8.4.1 平面的基本性质 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面的基本性质
情境引入
几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的．
在初中，我们已经对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现实事物抽象得到的，平面是构成我们生活的空间的基本元素之一，增加了对平面的研究，几何的学习就由二维到三维．你能举例说明，生活中哪些物体给我们平面的感觉呢？
新知探究
和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的不加定义的最基本的几何概念．那么，类比直线的“直”和向两端“无限延伸”的特征，平面有哪些特征呢？
平面是“平”的；
平面可以向四周“无限延伸”．
我们是怎么用图形和符号表示直线的？类似地，如何用图形和符号表示平面？
平面
平面
平面
记作：
A
B
C
D
线段
直线
平行四边形
平面
新知探究
和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的不加定义的最基本的几何概念．那么，类比直线的“直”和向两端“无限延伸”的特征，平面有哪些特征呢？
平面是“平”的；
平面可以向四周“无限延伸”．
我们是怎么用图形和符号表示直线的？类似地，如何用图形和符号表示平面？
当两个平面相交时，可以把被遮挡部分画成虚线或者不画，这样看起来更加立体.
新知探究
（1）一个点？
过一个点有无数个平面
A′
D′
B′
C′
A
B
C
D
（2）两个点？
过两个点有无数个平面
（3）三个点？
①共线的三个点？
E
有无数个平面
②不共线的三个点？
有且只有一个平面
过四个点能确定一个平面吗？
如图：点A，C，D，E确定一个平面；
点A，C，D，D'形成了一个三棱锥，确定4个平面.
不一定
我们知道，两点可以确定一条直线，那么几个点可以确定一个平面？
新知探究
存在性
唯一性
如何将这一基本事实用图形表示？
平面
如何用符号表示点和直线、平面的位置关系？
直线、平面都可以看成是无数个点组成的集合，
故点与直线、点与平面的关系是元素与集合的关系，
用“”或“”表示．
如图，点在直线上，记作； 点在直线外，记作；
点在平面内，记作；点在平面外，记作．
基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面.
新知探究
你能举出一些生活实例来验证基本事实1吗？
基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面.
自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”；
三脚架的三脚着地就可以支撑照相机；
将教室的门的两个铰链看成两个点，门插销看成一个点，当插销插上时，门不再动了．
新知探究
如果直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？
如果直线与平面有两个公共点呢？
P
l
A
B
l
直线不在平面内
直线在平面内
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
新知探究
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
如何将这一基本事实用图形表示？
如何用符号表示直线和平面的位置关系？
A
B
l
直线、平面都可以看成是无数个点组成的集合，
故直线与平面的关系是集合与集合的关系，用“”或“”表示．
如图，直线上所有的点都在平面内，就说直线在平面内，记作；
否则，就说直线不在平面内，记作．
基本事实2也可以用符号表示为：，，且， ．
给定不共线三点，，确定一个平面；
由基本事实2，直线，，都在平面内，
进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面内，
所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面．
组成这个“直线网”的直线的“直”和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”．
新知探究
我们知道，平面具有“平”和“无限延展”的特征，而基本事实2反映了直线与平面的位置关系，我们能不能利用这种位置关系，用直线的“直”和“无限延伸”刻画平面的“平”和“无限延展”？
把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？
新知探究
平面是无限延展的，适当补出三角尺所在平面
两平面交于一条直线
不止一个公共点，这些公共点是共线的
你还能举出生活中其它平面与平面相交的例子吗？
教室相邻的两个墙面在地面的墙角处有一个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条直线等．
新知探究
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
P
l
P，P
符号语言：
结合基本事实3，你能进一步说明平面的“平”和“无限延展”的特征吗？
基本事实3说明：如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线．两个平面相交成一条直线的事实，可以让我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”．
基本事实1给出了确定一个平面的一种方法．利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，你还可以得到一些确定一个平面的方法吗？
新知探究
（1）
A
B
C
a
b
a
（2）
P
（3）
b
a
A
B
C
如图（1），设点是直线外一点，在直线上任取两点和，
则由基本事实1，经过，，三点确定一个平面，
再由基本事实2，直线也在平面内，
因此平面经过直线和点，即一条直线和这条直线外一点确定一个平面．
A
B
C
新知探究
推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面；
推论2：两条相交直线确定一个平面；
推论3：两条平行直线确定一个平面确定一个平面；
基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面.
确定平面的依据！
应用举例
用符号表示下列语句，并画出图形：
（1）点在平面内但在平面外,平面相交于直线；
（2）直线经过平面内一点，外一点；
（3）直线在平面内，也在平面内．
文字语言
符号语言
图形语言
转 化
转 化
解：（1），. (如图①)
（2），，，，.(如图②)
（3）.(如图③)
A
l
①
A
B
a
②
③
应用举例
已知：，，，．
求证：直线，，共面．
A
l
B
C
D
因为直线与点可以确定平面，
所以只需证明，，都在平面内．
证明：因为，所以与可以确定平面（推论1）．
因为，所以．
又，所以（基本事实2）．
同理，，所以，，在同一平面内，即它们共面．
应用举例
如图，在长方体中，为棱的中点，画出由，，三点所确定的平面与长方体表面的交线．
因为点既在平面内又在平面内，
所以点在平面与平面的交线上.
同理，点在平面与平面的交线上.
因此，就是平面与平面的交线．
作法：连接，，，它们就是平面与长方体表面的交线．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
课堂练习
判断正误，并说明理由：
（1）平面与平面相交，它们只有有限个公共点.
（2）一个点和一条直线确定一个平面.
（3）两两相交的三条直线确定一个平面.
（4）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.
根据基本事实3，两平面交于一条直线，有无限个公共点.
根据推论1，只有当点在线外，才能确定一个平面，若点在线上，则确定无数个平面.
若交点不重合，则能确定一个平面，若交点重合，则可能确定三个平面.
若两平面平行，无公共点；若两平面相交，则交点共线.



课堂练习
下列推理错误的是（ ）
A.
B.，
C.
D.
根据点、线、面的位置关系确定即可
A选项，，可能，所以A选项推理错误.
B选项，根据基本事实2可知，B选项正确.
C选项，因为，所以所以，C选项正确.
D选项，显然正确.
A
课堂练习
如图，正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，过对角线AC′的截面为菱形AEC′F，试着画出截面AEC′F与底面ABCD的交线.
C
B
A
D
E
C′
D′
B′
A′
F
M
N
延长CB、C′E交于点M，
延长CD、C′F交于点N，
连接MN，
则平面C′MN即截面AEC′F，
故MN即所需画的交线.
课堂练习
若直线l与平面相交于点O，，且AC∥BD，则三点的位置关系是 .
共线
D
O
C
B
A
l
如图，∵AC∥BD
∴AC，BD确定一个平面，设为平面
则C，D，l均在平面内
∵点O在直线l上
∴点O在平面内
又点O，C，D在平面内
∴平面,相交于O，C，D所在直线（基本事实3）
故O，C，D三点共线
归纳总结
回顾本节课的探究过程，你学到了什么？
基本事实
基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面.
推论2：两条相交直线确定一个平面.
推论3：两条平行直线确定一个平面.