为(，＋∞).
(2)当a≤0时，对任意的x>0，f′(x)＝>0，
此时函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以当x>1时，f(x)>f(1)＝0，不合题意；
当a>0时，由(1)可知f(x)max＝f()＝ln－1＋a＝－lna＋a－1，
因为f(x)≤0对 x>0成立，所以f(x)max≤0，即－lna＋a－1≤0，
令g(a)＝－lna＋a－1(a>0)，则g′(a)＝1－＝，
由g′(a)<0可得00可得a>1，
所以g(a)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则g(a)min＝g(1)＝0，
所以g(a)≥g(1)＝0，所以不等式－lna＋a－1≤0的解为a＝1.综上可得，a＝1.
14．答案：(－∞，－]∪[0，＋∞)
解析：由题意得f′(x)＝＋a－，
因为f(x)＝lnx＋ax＋在[1，＋∞)上是单调函数，
所以f′(x)≥0或f′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，
①当f′(x)≥0时，＋a－≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即a≥－在[1，＋∞)上恒成立，
设g(x)＝－＝2－，
因为x∈[1，＋∞)，所以∈(0，1]，
当＝1时，g(x)取到最大值0，
所以a≥0；
②当f′(x)≤0时，
＋a－≤0在[1，＋∞)上恒成立，
即a≤－在[1，＋∞)上恒成立，
设g(x)＝－＝2－，
因为x∈[1，＋∞)，所以∈(0，1]，
当＝时，g(x)取到最小值－，
所以a≤－.
综上可得，a≤－或a≥0，
所以a的取值范围是(－∞，－]∪[0，＋∞).
15．解析：(1)f(x)＝xlnx＋1，
f′(x)＝lnx＋1＝lnx－ln，x>0，
当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0，
故f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)由(1)知，当x∈时，f(x)单调递减，
当x∈时，f(x)单调递增，
得f(x)的最小值为f＝1－，
当t∈，t＋1∈时，f(x)在区间[t，t＋1](t>0)上的最小值为f＝1－；
当t∈时，t＋1∈，f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增，f(x)的最小值为f(t)＝tlnt＋1.