2.1从位移、速度、力到向量 同步练习 2023——2024学年北师大版（2019）高中数学必修第二册（含解析）

2.1从位移、速度、力到向量同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．
B．，是单位向量，则
C．若，则
D．任一非零向量都可以平行移动
2．设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（ ）

A． B．
C． D．
5．已知是两个非零向量，且｜＋｜＝｜｜＋｜｜，则下列说法正确的是 （　　）
A．＋＝ B．＝
C．与共线反向 D．存在正实数λ，使＝λ
6．下列命题不正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若，，则
7．如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（ ）

A．与 B．与 C．与 D．与
8．关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．数轴上零向量的坐标为0
B．若与都是单位向量，则的最小值为0
C．若，则
D．若，则线段的中点坐标为
10．给出下列命题，其中叙述错误的命题为（ ）
A．向量的长度与向量的长度相等
B．向量与平行，则与的方向相同或相反
C．与方向相反
D．若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与，之一的方向相同
11．下列命题中错误的有（ ）
A．起点相同的单位向量，终点必相同；
B．已知向量，则四边形ABCD为平行四边形；
C．若，则；
D．若，则
12．(多选)下列命题的判断正确的是（ ）
A．若向量与向量共线，则A，B，C，D四点在一条直线上
B．若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量与向量共线
C．若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量与向量不共线
D．若向量与向量共线，则A，B，C三点在一条直线上
三、填空题
13．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.

14．如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有 对.

15．某人从A点出发向西走了到达点，然后改变方向向西偏北走了到达点，最后又改变方向，向东走了到达点，则的模= ．
16．如图，设每一个正方形小方格的边长为1，则向量中模最大的向量是 ，其长度为 ．
四、解答题
17．如图所示，O是正六边形的中心.

(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与共线的向量有几个？
18．已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：

(1)试找出与共线的向量；
(2)确定与相等的向量；
(3)与相等吗？
19．已知为所在平面内的一点，为的中点.
(1)用表示；
(2)，求.
20．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1．
(1)试以为终点画一个有向线段，设该有向线段表示的向量为，使．
(2)在图中画一个以为起点的有向线段，设该有向线段表示的向量为，且，并说出点的轨迹是什么？
21．在矩形中，，，于，，为中点.
(1)求；
(2)验证：、、是否三点共线.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】利用向量的有关概念即可.
【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确；
对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确；
对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误；
对于D项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确．
故选：C．
2．C
【分析】根据非零向量的方向是否相同分别判断各个选项即可.
【详解】因为，故同向.
对于A:，方向相反,A选项错误；
对于B:，得出,不能得出方向，B选项错误；
对于C:,方向向相同,则成立，C选项正确；
对于D:,不能确定的方向，D选项错误.
故选：C．
3．A
【分析】根据平面向量的相关概念，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；
对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；
对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误；
对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.
故选：A
4．D
【分析】根据正六边形的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确.
对于B，因为，故，故B正确.
对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确.
对于D，因为交于，故不成立，故D错误，
故选：D.
5．D
【分析】根据共线向量的性质判断即可得解.
【详解】因为是两个非零向量，且｜＋｜＝｜｜＋｜｜，
则与共线同向，故D正确.
故选：D
6．A
【分析】AB选项，由零向量的定义进行判断；C选项，根据共线向量，单位向量和零向量的定义得到C正确；D选项，根据向量的性质得到D正确.
【详解】A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
C选项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时才成立，故C正确；
D选项，由向量相等的定义知D正确.
故选：A
7．C
【分析】由条件可得四边形ABCD是平行四边形，然后逐一判断即可.
【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，
所以，，，，故ABD错误，C正确.
故选：C.
8．B
【分析】根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，当时，方向可能不同，未必成立，A错误；
对于B，若，则反向，，B正确；
对于C，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，C错误；
对于D，当时，，，此时未必共线，D错误.
故选：B.
9．ABD
【分析】根据题意可直接判断A正确；当与方向相反时，可知B正确；利用两点间的距离公式计算可知C错误；利用中点坐标公式进行计算可知D正确.
【详解】数轴上零向量的坐标为正确.
若与都是单位向量，当方向相反时，
的最小值为正确.
若，则，错误.
若，则线段的中点坐标为，正确.
故选：ABD.
10．BCD
【分析】根据平面向量的定义与性质逐项判断即可.
【详解】对于A，向量与向量的长度都为线段长度，所以其长度相等，A正确；
对于B，当时，不成立，故B错误；
对于C，当与之一为零向量时，不成立，故C错误；
对于D，时，方向是任意的，与，的方向都不相同；
故选：BCD
11．AC
【分析】由单位向量的定义、向量共线和相等的条件，判断各选项的结论.
【详解】单位向量的方向不确定，所以起点相同的，终点不一定相同，A选项错误；
四边形ABCD中，，则且，四边形ABCD为平行四边形，B选项正确；
当时，满足，但不能得到，C选项错误；
由向量相等的条件可知，若，则，D选项正确.
故选：AC
12．BD
【分析】根据给定条件，利用共线向量的意义逐项判断作答.
【详解】对于A，平行四边形中，，满足向量与共线，而四点不共线，A错误；
对于B，四点在一条直线上，则向量与方向相同或相反，即向量与共线，B正确；
对于C，平行四边形中，满足四点不共线，有，即向量与共线，C错误；
对于D，向量与共线，而向量与有公共点，因此三点在一条直线上，D正确.
故选：BD
13．3
【分析】根据相等向量的定义及正六边形的性质即可求解.
【详解】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个.
故答案为：3
14．2
【分析】根据等腰梯形的性质结合已知条件，可推得，即可得出答案.
【详解】由题意∥AB可知，，所以，所以.
因为，所以，，
所以，，所以.
又M，O，N三点共线，
所以，，故相等向量有2对.
故答案为：2.
15．
【分析】根据向量共线，且，判断四边形为平行四边形，可得，即可求得答案.
【详解】如图示，由题意可得向量共线，且，

