高中数学人教A版选修一
2.1.1 倾斜角与斜率
【教学目标】
1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。
2、通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。
3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想。
4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。。
【教学重难点】
重点：倾斜角、斜率、过两点的直线的斜率公式；
难点：斜率。
【教学过程】
（一）新知引入
1.综合法与坐标法；
2.解析几何相关内容介绍；
（二）新课讲授
问题1：直线是最简单的几何图形之一。确定一条直线的几何要素是什么
师生活动：学生独立思考后回答，教师总结：一点+一个方向。
追问：观察以下过同一点A的直线，它们有何区别？你能找出一个量来区分它们吗？
师生活动：对直线的方向进行规定后，引导学生观察这些直线与坐标系之间所蕴含的位置关系，为后续倾斜角的引出做铺垫。
明确定义：直线的倾斜角：当直线 l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角．规定：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°
追问：下图中哪些角是直线的倾斜角？
想一想：直线的倾斜角的范围是什么？
师生活动：通过两个问题，加强学生对直线的倾斜角这一概念的理解，并指出：任何一条直线都有一个倾斜角与之对应，直线的方向不同，直线的倾斜程度不同，倾斜角也不相等。
练习：说出如图所示直线的倾斜角
问题2：直线l的倾斜角从形的角度刻画了直线的方向，能否用代数的方法刻画直线方向？α与两点的坐标有什么内在联系？
：在平面直角坐标系中，设l直线的倾斜角为α .
（1）已知直线l经过O(0,0), P(，1) ,α与O, P的坐标有什么关系？
（2）类似地,若直线l经过, (,0) ,α与, 的坐标又有什么关系？
（3）一般地,若直线l经过, (, )(≠ ) ,那么α与, 的坐标有怎样的关系？
问题3：这个关系式对任意给定的两点都适用吗？
追问：这个关系式的意义是什么？联系生活实际想一想。
坡度。
结论：直线的倾斜角α与直线上的两点P1()，的坐标有如下关系:
斜率：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母表示，即.
注意：当x1=x2时，直线倾斜角为90°斜率不存在。
问题4：当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？为什么？
师生活动：通过以上探究过程，利用向量法及正切函数的定义引入直线方向的第二种刻画方法——斜率。进一步借助正切函数的图象研究斜率在不同的倾斜角范围内的取值特点，并在此基础上说明“坡度”与斜率的区别与联系。
总结：倾斜角和斜率是从形与数两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量。体现了数形结合的思想。
问题5：直线的方向向量与斜率 有什么关系？
结论1 若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为()，则.
结论2 若直线的斜率为，则它的一个方向向量的坐标为(1, ).
小结：
用知识导图方式理清探索思路和基本结论。
（三）例题分析
例1 已知A(1,-2),B(2,1)，求直线AB的斜率，并判断它的倾斜角是锐角还是钝角？分析：两点坐标——斜率——倾斜角。
师生活动：学生思考后自主解答，学生代表板演，教师纠正指导。
变式1
变式2
请同学们自己试着编一道题，给你的同桌做一做！
（四）归纳小结
师生活动：由学生总结，PPT展示。
（五）作业布置(共23张PPT)
第二章直线和圆的方程
2.1.1倾斜角与斜率
高中数学人教A版选修一
感悟历史，引入课题
解析几何中最基本的研究方法。
坐标法
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教学难点
在以往的几何学习中，我们常常通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法研究几何图形的形状、大小和位置关系，这种方法通常称为综合法。
从本节开始，我们要学习一门全新的数学分支学科— 解析几何。解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的，它的基本内涵和方法是:通过坐标系，把几何的基本元素--点和代数的基本对象数(有序数对或数组)对应起来，在此基础上建立曲线(点的轨迹)的方程，从而把几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质.解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此进入变量数学时期，它为微积分的创建奠定了基础.
01
02
教学重难点
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置几何要素.（难点）
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历由代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.（重点）
学习目标
1.通过倾斜角概念的学习，提升数学抽象的数学素养。
2.通过斜率和直线方向向量的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养。
核心素养
信息交流，揭示规律
问题1：(1)直线是最简单的几何图形之一.在平面中，怎样才能确定一条直线？
如图，过同一点4的直线l1 l2 l3 l4它们的区别是什么 你能找到一个量来区分它们吗
点+方向
用角
A
O
学生探索，尝试解决
一.直线的倾斜角:
1.定义:
当直线l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角。
规定:当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°
想一想:直线的倾斜角在什么范围内变化呢
学生探索，尝试解决
2、范围:
x
y
B
A
O
1
1
C
E
F
图1
说出如图所示直线的倾斜角
练习:
方向（直线）
“形”
方向不同
倾斜程度不同
倾斜角不相等
倾斜角
平面直角坐标系中的两点可以确定一条直线
那么两点当然也可以确定直线的倾斜角。
设 ， 是 上两点，那么直线
的倾斜角 与 ， 的必然有内在联系.
问题2：直线的倾斜角从形的角度刻画了直线的方向，是否能用代数的方法刻画直线的方向呢？
到底具有怎样的联系呢？让我们一起来探究！
在平面直角坐标系中,设直线I的倾斜角为
(1)已知直线经过 (0,0), ( 3,1),与 ,的坐标有有什么关系
(2)如果直线经过P(-1,1),P( ,0), 与P1 ,P2的坐标又有什么关系
问题3：
这个关系式对任意给定的两点都适用吗？
这个关系式的意义是什么？联系生活实际想一想.
前进量
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
升
高
量
坡度
我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，用小写字母 k 表示，即：
注意：
倾斜角是90°的直线斜率不存在。
信息交流，揭示规律
1.定义:
a
tan
=
k
倾斜角增大，斜率增大
倾斜角增大，斜率增大
k
a
O
问题4：当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，斜率如何变化，为什么？
方向（直线）
倾斜角
斜率
“形”
“数”
方向不同
倾斜角不同
斜率不相等
公式的特点:
(1) 与两点的顺序无关;
(2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标 来表示,而不需要求出直线的倾斜角;
(3) 当时,公式不适用,此时直线的倾斜角为900.
经过两点 的直线的斜率公式
2.斜率公式
问题5：直线 上的方向向量 以及与它平行的向量都是直线的方向向量，那么直线的方向向量与直线的斜率有什么关系呢？
知识导图
确定直线的几何要素：点、方向
倾斜角
斜率
过两点的直线的斜率公式
方向向量
运用规律，解决问题
例1:已知A(1,-2),B(2,1)，求直线AB的斜率,并判断它的倾斜角是锐角还是钝角？
解：
变式一
变式二
请同学们自己试着编一道题，给你的同桌做一做！
课堂总结数形结合1、直线的倾斜角的定义①当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为3、求斜率的两种方法：①定义法：②公式法：2、直线的倾斜角的取值范围：