则四边形为平行四边形，故，
故答案为：
16．
【分析】根据各向量的起止点所在的格点求模长，即可知模最大的向量.
【详解】由图形，．
∴长度最大为．
故答案为：，
17．(1)23；
(2)存在，4；
(3)9.
【分析】（1）利用正六边形的特征，结合平面向量模的意义即可得出结论.
（2）利用正六边形的特征，结合互为相反向量的意义即可得出结论.
（3）利用正六边形的特征，结合共线向量的意义即可得出结论.
【详解】（1）与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，
所以这样的向量共有23个.
（2）存在，由正六边形的性质知，，
所以与的长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个.
（3）由（2）知，，线段OD，AD与OA在同一条直线上，
所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个.
18．(1)和；
(2)；
(3)不相等.
【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用正六边形的性质，结合共线向量、相等向量的意义判断作答.
【详解】（1）由O为正六边形的中心，得与共线的向量有和.
（2）由于与长度相等且方向相同，所以.
（3）显然，且，但与的方向相反，所以这两个向量不相等.
19．(1)
(2)2
【分析】根据向量的四则运算法则进行运算即可.
把用进行线性表示后，进行运算即可.
【详解】（1）
；
（2）因为，则
.
20．(1)图见解析
(2)点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆
【分析】（1）根据相等向量的定义，即可画出向量；
（2）根据模长，画出向量，在判断轨迹.
【详解】（1）如图，感觉向量相等的定义，与的方向相同，长度相等，即，即可得到向量；

（2）如图，画出一个满足条件的向量，点的轨迹是以点为圆心，半径的圆.

21．(1)
(2)向量法可证： 、、三点共线
【分析】（1）利用已知条件，结合三角函数和勾股定理，可求；
（2）利用向量共线，证明三点共线.
【详解】（1）矩形中，，，则，
和中，，，，
，，
（2），
，则有，有公共点，所以、、三点共线.
答案第1页，共2页
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